《微積分及其應用（中譯本）》是美國著名數(shù)學家彼得·拉克斯與康奈爾大學數(shù)學教授瑪麗亞·特雷爾合著的單變量微積分教材，內(nèi)容覆蓋了一元微積分的基礎，包括：數(shù)列的極限、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的微分、可微函數(shù)的基本理論、導數(shù)的應用、函數(shù)的積分、積分的方法、積分的近似計算，以及微分方程。另有兩章介紹復數(shù)與概率。《微積分及其應用（中譯本）》與拉克斯的另一著名教材《線性代數(shù)及其應用》簡明清晰、行云流水的風格一致，通過引入許多背景自然的應用實例，兩位作者致力于引導讀者對微積分這一重要的基礎課題獲得理解�！段⒎e分及其應用（中譯本）》末尾還提供了部分習題的答案。
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目錄
序言
第1章 數(shù)和極限 1
1.1 不等式 1
1.1.1 不等式的法則 3
1.1.2 三角不等式 3
1.1.3 算術(shù)-幾何平均值不等式 4
問題 7
1.2 實數(shù)和最小上界定理 10
1.2.1 實數(shù)作為無限小數(shù) 10
1.2.2 最小上界定理 12
1.2.3 舍入 14
問題 16
1.3 數(shù)列及其極限 17
1.3.1 的近似 20
1.3.2 數(shù)列與級數(shù) 21
1.3.3 區(qū)間套 32
1.3.4 柯西數(shù)列 33
問題 35
1.4 數(shù)字e 39
問題 42
第2章 函數(shù)及其連續(xù)性 45
2.1 函數(shù)的概念 45
2.1.1 有界函數(shù) 48
2.1.2 函數(shù)的運算 49
問題 51
2.2 連續(xù)性 52
2.2.1 用極限定義函數(shù)在一點處的連續(xù)性 54
2.2.2 區(qū)間上的連續(xù)性 57
2.2.3 介值定理與最值定理 58
問題 61
2.3 函數(shù)的復合及逆 63
2.3.1 反函數(shù) 66
問題 70
2.4 正弦與余弦 71
問題 74
2.5 指數(shù)函數(shù) 75
2.5.1 放射性衰變 76
2.5.2 細菌繁殖 76
2.5.3 代數(shù)定義 77
2.5.4 指數(shù)型增長 78
2.5.5 對數(shù) 80
問題 84
2.6 函數(shù)列及其極限 85
2.6.1 函數(shù)列 85
2.6.2 函數(shù)項級數(shù) 92
2.6.3 函數(shù)與 96
問題 101
第3章 導數(shù)和微分 105
3.1 導數(shù)的概念 105
3.1.1 幾何意義 107
3.1.2 可導與連續(xù) 110
3.1.3 導數(shù)的應用 112
問題 117
3.2 求導法則 119
3.2.1 和、積與商的導數(shù) 120
3.2.2 復合函數(shù)的導數(shù) 124
3.2.3 高階導數(shù)及記號 127
問題 128
3.3 函數(shù)ex和lnx的導數(shù) 132
3.3.1 函數(shù)ex的導數(shù) 132
3.3.2 函數(shù)lnx的導數(shù) 133
3.3.3 冪函數(shù)的導數(shù) 135
3.3.4 微分方程y'= ky 135
問題 136
3.4 三角函數(shù)的導數(shù) 138
3.4.1 正弦和余弦函數(shù)的導數(shù) 138
3.4.2 微分方程y"+y=0 140
3.4.3 反三角函數(shù)的導數(shù) 142
3.4.4 微分方程y"-y=0 144
問題 146
3.4.5 冪級數(shù)的導數(shù) 148
問題 151
第4章 可導函數(shù)的理論 153
4.1 中值定理 153
4.1.1 一階導數(shù)用于最優(yōu)化 156
4.1.2 利用微分證明不等式 160
4.1.3 推廣的中值定理 162
問題 163
4.2 高階導數(shù) 166
4.2.1 二階導數(shù)檢驗 170
4.2.2 凸函數(shù) 171
問題 173
4.3 泰勒定理 175
4.3.1 泰勒級數(shù)的例子 180
問題 185
4.4 逼近導數(shù) 186
問題 191
第5章 導數(shù)的應用 194
5.1 氣壓 194
問題 196
5.2 運動定律 196
問題 201
5.3 求函數(shù)零點的牛頓法 201
5.3.1 平方根的逼近 203
5.3.2 多項式根的逼近 204
5.3.3 牛頓法的收斂性 206
問題 209
5.4 光的反射和折射 210
問題 215
5.5 數(shù)學與經(jīng)濟學 216
問題 219
第6章 積分 221
6.1 積分的例子 221
6.1.1 從速度表確定路程 221
6.1.2 細棒的質(zhì)量 223
6.1.3 正函數(shù)下方圖的面積 225
6.1.4 負函數(shù)和凈總值 227
問題 228
6.2 積分 229
6.2.1 積分的近似 231
6.2.2 積分的存在性 235
6.2.3 積分的進一步的性質(zhì) 238
問題 241
6.3 微積分基本定理 243
問題 251
6.4 積分的應用 253
6.4.1 體積 253
6.4.2 累積量 255
6.4.3 弧長 256
6.4.4 功 257
問題 259
第7章 積分方法 260
7.1 分部積分 260
7.1.1 帶積分形式余項的泰勒公式 264
7.1.2 優(yōu)化數(shù)值近似 266
