《數(shù)學(xué)物理方程》是作者在為吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院本科生開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)物理方程課程的講授講義的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)幾次修改并適當(dāng)擴(kuò)充而形成的，可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生教材。
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)物理方程教材以介紹經(jīng)典解法為主，如分離變量法、行波法以及在可積函數(shù)框架下建立的Fourier變換方法。作為偏微分方程理論的入門(mén)知識(shí)，這些解法的介紹無(wú)疑是十分重要的。本書(shū)第一章介紹數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的經(jīng)典解法。除了廣泛應(yīng)用的分離變量法、行波法以外，我們還介紹冪級(jí)數(shù)解法與相似解解法。值得注意的是，隨著偏微分方程的現(xiàn)代理論的形成，以及現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，經(jīng)典分析理論已無(wú)法滿足各種應(yīng)用領(lǐng)域的實(shí)際需要。例如、作為偏微分方程數(shù)值解的重要方法之一的Galerkin方法就用到了廣義函數(shù)的理論，并且成為本科生計(jì)算方法課程的一個(gè)重要組成部分�；�于這種考慮，我們?cè)诘诙�章介紹Fourier變換方法和廣義函數(shù)理論，其中還包括在廣義函數(shù)框架下建立的Fourier變換方法，并于第三章介紹位勢(shì)方程和熱傳導(dǎo)方程的弱解的初步理論。本書(shū)第四章介紹古典解的性質(zhì)，包括位勢(shì)方程和熱傳導(dǎo)方程解的極值原理和能量估計(jì)，以及弦振動(dòng)方程古典解的能量估計(jì)。
《數(shù)學(xué)物理方程》與其他同類教材相比的特點(diǎn)在于以下幾個(gè)方面�？紤]到廣義函數(shù)理論的抽象性和本科階段學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，我們主要以一個(gè)空間變量的情形來(lái)介紹Fourier變換方法和廣義函數(shù)理論。我們首先選擇速降函數(shù)空間作為基本空間來(lái)引入經(jīng)典的：Fourier變換，因?yàn)镕ourier變換及其逆變換都是這個(gè)空間上的線性、連續(xù)的可逆變換，而且對(duì)于各種基本運(yùn)算，如線性運(yùn)算、卷積運(yùn)算、微分運(yùn)算等，都是封閉的。在這個(gè)空間上引入Fourier變換還在于沒(méi)有脫離常義函數(shù)的框架但又易于推廣到廣義函數(shù)空間，這樣就便于由淺入深地教學(xué)。特別地，我們先通過(guò)速降函數(shù)類和緩增函數(shù)類的對(duì)偶性質(zhì)介紹了初值為初等函數(shù)的cauchy問(wèn)題的解法，從而很自然地借助廣義函數(shù)引入了初等函數(shù)的Fourier變換。
《數(shù)學(xué)物理方程》的另一個(gè)新的嘗試是處理位勢(shì)方程的求解問(wèn)題。毫無(wú)疑問(wèn)，使讀者了解借助于Green函數(shù)表示位勢(shì)方程的解是本課程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。然而，通常我們只能構(gòu)造出如半空間和球域等特殊區(qū)域上的Green函數(shù)。