本書從面向高等教育大眾化的角度出發(fā), 介紹古典概型、條件概率、事件的獨立性、隨機變量、數字特征、樣本與統(tǒng)計量、參數估計、假設檢驗及線性回歸分析的基礎知識, 幫助養(yǎng)學生掌握概率論與數理統(tǒng)計的基本理論和基本解題方法, 提高解決問題的能力。
本書是根據教育部《高等教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃》的精神和要求，總結作者多年講授概率論與數理統(tǒng)計課程的實踐經驗編寫而成的。本書具有如下幾個特點。
(1)重視基本概念
概率論與數理統(tǒng)計內容雖然抽象，但其中每個基本概念都有自己的實際應用背景，力求從身邊的實際問題出發(fā)，自然地引出基本概念，以激發(fā)學生的學習興趣和求知欲。
(2)強調實際應用
本著學習數學是為了使用數學這一宗旨，并考慮到本課程的實際應用，書中較多地選擇了工程和信息方面的例題和習題，以提高運用概率論與數理統(tǒng)計的知識解決實際問題的意識和能力。
(3)側重計算、解題能力
本書內容深入淺出、論證簡明易懂，側重于運算、解題能力的訓練，讓學生在弄清基本概念的基礎上熟悉運算過程，掌握解題方法，提高解題能力。
本書共9章，可分為兩個部分。第一部分由第1～5章組成，講授概率論的基礎知識，包括隨機事件、隨機變量、隨機向量及其分布、隨機變量的數字特征和極限定理。第二部分由第6～9章組成，講授樣本與統(tǒng)計量、參數估計、假設檢驗、方差分析與線性回歸分析。本書各章配有適量習題，書后附習題提示和解答。本書可作為不同專業(yè)有關概率論與數理統(tǒng)計課程的教材。
概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象數量規(guī)律性的一門科學。它作為現代數學的重要分支，已廣泛應用于自然科學與社會科學的各個領域，它是大學理、工、農、醫(yī)、經濟、管理等學科所有專業(yè)必修的一門重要基礎課。通過本課程的學習，希望學生掌握概率論與數理統(tǒng)計的基本思想與方法，并且具備一定的分析與解決實際問題的能力。
本書第2版是對本書2015年4月第1版的修訂，修正了第1版的一些錯誤與不妥之處，基本保持了第1版的風格與體系。
本書是根據教育部《高等教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃》的精神和要求，總結作者多年講授概率論與數理統(tǒng)計課程的實踐經驗編寫而成的。本書具有如下幾個特點。
(1)重視基本概念
概率論與數理統(tǒng)計內容雖然抽象，但其中每個基本概念都有自己的實際應用背景，力求從身邊的實際問題出發(fā)，自然地引出基本概念，以激發(fā)學生的學習興趣和求知欲。
(2)強調實際應用
本著學習數學是為了使用數學這一宗旨，并考慮到本課程的實際應用，書中較多地選擇了工程和信息方面的例題和習題，以提高運用概率論與數理統(tǒng)計的知識解決實際問題的意識和能力。
(3)側重計算、解題能力
本書內容深入淺出、論證簡明易懂，側重于運算、解題能力的訓練，讓學生在弄清基本概念的基礎上熟悉運算過程，掌握解題方法，提高解題能力。
本書共9章，可分為兩個部分。第一部分由第1～5章組成，講授概率論的基礎知識，包括隨機事件、隨機變量、隨機向量及其分布、隨機變量的數字特征和極限定理。第二部分由第6～9章組成，講授樣本與統(tǒng)計量、參數估計、假設檢驗、方差分析與線性回歸分析。本書各章配有適量習題，書后附習題提示和解答。本書可作為不同專業(yè)有關概率論與數理統(tǒng)計課程的教材。
本書由馬毅、王競波、岳曉寧任主編，黃光、牟桂彥任副主編。參加第2版修訂工作的有教師岳曉寧(執(zhí)筆第1～2章)、教師王競波(執(zhí)筆第3～5章)、教師牟桂彥(執(zhí)筆第6～7章)、教師黃光(執(zhí)筆第8～9章)，書末5個附表，由王競波整理給出，最后由馬毅和紀德云共同修改定稿。
由于編者水平有限，書中難免有不妥之處，懇請讀者批評指正。
編者
第1章 隨機事件 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 隨機試驗與隨機事件 1
1.1.2 事件的關系與運算 2
1.2 事件的概率 5
1.2.1 事件的頻率 5
1.2.2 概率的統(tǒng)計定義 6
1.2.3 概率的公理化定義 6
1.3 古典概率模型 8
1.4 條件概率 11
1.4.1 條件概率 11
1.4.2 乘法公式 13
1.4.3 全概率公式 15
1.4.4 貝葉斯公式 16
1.5 事件的獨立性 17
1.5.1 兩個事件的獨立性 17
1.5.2 多個事件的獨立性 18
習題1 20
第2章 隨機變量 24
2.1 隨機變量的定義 24
