第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜密度函數(shù)

       第  3  章  連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜密度函數(shù)          (1) 從周期信號(hào)的三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)到指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)、再到非周期信號(hào)的傅里葉變換的演變過程，與此有關(guān)的公式及系數(shù)公式；  (2) 周期信號(hào)展成三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的含義；  (3) 常用周期信號(hào)的三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式；  (4) 傅里葉變換及逆變換在信號(hào)分析中的物理意義，求信號(hào)頻譜密度函數(shù)的多種方法；  (5) 傅里葉變換的基本性質(zhì)；  (6) 常用非周期信號(hào)的傅里葉變換；  (7) 傅里葉變換的卷積定理的證明與應(yīng)用。            3.1傅里葉級(jí)數(shù)在信號(hào)分析中的應(yīng)用

       3.1.1周期信號(hào)展開為三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)   在第1章的1.2.5節(jié)討論了信號(hào)的時(shí)域分解，指出信號(hào)有多種分解方法。本章將討論第5種分解方法：將一個(gè)信號(hào)分解為無數(shù)正弦信號(hào)的和，先討論周期信號(hào)的分解。   根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，若周期函數(shù)f(t)的周期為T，角頻率Ω=2πT，且滿足狄利克雷條件。      狄利克雷(Dirichlet)條件：在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即   ∫t0+T0|F(T)|dt<∞    一般的周期信號(hào)都能滿足狄利克雷條件，則周期信號(hào)f(t)可展開為三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：   f(t)=a02+∑∞n=1［ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)］  (3.1.1)   上式中，各系數(shù)的公式為：    a0=2T∫T2-T2f(t)dt   (3.1.2)   an=2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt   (3.1.3)   bn=  2T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt  (3.1.4)     圖3.1.1系數(shù)直角三角形    為了把式(3.1.1)變成所需要的形式，可以構(gòu)造一個(gè)如圖3.1.1所示的系數(shù)直角三角形。   則有：   An=dn=a2n+b2n   an=Ancosφn=dnsinθn   bn=Ansin(-φn)=dncosθn   tan(-φn)=bnantanθn=anbn    利用上述關(guān)系式，經(jīng)過恒等變形，則式(3.1.1)可以變換為：   f(t)=a02+∑∞n=1［ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)］   =a02+∑∞n=1AnanAncos(nΩt)+bnAnsin(nΩt)   =a02+∑∞n=1An［cosφncos(nΩt)-sinφnsin(nΩt)］   =a02+∑∞n=1Ancos(nΩt+φn)   (3.1.5)   及   f(t)=a02+∑∞n=1dnsin(nΩt+θn)  (3.1.6)   在信號(hào)分析中常用到式(3.1.5)，該式說明：周期信號(hào)可以分解為直流分量a02與無數(shù)余弦分量Ancos(nΩt+φn)之和。這些余弦分量的角頻率ω只能是基頻Ω=2πT的整數(shù)倍。   ● n=1時(shí)，余弦分量A1cos(Ωt+φ1)稱為基波；   ● n=2時(shí)，余弦分量A2cos(2Ωt+φ2)稱為二次諧波；   ● n=3時(shí)，余弦分量A3cos(3Ωt+φ3)稱為三次諧波；   ……其余依此類推。   各次諧波的振幅為：   An=a2n+b2n   =2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt2+2T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt2  (3.1.7)   是自變量ω=nΩ的函數(shù)，An~ω(nΩ)的圖像稱為幅度譜。各次諧波的相位為：   φn=-arctanbnan=-arctan∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt  (3.1.8)   也是自變量ω=nΩ的函數(shù)，φn~ω(nΩ)的圖像稱為相位譜。由于自變量ω只能取離散值nΩ，所以幅度譜和相位譜都是離散譜。周期信號(hào)頻譜的最大特點(diǎn)就是離散譜。如果已知周期信號(hào)f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式，就可以通過系數(shù)公式求出An,φn的表達(dá)式，從而畫出幅度譜和相位譜。以上所述就是三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)在信號(hào)分析中的物理意義。    圖3.1.2周期矩形脈沖信號(hào)    例3.1.1  周期矩形脈沖信號(hào)f(t)如圖3.1.2所示，試畫出f(t)的幅度譜和相位譜。   解由圖3.1.2寫出f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式如下：   f(t)=  A-τ20τ2①   根據(jù)系數(shù)公式(3.1.2)、(3.1.3)、(3.1.4)計(jì)算各系數(shù)為：   a0=2T∫T/2-T/2f(t)dt=2T∫τ/2-τ/2Adt=2AτT  ②   an=2T∫T/2-T/2f(t)cos(nωt)dt=4T∫τ/20Acos(n2πTt)dt   =2AnπsinnπτT=2AτTsinnπτTnπτT=2AτTSanπτT   =2AτTSanΩτ2  ③    因?yàn)閒(t)為偶函數(shù)，所以bn=0。   根據(jù)系數(shù)公式計(jì)算的結(jié)果，周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的展開式為：   f(t)=AτT+∑∞n=12AτTSanΩτ2·cos(nΩt)  ④   在上式中，a02=AτT為直流分量，因?yàn)閎n=0，所以有：   An=a2n+b2n=an=2AτTSanΩτ2   其為幅度譜，Ω=2πT。若知道A,T,τ的數(shù)值，即可畫出An~ω的圖形。   在式④中未出現(xiàn)φn，實(shí)際上，由于 bn=0,φn=-arctanbnan=0。所以φn的取值只有兩種情況，要么為0，要么為π。當(dāng)an=2AτTSanΩτ2為正時(shí)，φn=0，當(dāng)an為負(fù)時(shí)，φn=π。   令A(yù)=2,τ=1,T=4，則Ω=π2,a02=12，  則：   An=an=2AτTSanΩt2=Sanπ4=sinnπ4nπ4   而A�rn=sinnπ4nπ/4，計(jì)算n=1,2,3,…時(shí)的值，并列表如表3.1.1所示。根據(jù)表3.1.1中的數(shù)據(jù)，可畫出An~ω,φn~ω的圖形如圖3.1.3所示。    圖3.1.3周期矩形脈沖信號(hào)的幅度譜與相位譜       表3.1.1An,φn的計(jì)算表格A·n=sinnπ4nπ/4     n12345678……  ω=nωπ2π3π22π212π3π312π4π  A·n0.9000.707A10.333A10-0.2A1-0.236A1-0.143A10  φn000πππ     注意：  表3.1.1中各次諧波振幅的大小，是以基波振幅A1的大小來表示的，這種表示方法稱為歸一化。這樣做既可以減小計(jì)算工作量，又可以比較各次諧波的相對(duì)大小。     在頻譜圖中，通常用虛線將各條譜線的頂點(diǎn)連接起來，稱為包絡(luò)線。周期矩形脈沖信號(hào)幅度譜的包絡(luò)線具有抽樣函數(shù)曲線的形狀。關(guān)于抽樣函數(shù)，在3.3節(jié)中將會(huì)介紹。

