前言

推算世界的超級思維

取近似值在推算世界之前

假設你坐公交車上班，快要遲到了，不幸的是，由于太過匆忙，你忘了帶手表，手機也被壓在手提包的最底層。于是，你只好向鄰座的女士求助，問她現(xiàn)在幾點了。她瞟了一眼腕上的手表，上面顯示8點33分46秒，但她卻對你說：八點半。

她撒謊了嗎？她為什么不說上午8點33分46秒？難道是她的手表不夠精準嗎？或者說，她和你一樣，也正趕著去上班，所以不愿意在你身上浪費時間？又或者，她知道自己一旦說完這句話，手表上的指針可能已指向8點33分48秒？

無論出于什么樣的原因，當人們在處理有關具體數(shù)字問題的時候，總是傾向于不要那么精準。對你而言，8點33分46秒和8點31分27秒似乎沒什么差別，相反，如果非要精準地說出8點33分46秒的話，可能會既耽誤你的時間，也耽誤她的時間。無論是整數(shù)化的八點半，還是在數(shù)字的后面加上一個小數(shù)點，我們實際上都是在取近似值。對絕大多數(shù)人而言，為了節(jié)約時間而犧牲一點點精準度其實是一筆很劃算的買賣，因為我們都有更重要的工作要做，當然，如果你在美國國家宇航局（NASA）工作，那就另當別論了。但不管怎么說，取近似值這種做法不僅可以為我們節(jié)約幾秒鐘的時間，它還是一個非常有價值的工具，可以幫助我們更好地理解數(shù)字。

當你需要拿主意的時候，取近似值的做法就像一個過濾器，能夠幫你過濾掉那些比較糟糕的想法。假如你是一位商人，要決定是否生產(chǎn)某種商品；假如你是一位議員，要決定是否投票贊同在墨西哥邊界修筑防御工事；假如你是一位物理學家，要決定是否探測希格斯玻色子�？傊�，無論你是誰，當你需要開展可行性測試的時候，取近似值都應是你的首選。

比如說你是一位政府官員，正在負責一項導彈防御計劃。你需要把納稅人的數(shù)十億美金全都投進去，但結(jié)果卻可能是你根本就沒有機會去阻止一場核攻擊，那么，對于這樣的計劃，你真的會立即將其付諸實施嗎？一開始，你是不是應該大致地估算一下該計劃成功的概率呢？當你提出一項切實可行的計劃的時候，是不是也該考慮一下能否再節(jié)約一些時間和成本呢？如果你估計這個計劃有90%的成功概率，那么，你肯定會將其付諸實施。即便你認為它只有10%的成功概率，你也可能會鋌而走險。但是，如果你估計出的結(jié)論是該計劃成功的可能性甚至比買彩票中獎的概率還要小，那么，你再執(zhí)著于此事就只能說你是愚蠢透頂了。對于日常生活中所要面臨的一些重要決定來說，進行此類的預估是必不可少的，即便我們不具備非常專業(yè)的水準，卻依然可以進行這樣的估算。無論是復雜的導彈防御還是簡單的過馬路，我們都是片刻不停地在估算，從本質(zhì)上來說較好的數(shù)學基礎也只不過是改善了我們估算的精準度而已。

我們養(yǎng)成的取近似值的習慣除了對我們的想法進行過濾，還可以提高我們的數(shù)值計算能力，尤其是可以提高我們對極大數(shù)字（或極小數(shù)字）的理解能力。你可能體會不到10億和1萬億之間有什么差別，但是經(jīng)常使用這樣的數(shù)字卻能夠幫助你盡快地建立起你對它們的理解，幫助你快速地形成數(shù)值地標，這種感覺可以引導你去理解一些概念上的東西。舉例來說，在我寫作本書的時候，10億這個數(shù)字就是世界人口的1/17，而1萬億就是美國國債的1/10。通過簡單的數(shù)學運算和一點點訓練，你就能夠?qū)Σ徽摯笮〉娜魏问挛镞M行估計，而且還會在理解大數(shù)字的過程中越發(fā)得心應手。