2.2 離散型隨機變量 25
2.2.1 離散型隨機變量的概率分布 25
2.2.2 常見的離散型隨機變量的概率分布 26
2.3 連續(xù)型隨機變量與隨機變量的分布函數 30
2.3.1 概率密度函數 30
2.3.2 隨機變量的分布函數 32
2.3.3 常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布 35
2.4 隨機變量函數的分布 40
2.4.1 離散型隨機變量函數的分布 40
2.4.2 連續(xù)型隨機變量函數的分布 41
習題2 43
第3章 隨機向量 46
3.1 二維隨機向量及其分布函數 46
3.2 二維離散型隨機向量 47
3.3 二維連續(xù)型隨機向量及其分布函數 50
3.3.1 二維連續(xù)型隨機向量 50
3.3.2 均勻分布 51
3.3.3 二維正態(tài)分布 52
3.4 邊緣分布 52
3.4.1 邊緣分布密度 52
3.4.2 二維離散型隨機向量邊緣分布 53
3.4.3 二維連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度 54
3.5 條件分布 56
3.5.1 條件分布的概念 56
3.5.2 離散型隨機向量的條件分布 56
3.5.3 連續(xù)型隨機向量的條件概率密度 59
3.6 隨機向量的獨立性 62
3.7 隨機向量函數的分布 64
3.7.1 Z=X+Y的分布 64
3.7.2 Z =max{X,Y}和Z =min{X,Y}的分布 66
3.8 n維隨機向量 68
3.8.1 定義和分布函數 69
3.8.2 n維連續(xù)型隨機向量 69
3.8.3 n維隨機向量函數的分布 70
習題3 71
第4章 隨機變量的數字特征 75
4.1 數學期望 75
4.1.1 離散型隨機變量的數學期望 75
4.1.2 連續(xù)型隨機變量的數學期望 78
4.1.3 隨機變量函數的數學期望 79
4.1.4 數學期望的性質 81
4.2 方差 83
4.2.1 方差的定義 83
4.2.2 方差的性質 85
4.2.3 幾種常用隨機變量分布的方差 86
4.3 協方差與相關系數 88
4.3.1 協方差 88
4.3.2 相關系數 89
4.4 矩與協方差矩陣 92
4.4.1 矩 92
4.4.2 協方差矩陣 92
習題4 93
第5章 極限定理 97
5.1 大數定律 97
5.1.1 切比雪夫不等式 97
5.1.2 大數定律 98
5.2 中心極限定理 99
習題5 102
第6章 樣本與統(tǒng)計量 103
6.1 總體與樣本 103
6.1.1 總體與個體 103
6.1.2 樣本 104
6.2 統(tǒng)計量及其分布 105
6.2.1 統(tǒng)計量與抽樣分布 105
6.2.2 樣本均值及其抽樣分布 106
6.2.3 樣本方差與樣本標準差 107
6.2.4 樣本矩及其函數 108
6.2.5 正態(tài)總體的抽樣分布 108
習題6 112
第7章 參數估計 113
7.1 參數的點估計 113
7.1.1 矩法估計 114
7.1.2 極大似然估計 116
7.2 點估計的評價標準 118
7.2.1 無偏性 118
7.2.2 有效性 118
7.2.3 一致性 119
7.3 參數的區(qū)間估計 120
7.3.1 置信區(qū)間的概念 120
7.3.2 單個正態(tài)總體參數的置信區(qū)間 122
習題7 125
第8章 假設檢驗 127
8.1 假設檢驗的基本概念 127
8.2 正態(tài)總體均值的假設檢驗 131
8.2.1 單個正態(tài)總體均值的假設檢驗 131
8.2.2 兩個正態(tài)總體均值的比較 132
8.2.3 成對數據的假設檢驗 134
8.3 正態(tài)總體方差的假設檢驗 135
8.3.1 單個正態(tài)總體方差的假設檢驗 135
8.3.2 兩個正態(tài)總體方差的檢驗 137
8.4 分布的擬合檢驗 138
習題8 141
第9章 方差分析與回歸分析 143
9.1 單因子試驗的方差分析 143
9.2 一元線性回歸分析 146
9.2.1 一元線性回歸模型 146
9.2.2 、最小二乘估計 147
9.2.3 回歸方程的顯著性檢驗 150
9.2.4 預測問題 150
習題9 151
附錄1 重要分布表 153
附錄2 各章習題參考答案 172
參考文獻 183
第3章隨機向量
在實際問題中，有些試驗的結果需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述，如射擊試驗彈著點的具體位置要由它的橫坐標和縱坐標來確定。又如，為了考察煉出的每爐鋼的質量，需要考慮含碳量、含硫量和硬度等基本指標，這就涉及3個隨機變量——含碳量、含硫量和硬度；如果還需要考察其他指標，則應引入更多的隨機變量。在研究的問題中，由于這些隨機變量之間通常存在著某種內部聯系，因此需要把這些隨機變量看作一個整體來加以研究。