7.1.3 微分方程的應用 267
7.1.4 π的Wallis乘積公式 267
問題 269
7.2 換元法 271
問題 276
7.3 廣義積分 277
問題 290
7.4 積分的其他性質(zhì) 292
7.4.1 函數(shù)列的積分 292
7.4.2 含參變量的積分 295
問題 297
第8章 積分的近似數(shù)值計算 298
8.1 近似積分 298
8.1.1 中點法則 300
8.1.2 梯形法則 301
問題 302
8.2 辛普森法則 304
8.2.1 辛普森法則的替代方法 307
問題 309
第9章 復數(shù) 310
9.1 復數(shù) 310
9.1.1 復數(shù)的運算 311
9.1.2 復數(shù)的幾何 315
問題 320
9.2 復值函數(shù) 323
9.2.1 連續(xù)性 323
9.2.2 導數(shù) 324
9.2.3 復值函數(shù)的積分 325
9.2.4 復變量的函數(shù) 326
9.2.5 復指數(shù)函數(shù) 329
問題 332
第10章 微分方程 334
10.1 用微積分描述振動 334
10.1.1 力學系統(tǒng)的振動 334
10.1.2 耗散和能量守恒 338
10.1.3 沒有摩擦力時的振動 339
10.1.4 沒有摩擦力的線性振動 342
10.1.5 帶摩擦力的線性振動 344
10.1.6 外力驅(qū)動的線性系統(tǒng) 348
問題 352
10.2 種群動力學 355
10.2.1 微分方程 355
10.2.2 人口增長與漲落 361
10.2.3 兩個物種 365
問題 373
10.3 化學反應 374
問題 381
10.4 微分方程的數(shù)值求解 382
問題 386
第11章 概率 387
11.1 離散概率 387
問題 396
11.2 信息論：感興趣的事有多有趣? 397
問題 400
11.3 連續(xù)概率 401
問題 409
11.4 誤差律 411
問題 419
部分問題的答案 421
術(shù)語對照表 448
譯后記 454
《現(xiàn)代數(shù)學譯叢》已出版書目 456
《微積分及其應用（中譯本）》：
第1章 數(shù)和極限
摘要 本章將介紹實數(shù)的基本概念和性質(zhì)，它們對定義極限、導數(shù)和積分等微積分概念是必須的。
1.1 不等式
實數(shù)之間的不等式在微積分中非常重要。不等式是收斂這個基本概念的核心，收斂則是微積分的一個中心思想。不等式可以用來證明兩個數(shù)a；b相等，只要證明a既不小于b也不大于b。例如，阿基米德用這種方法證明了一個圓的面積等于一個以其周長為底、半徑為高的三角形的面積。
不等式的另一個用處是描述數(shù)集。用不等式描述的數(shù)集可以在數(shù)軸上畫出來。
如果，則我們稱a小于b，記作a
圖1.1 數(shù)軸
如果，則我們稱a小于或等于b，記作a6b。滿足a6x6b的數(shù)x是介于a和b之間的數(shù)，端點a；b包含在內(nèi)。這是閉區(qū)間的一個例子，用方括弧[a；b]表示。僅包含一個端點的區(qū)間稱為半開區(qū)間或半閉區(qū)間。例如，區(qū)間a
圖1.2 (a)開區(qū)間(a；b)；(b)半開半閉區(qū)間(a；b]；(c)閉區(qū)間[a；b]
一個數(shù)a的絕對值是a到0的距離:若a為正數(shù)，則；若a為負數(shù)，則。差的絕對值，可解釋為a；b兩點在數(shù)軸上的距離，也可解釋為a；b間的區(qū)間的長度(圖1.3)。
不等式可以解釋為a；b兩點在數(shù)軸上的距離小于"。這相當于說，a；b之間的差a-b大于。且小于:在問題1.9中，我們將要求你用1.1.1節(jié)中的不等式來證明上述不等式。
圖1.3 用絕對值來度量距離
例1.1 不等式描述的是那些與5的距離小于這就是開區(qū)間。而不等式描述的則是閉區(qū)間。見圖1.4。
圖1.4 (a)由不等式所指定的數(shù)介于之間
不等式可以解釋為將近似為的一個陳述。它告訴我們，與的誤差在千分之一以內(nèi)，或者說，在以3:141為中心、半徑為的區(qū)間內(nèi)。
在圖1.5中我們可以設想，在大區(qū)間中有更小的區(qū)間，將 包得更緊。在本章稍后我們將看到，用來確定一個數(shù)的方法就是用越來越緊的區(qū)間套住它。這個過程在1.3。3節(jié)被描述為閉區(qū)間套定理。
圖1.5 的近似
我們用表示所有大于a的數(shù)的集合，用表示所有大于或等于a的數(shù)的集合。類似地，表示所有小于a的數(shù)的集合，用表示所有小于或等于a的數(shù)的集合(圖1.6)。
圖1.6 從左到右，依次是區(qū)間1
例1.2 不等式描述的是那些與5的距離大于或等于的。這就是或中的數(shù)。見圖1.7。
圖1.7 由例1.2中的不等式所指定的數(shù)
1.1.1 不等式的法則
接下來我們復習一些處理不等式的法則:
(a)三分律:對任意的兩個實數(shù)a和b，或有a>b，或有a
(b)傳遞性:若a
(c)加法的法則:若a
(d)乘法的法則:若a0，有；若a
(e)取倒數(shù)的法則:若a；b是正數(shù)，且a
這些關(guān)于不等式的法則可以用來化簡不等式或從已知的不等式推導出新的不等式。除了三分律(a)，其余四條法則中的<換成6，結(jié)論仍然成立。在問題1.8中，要求你利用三分律推導這樣的結(jié)果:如果a6b且b6a，則a=b。
……
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