如何取近似值：費米法

取近似值的方法和技巧有很多，但其中最高效的則是費米法。費米法的高效性在于該方法使用起來既簡單又便捷，而且對于背景信息的要求還很低。費米法并沒有給出明確的操作程序，其通用的步驟就是先進行看似合理的基本假設，然后再利用這些假設推算出你想要的結(jié)果。

比如說，我想知道一棵樹上有多少片樹葉。簡便起見，我假設每根樹枝上大概有30片樹葉，每棵樹有10根樹枝，那么，每棵樹就有30片/根10根/棵=300片/棵。這個例子足夠簡單，但它卻為復雜的例子提供了最基本的指導思路。

1. 從你知道的入手

假設你正在計算建造一棟新的教學樓需要買多少錢的磚，但是由于你不知道一棟教學樓需要多少塊磚，因此你無法著手進行計算。但是你可能會知道一塊磚長約0.5英尺，而且你還知道一棟教學樓長約100英尺，于是，你就可以計算出一棟教學樓的長度是200塊磚。同理，你可以猜出教學樓的高度大約是20英尺。所有的這些猜測都是合理的�？赡苊恳豁椂紩�偏差幾個百分點，但如果你一開始就要猜測一棟教學樓總共需要多少塊磚，那么你的偏差可能就是10個百分點、100個百分點，甚至更離譜。從你最有把握的地方開始取近似值，然后再對你不太有把握的方面進行計算。

2. 利用單位對消獲取答案

在計算樹葉的那個例子里，我知道每根樹枝有多少片樹葉，也知道每棵樹有多少根樹枝。不過，你可能忘了自己在化學課上學過單位對消。事實上，如果你把它看作數(shù)字的相乘和相除，這個問題就會變得非常簡單了。例如，我可以拿每根樹枝上的樹葉來乘以每棵樹上的樹枝，那么樹枝就可以被對消，剩下的就是每棵樹上的樹葉。

這是非常簡單的因式分解，1除以1等于1，37除以37等于1，樹枝除以樹枝等于1，任何事除以任何事都等于1。有時候，只需要把一長串的單位都對消掉，就能得到你想要的答案。例如，在教學樓這個例子中，你可以列出每塊磚X元每面墻Y塊磚每座教學樓Z面墻這樣的算式，從而得到每座教學樓XYZ元的結(jié)果。

3. 利用極限值范圍

有些事物看起來并不難猜測，但是你卻覺得無從下手。例如，你想知道在洛杉磯城區(qū)里到底生活著多少位教師，但就是找不到著手點。那好吧，你總該知道，這個數(shù)字肯定是大于100的，因為100個老師只能滿足兩所中等規(guī)模的學校。此外，你還應該知道，這個數(shù)字肯定小于本市總?cè)丝诘?0%（在本案例中，洛杉磯城區(qū)的人口約為100萬）。于是，我們就知道了教師數(shù)量的上限和下限�；蛟S你無法知道具體的答案到底是什么，但是你肯定知道它肯定不是什么，這樣一來，你就可以借助其他的一些信息，利用排除的過程進行逐步排除，最終找到一個最佳的估計值。

4. 利用網(wǎng)絡

利用網(wǎng)絡來查詢你不知道的一些具體數(shù)字其實一點也不丟人。很多網(wǎng)站（如谷歌、維基百科等）都可以實現(xiàn)這一目的。在本書中，我也經(jīng)常會查詢一些我沒有興趣進行計算的事物（比如，物理常數(shù)和政府預算等），它們對于取近似值這個學習過程往往沒什么積極的意義。通常情況下，如果不是為了教學，凡是能通過簡單的谷歌搜索就能找到的內(nèi)容，我是不會費心去計算的，你應該也一樣。

5. 要公正

因為我們各自有各自的偏好，因此，公正可能就是最最重要的一條規(guī)則了，尤其是有不確定因素牽涉其中的時候，你必須確保你的計算結(jié)果不會受到你對事物應有樣子的預判斷的影響，這是非常重要的。我發(fā)現(xiàn)，我經(jīng)常會強迫自己，讓自己的計算結(jié)果去迎合那些想當然的想法。在這種情況下，當你需要確定最終結(jié)果的時候，最好采用最保守的估計，并且對這個估計的結(jié)果保持最大的懷疑。