若和都是隨機變量，則由、組成的一個整體稱為二維隨機向量。二維隨機向量中，、均稱為它的分量。在討論二維隨機變量時，可以把看作是平面上具有隨機坐標的點。
一般來說，對某一隨機試驗涉及的n個隨機變量，記為，稱為n維隨機向量或n維隨機變量。
顯然，第2章所討論的隨機變量是一維隨機變量。和一維隨機變量類似，二維隨機向量也可分為連續(xù)型和離散型等幾類。為了敘述方便，本章主要討論二維隨機向量，至于多維隨機向量不難類推。
3.1二維隨機向量及其分布函數
二維隨機向量中的兩個隨機變量和是有聯系的，它們是定義在同一樣本空間上的兩個隨機變量。其性質不僅與的性質及的性質有關，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系，因此僅僅逐個研究和的性質是不夠的，必須把作為一個整體加以研究。
首先引入其分布函數的概念。
定義3.1設是二維隨機向量，對于任意實數，稱二元函數
()(3.1)
為的分布函數。
分布函數表示事件和事件同時發(fā)生的概率。如果將看成平面上隨機點的坐標，取定,就是點落在平面上，以為頂點，且位于該點左下方無限矩形區(qū)域上的概率，如圖3.1所示。
由上面的幾何解釋可知，隨機點落在矩形區(qū)域、內的概率為
(3.2)
分布函數的性質如下。
(1)是變量x、y的不減函數，即對于任意固定的y，當x1《x2時，≤；對于任意固定的x，當y1《y2時，≤。
(2)0≤≤1(＜x＜,＜y＜)。(3.3)
(3)對于固定的y，有
F()=
對于固定的x，有
F(x,)=
還有
F(,)=
F(,)=
由以上可知,當變量時，在圖3.1中隨機點落在矩形內這一事件趨于不可能事件，其概率為零；而當時，圖3.1中的矩形擴展到全平面，隨機點落在矩形內這一事件趨于必然事件，其概率為1。
二維隨機向量也分為離散型與連續(xù)型，下面分別加以討論。
3.2二維離散型隨機向量
如果二維隨機向量的每個分量都是離散型隨機變量，則稱是二維離散型隨機向量。因為離散型隨機變量只能取有限或可列無窮個值，因此二維離散型隨機向量所有可能取的值也是有限或可列無窮個。
定義3.2設二維離散型隨機向量所有可能取的值為，記為
()(3.4)
稱式(3.4)為二維離散型隨機向量的概率分布或聯合分布律。
的聯合分布律如表3.1所示。
表3.1的聯合分布律
的聯合分布律具有下列性質。
(1)。(3.5)
(2)。(3.6)
二維離散型隨機變量的分布函數與概率分布之間具有如下關系式
(3.7)
其中和式對一切滿足的i和j求和。
例3.1一盒中有3個球,它們依次標有數字1、2、2。從這盒中任取一球后，不返回盒中，再從盒中任取一球。設每次取球時，盒中各球被取到的可能性相同。以、分別記第一次、第二次取得的球上標有的數字，求的聯合分布律。
解可能取的值為(1,2)、(2,1)、(2,2)，對應的概率分別為：
第一次取1的概率是，第一次已取得1后，第二次取得2的概率是1。按乘法定理，得。
第一次取2的概率是，第一次已取得2后，第二次取得1(或2)的概率是。
即；。
的聯合分布律如表3.2所示。
表3.2的聯合分布律
Y
X
1
2
1
0
2
例3.2設有10件產品，其中7件正品、3件次品。現從中任取兩次，每次取一件產品，取后不放回。令
X=1，若第一次取到的產品是次品；
X=0，若第一次取到的產品是正品；
Y=1，若第二次取到的產品是次品；
Y=0，若第二次取到的產品是正品。
求二維隨機向量的概率分布。
解所有可能取的值是(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)。
先求，即第一次取到正品、第二次也取到正品的概率，這是古典概型，易得
同理，可分別求得
的聯合分布律如表3.3所示。
表3.3的聯合分布律
Y
X
0
1
0
1
3.3二維連續(xù)型隨機向量及其分布函數
3.3.1二維連續(xù)型隨機向量
與一維連續(xù)型隨機變量類似，對于二維連續(xù)型隨機向量，也用一個“密度”函數來全面描述它的取值概率。
定義3.3對于二維隨機向量，若存在一個定義于全平面(,)的非負可積的二元函數，為任意平面區(qū)域，都有
(3.8)
則稱為二維連續(xù)型隨機向量,并稱為的聯合概率密度,簡稱聯合密度。
可見，如果知道二維連續(xù)型隨機變量的聯合密度，那么它落入區(qū)域內的概率只需計算一個二重積分即可。其幾何意義是以曲面為頂、以區(qū)域為底的曲頂柱體的體積，如圖3.2所示。
與一維隨機變量類似，聯合密度具有如下基本性質。
……
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