目錄
前言
第1章 變分法的幾個(gè)經(jīng)典例子 1
1.1 等周問題與捷線問題等 1
1.2 定義與記號(hào) 5
習(xí)題 6
第2章 Banach空間與Hilbert空間簡(jiǎn)介 7
2.1 Banach空間及其一些基本概念 7
2.2 Hahn-Banach延拓定理與凸集分離定理 9
2.3 Hilbert空間、Riesz表示定理及Lax-Milgram定理 15
習(xí)題 19
第3章 廣義函數(shù)與Sobolev空間 22
3.1 廣義函數(shù) 22
3.2 幾個(gè)常用的經(jīng)典不等式 28
3.3 Sobolev嵌入定理 31
習(xí)題 50
第4章 泛函極值的一階和二階條件 52
4.1 Frechet微分與Gateaux微分 52
4.2 Euler-Lagrange方程 60
4.3 經(jīng)典Weierstrass定理的無限維推廣及Dirichlet原理 71
4.4 二階變分的Legendre必要條件和acobi必要條件 80
4.5 弱極小的二階變分的充分條件 90
習(xí)題 92
第5章 Ekeland變分原理及其應(yīng)用 94
5.1 經(jīng)典的Ekeland變分原理 94
5.2 Ekeland變分原理的推廣 97
5.3 Ekeland變分原理的應(yīng)用 101
習(xí)題 105
第6章 Pontryagin最大值原理及其應(yīng)用 106
6.1 引言 106
6.2 Pontryagin最大值原理 107
6.3 Pontryagin最大值原理應(yīng)用于經(jīng)典變分問題 110
6.4 Ekeland變分原理應(yīng)用于Pontryagin最大值原理 112
習(xí)題 113
第7章 共軛凸函數(shù)理論及其應(yīng)用 114
7.1 共軛凸函數(shù)理論簡(jiǎn)介 114
7.2 Hamilton共軛與Clarke共軛 123
習(xí)題 126
第8章 極小極大原理 128
8.1 偽梯度向量場(chǎng)與形變引理 130
8.2 一般的極小極大定理 138
8.3 山路引理 141
8.4 山路引理在橢圓邊值問題中的應(yīng)用 144
習(xí)題 152
第9章 多體問題的周期解 153
9.1 Kepler軌道及其變分最小性質(zhì) 153
9.2 三體問題的Euler解和Lagrange解及其變分最小性 158
9.3 平面等質(zhì)量三體問題的“8”字形解 169
9.4 平面三體問題新的周期解 174
9.5 三維空間中的N體問題的非平面非碰撞周期解 179
9.6 Saari猜想簡(jiǎn)介 185
習(xí)題 187
第10章 幾個(gè)著名的不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用 188
10.1 Banach壓縮映像原理及其應(yīng)用 188
10.2 Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理、Fan Ky不等式與Nash均衡 193
10.3 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用 205
10.4 Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理 209
10.5 Poincare-Birkho不動(dòng)點(diǎn)定理簡(jiǎn)介 211
習(xí)題 212
參考文獻(xiàn) 213
致射 219