      3.1.2周期信號(hào)展開為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)   周期信號(hào)除了可以展開成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)外，還可以展開成復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，這兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)可以通過數(shù)學(xué)恒等變形相互轉(zhuǎn)化。   若周期信號(hào)f(t)的周期為T，角頻率Ω=2πT，且滿足狄利克雷條件，則可以展開成如下的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。   f(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt=∑+∞n=-∞F(nΩ)ejnΩt=∑+∞n=-∞CnejnΩt  (3.1.9)   為了求出復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)(Fn或Cn)，可在上式兩邊同時(shí)乘以ejnΩt，且兩邊同時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)積分，由復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的特性，可得如下系數(shù)公式：    Fn=F(nΩ)=  ∫T0f(t)f(t)e-jnΩtdt  ∫T0ejnΩTe-jnΩt=  1T∫T0f(t)e-jnΩtdt(n=0,±1,±2,…)  (3.1.10)   積分周期也可選為-T/2到T/2，則系數(shù)公式為(三個(gè)系數(shù)符號(hào)Fn、Fn(nΩ)、Cn是等效的)：    Fn=1T∫T/2-T/2f(t)e-jnΩtdt(n=0,±1,±2,±3,…)  (3.1.11)   下面通過數(shù)學(xué)恒等變形，找出兩種級(jí)數(shù)系數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系。   根據(jù)歐拉公式，有:    cosnΩt=12(ejnΩt+e-jnΩt)  sinnΩt=12j(ejnΩt-e-jnΩt)    對(duì)于周期為T的周期信號(hào)f(t)，由展開式(3.1.5)，進(jìn)行如下的數(shù)學(xué)恒等變形：    f(t)=a02+∑∞n=1Ancos(nΩt+φn)    =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+e－j(nΩt+φn)   =a02+∑∞n=1An2ej(nω0t+φn)+∑∞n=1An2e－j(nω0t+φn)(令后面等式n=-m)   =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1A－m2e－j(－mΩt+φ－m)   =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1A－m2e－j(－mΩt－φm)(An為偶函數(shù)，φn為奇函數(shù))   =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1Am2ej(mΩt+φm)   =a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞n=－1An2ej(nΩt+φn)(將m換成n)   =∑+∞n=－∞An2ej(nΩt+φn)=∑+∞n=－∞An2ejφnejnΩt  (3.1.12)   式(3.1.9)是由周期信號(hào)f(t)直接展開得到的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，而式(3.1.12)則是先將周期信號(hào)f(t)展開成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，再恒等變形得到的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。式(3.1.9)和式(3.1.12)表示的是同一個(gè)周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，因此，它們應(yīng)該相等。比較兩式即得到：   Fn=Cn=12Anejφn  (3.1.13)   式(3.1.13)說明復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)(Fn有時(shí)用Cn表示)是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模為Fn=12An，相角為φn。   Fn是ω(=nΩ)的函數(shù)，其與ω(=nΩ)的關(guān)系稱為復(fù)數(shù)頻譜，是離散譜。   |Fn|和ω(=nΩ)的關(guān)系稱為復(fù)數(shù)幅度頻譜，是偶函數(shù)，是離散譜。   因?yàn)镕n=12An，這說明復(fù)數(shù)幅度頻譜是把三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的幅度頻譜的每一根譜線平分得到的，歐拉公式明確地表示了這一點(diǎn)。只有n=0時(shí)是例外，此時(shí)F0=12A0=a02就是直流分量。

