序曲

從柏拉圖到宇宙未來(lái)的形貌

在偉大的前科學(xué)時(shí)代，柏拉圖就指出，我們所見(jiàn)的世界，只是這個(gè)不可見(jiàn)幾何形體的反映罷了。這個(gè)觀念深得我心，也和我最知名的數(shù)學(xué)證明緊密相關(guān)。

　　　　神以幾何造世。柏拉圖

　　大約公元前360年，柏拉圖（Plato）完成了《蒂邁歐斯篇》（Timaeus），這是一篇以對(duì)話形式呈現(xiàn)的創(chuàng)世故事，對(duì)話者包括他的老師蘇格拉底（Socrates）以及其他三位賢者：蒂邁歐斯、赫謨克拉提（Hermocrates）、克里底亞斯（Critias）。蒂邁歐斯應(yīng)該是個(gè)虛構(gòu)的角色，據(jù)說(shuō)他從南意大利的洛克利城來(lái)到雅典，是一個(gè)天文學(xué)專家，志在理解大自然的本質(zhì)。 通過(guò)蒂邁歐斯之口，柏拉圖陳述了自己的萬(wàn)有引力理論（theory of everything），其中的核心角色是幾何學(xué)。

柏拉圖尤其著迷于一組幾何形體，這組特別的多面體也從此被稱為柏拉圖立體。這些多面體的各面是全等的正多邊形，例如正四面體的四個(gè)面是全等的正三角形；正六面體（俗稱的正方體）是六個(gè)全等的正方形；正八面體是八個(gè)正三角形；正十二面體是正五邊形；正二十面體則又是由二十個(gè)正三角形構(gòu)成。

柏拉圖并不是這些以他為名的立體的發(fā)明者，事實(shí)上沒(méi)有人確實(shí)知道發(fā)明者是誰(shuí)。不過(guò)一般相信是柏拉圖的當(dāng)代學(xué)者泰阿泰德（Teaetetus）證明了這五種正多面體 的存在，并且就只有五種。歐幾里得在《原本》（The Elements）一書中，為這些幾何形體給出詳細(xì)的數(shù)學(xué)描述。

柏拉圖立體有許多迷人的性質(zhì)。檢視任一種正多面體可以發(fā)現(xiàn)，與每一頂點(diǎn)（尖角的點(diǎn)）相鄰的多邊形數(shù)目都一樣多；每個(gè)多邊形的各角都一樣大；可以找到一個(gè)圓球通過(guò)所有的頂點(diǎn)（一般多面體并沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)）；而且，頂點(diǎn)的數(shù)目加面的數(shù)目等于邊的數(shù)目加2。

柏拉圖賦予這些立體形而上學(xué)的意義，這也是他的名字與這些立體永遠(yuǎn)牽連的原因。事實(shí)上，根據(jù)《蒂邁歐斯篇》的內(nèi)容細(xì)節(jié)，正多面體是柏拉圖宇宙論的根本要素。在他宏偉的萬(wàn)物架構(gòu)里，宇宙有四種基本元素：土、氣、火、水。如果檢視這些元素的微小細(xì)節(jié)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是由微小的柏拉圖立體構(gòu)成的：土由小正方體構(gòu)成；氣由正八面體構(gòu)成；火是正四面體；水是正二十面體。關(guān)于正十二面體，在《蒂邁歐斯篇》中柏拉圖寫道：還剩下一種構(gòu)造，第五種元素，上帝用于整個(gè)宇宙，編織各種物象于其上。

受益于兩千多年來(lái)的科學(xué)發(fā)展，現(xiàn)在看來(lái)柏拉圖的猜想當(dāng)然很可疑。雖然，今日我們對(duì)于宇宙的基本構(gòu)造元素并沒(méi)有絕對(duì)一致的結(jié)論，最后被證明為正確的，或許是輕子與夸克，也許是理論上的次夸克粒子先子（preon），又或者是還在理論階段卻更微小的弦，不過(guò)我們很確定，并不是把土、氣、火、水編織在巨大的正十二面體上而已。我們也不相信，僅僅由柏拉圖立體的形狀就能決定這些基本元素的性質(zhì)。

話說(shuō)回來(lái)，柏拉圖從未宣稱他完成了大自然的確定理論，他認(rèn)為《蒂邁歐斯篇》只是可能的解釋，是當(dāng)時(shí)所能得到的最佳見(jiàn)解，并且承認(rèn)他之后的學(xué)者，盡可以去改良他的理論，甚至是大幅修改。就像蒂邁歐斯在他的對(duì)話中說(shuō)的：如果有人測(cè)試我的宣告，發(fā)現(xiàn)并非事實(shí)，我們將恭賀他獲得榮耀。

柏拉圖的想法無(wú)疑有許多錯(cuò)誤，但從寬廣的角度審視他的思想，柏拉圖顯然也有正確的地方。這位卓絕的哲學(xué)家在承認(rèn)他可能犯錯(cuò)，但以他的觀念為本的理論卻可能成真時(shí)，展露了或許是最高的智慧。舉例來(lái)說(shuō)，正多面體具有高度對(duì)稱性，正十二面體和正二十面體有60種不改變其呈現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)方式（60恰巧是其面、體邊數(shù)的兩倍的事實(shí)，并非偶然）。當(dāng)柏拉圖以這些形體作為宇宙論的基礎(chǔ)時(shí)，他正確地指出了：任何企圖描述大自然的可行理論中，對(duì)稱性必須是它的核心性質(zhì)。如果想要構(gòu)筑萬(wàn)有理論，統(tǒng)一所有的作用力，而且所有構(gòu)成要素只需遵守一兩組法則，我們就必須發(fā)現(xiàn)潛藏其中的對(duì)稱性，因?yàn)檫@是足以生發(fā)萬(wàn)物、以簡(jiǎn)馭繁的法則。

顯然地，這些形體的對(duì)稱性質(zhì)直接源自其幾何形狀。這是柏拉圖的第二個(gè)重要貢獻(xiàn)：除了理解數(shù)學(xué)是測(cè)度宇宙的關(guān)鍵之外，他提出了今日所謂物理幾何化（geometrization of physics）的思考理路，就像愛(ài)因斯坦所促成的大飛躍一樣。在偉大的前科學(xué)時(shí)代，柏拉圖就指出大自然的元素與其性質(zhì)，還有作用其上的力，可能都可歸源于某個(gè)潛藏于幕后的幾何結(jié)構(gòu)，它主導(dǎo)了這一切。換句話說(shuō)，我們所見(jiàn)的世界，只是這個(gè)不可見(jiàn)幾何形體的反映罷了。這個(gè)觀念深得我心，也和我最知名的數(shù)學(xué)證明緊密相關(guān)（對(duì)于曾聽(tīng)說(shuō)過(guò)我名字的人而言）。雖然有些人可能覺(jué)得這太牽強(qiáng)，只是大張旗鼓為幾何宣傳罷了，但是，這個(gè)想法或有真意，各位不妨拭目以待，靜心閱讀下去。