本書基于《微分幾何》，北京大學(xué)出版社，2006一版修訂而成。本書是數(shù)學(xué)專業(yè)本科教材，內(nèi)容包括：曲線論，曲面的di一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面的基本方程和基本定理，曲面的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何，以及活動(dòng)標(biāo)架和外微分法。這次修訂版著重在整體的曲面概念以及微分流形的初步概念方面加強(qiáng)闡述，以適應(yīng)當(dāng)前教學(xué)的需要，另外還要加強(qiáng)例題和習(xí)題的配置。
本次修訂版對(duì)本書做了一次全面的修正，并且添加了第六章的三節(jié)內(nèi)容，所添加的內(nèi)容主要是引進(jìn)大范圍的抽象曲面（2維黎曼流形）的概念，并且系統(tǒng)地在抽象曲面上展開它的幾何學(xué)，也就是獨(dú)立地、以內(nèi)在的方式講述內(nèi)蘊(yùn)微分幾何。
《微分幾何（第二版）》是作者用數(shù)十年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)編著的教材。本書自一版出版以來(lái)，受到了讀者的廣泛好評(píng)，在全國(guó)的教學(xué)領(lǐng)域引起了不小的反響。
這次的第二版在繼承了一版教材的優(yōu)秀的框架結(jié)構(gòu)的前提下，對(duì)全書做了一次全面的修正。并增加了三節(jié)內(nèi)容，引進(jìn)了大范圍的抽象曲面的概念，并且在抽象曲面上系統(tǒng)地講述內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)。新增的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生后續(xù)的微分幾何學(xué)習(xí)有很大的幫助。
本書可作為綜合大學(xué)、理工科大學(xué)、高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的“微分幾何”課程的教材，也可作為數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)工作者的學(xué)習(xí)參考書。
陳維桓，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，長(zhǎng)期從事微分幾何教學(xué)工作。編寫教材有《微分幾何初步》《微分幾何》《黎曼幾何引論》等書。
緒論
第一章預(yù)備知識(shí)
x1.1 三維歐氏空間中的標(biāo)架
x1.2 向量函數(shù)
第二章曲線論
x2.1 正則參數(shù)曲線
x2.2 曲線的弧長(zhǎng)
x2.3 曲線的曲率和Frenet 標(biāo)架
x2.4 曲線的撓率和Frenet 公式
x2.5 曲線論基本定理
x2.6 曲線參數(shù)方程在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開
x2.7 存在對(duì)應(yīng)關(guān)系的曲線偶
第三章曲面的第一基本形式
x3.1 正則參數(shù)曲面
x3.2 切平面和法線
x3.3 第一基本形式
x3.4 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性
x3.5 保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)和保角對(duì)應(yīng)
x3.6 可展曲面
第四章曲面的第二基本形式
x4.2 法曲率
x4.3 Weingarten 映射和主曲率
x4.4 主方向和主曲率的計(jì)算
x4.5 Dupin 標(biāo)形和曲面參數(shù)方程在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開
x4.6 某些特殊曲面
第五章曲面論基本定理
x5.1 自然標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)公式
x5.2 曲面的唯一性定理
x5.3 曲面論基本方程
x5.4 曲面的存在性定理
x5.5 Gauss 定理
第六章測(cè)地曲率和測(cè)地線
x6.1 測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下?nbsp;
x6.2 測(cè)地線
x6.3 測(cè)地坐標(biāo)系和法坐標(biāo)系
x6.4 常曲率曲面
x6.5 曲面上切向量的平行移動(dòng)
x6.6 抽象曲面
x6.7 抽象曲面上的幾何學(xué)
x6.8 抽象曲面的曲率
x6.9 Gauss-Bonnet 公式
第七章活動(dòng)標(biāo)架和外微分法
x7.1 外形式
x7.2 外微分式和外微分
x7.3 E3 中的標(biāo)架族
x7.4 曲面上的正交標(biāo)架場(chǎng)
x7.5 曲面上的曲線
x7.6 應(yīng)用舉例
附錄
x1 關(guān)于微分方程的幾個(gè)定理
x2 自共軛線性變換的特征值
x3 用《MATHEMATICA》做的課件
習(xí)題解答和提示
參考文獻(xiàn)
索引
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