       φn和ω(=nΩ)的關(guān)系稱為復(fù)數(shù)相位頻譜，是奇函數(shù)。從推導(dǎo)過程可以看出，兩種級(jí)數(shù)的相位譜的表達(dá)式是相同的，二者的區(qū)別在于三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的相位譜中的n只能取正整數(shù)，而復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的相位頻譜中的n可取正整數(shù)，也可取負(fù)整數(shù)。      注意：  要指出的是：在周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中出現(xiàn)了負(fù)頻率，在實(shí)際的信號(hào)中并不存在負(fù)頻率，負(fù)頻率的出現(xiàn)完全是引用歐拉公式運(yùn)算的結(jié)果。在信號(hào)的理論分析中需要進(jìn)行大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，用復(fù)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算比三角函數(shù)要簡單方便得多，因而在信號(hào)的理論分析中，一開始就引入了復(fù)指數(shù)。實(shí)踐表明，在信號(hào)分析中引用復(fù)指數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算所得出的基本理論都是正確的。因此，在信號(hào)分析中引用復(fù)指數(shù)函數(shù)是必要且可行的，并取得了巨大的成功。

       復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的引入，為非周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉變換的引入打下了基礎(chǔ)。可以認(rèn)為，復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)是一種過渡性的理論。信號(hào)分析的基本理論是三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。