6. 遵守規(guī)則，制定數(shù)值地標

老話說熟能生巧，這在取近似值方面是再適用不過了。練習得越多，就會越擅長，也就更容易識別數(shù)字。有朝一日，你就會在遨游數(shù)字空間的時候建立起自己的數(shù)值地標。例如，當你聽到100萬和10億這樣的數(shù)字的時候，你就會想起100萬就是1.5周時間的總秒數(shù)，而10億秒則將近32年。把數(shù)字和具體的實際情況放在一起進行參照，就能大大地提高一個人對于大數(shù)字的理解能力。

簡化數(shù)字

讓取近似值的過程又快捷又簡單的方法就是把數(shù)字簡化。例如，我們可以把397簡單地湊整為400。由于我們只是在取近似值，因此對于我們手頭上的工作而言，這兩個數(shù)字之間的差別其實無足輕重。下面，我給大家列舉一下經(jīng)常用到的一些技巧，這些技巧可以讓數(shù)學問題變得更加簡單。

湊整

就像前面談到的公交車乘客一樣，有時候，我們對于精準的時間并沒有什么興趣，我們在乎的只是對自身而言具有重要意義的東西。本書的絕大部分內(nèi)容，都會涉及兩個有效數(shù)字。我們可以把任何一個187變成190，也可以把任何一個7432變成7400。這不僅可以讓數(shù)學計算變得更簡單，還可以節(jié)約大把的時間。

指數(shù)計數(shù)法

很多人都喜歡把數(shù)字寫成或聽成100萬或10億，因為這樣它們才會有意義。但是我們真的理解它們的意義嗎？舉例來說，如果能夠擁有100萬或者10億美金，我們絕大多數(shù)人都會感到非常高興。拿100萬美金來說，如果每天消費1000美金的話，我們需要將近3年的時間才能把它花完。10億美金呢？6年？30年？還是2740年？沒錯，如果我們有10億美金，每天消費1000美金的話，從耶穌時代一直花到現(xiàn)在也花不完，因為10億是100萬的1000倍。

我們對于極大數(shù)字（或極小數(shù)字）的印象都不是特別明晰，但是，指數(shù)計數(shù)法卻可以讓我們毫不費力地把這個問題想明白。在指數(shù)計數(shù)法中，數(shù)字會寫作小數(shù)，在小數(shù)點之前只留一個非零位的數(shù)字，再乘以10的若干次冪。冪是告訴我們?nèi)绻�我們要把這個數(shù)字完全寫出來，小數(shù)點的后面還有多少個數(shù)位的空間，如果你想把小數(shù)點向右移動，把所有的數(shù)位空間全部都用完，你就需要按照冪次所示的數(shù)字，在小數(shù)點的前面補全所有的0。

例如，4.11015就可以把小數(shù)點向右挪一位，得到的數(shù)字是41，然后再加上14個0，你得到的數(shù)字就是41的后面跟著14個0。在6.2341053這個數(shù)字中，我們可以把小數(shù)點向右挪3位，然后在6234的后面加上50個0。毫無疑問，6.2341053這種表達方式比623，400，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000更容易理解。對于負數(shù)冪，你則需要把小數(shù)點向左移位，這樣寫出來的就是0的后面有一個小數(shù)點，小數(shù)點的后面是一定量的冪的負數(shù)。例如，3.2310-3就是小數(shù)點后面有（31）2個0，然后再續(xù)上323，即0.00323。

指數(shù)計數(shù)法縮減了書寫空間，更有利于閱讀和識記。需要注意的是，在有些情況下，有些數(shù)字只能以指數(shù)計數(shù)法來書寫，否則就難以操作，甚至不可能實現(xiàn)。例如，我們要把3.8105767415這個數(shù)印刷在一本書當中，如果我們想把這個數(shù)后面的0全部印出來的話，僅僅這個數(shù)字就要占到5000頁。

湊整為大數(shù)序列

最小的大數(shù)序列是指10的冪。例如，0.00001、100和1，000，000都是10的整數(shù)次冪。用指數(shù)計數(shù)法來表示，分別是10-5、102和106。正確地使用指數(shù)計數(shù)，可以幫助數(shù)字運算變得更加簡單，因為你可以通過對指數(shù)進行相加而得到你想要的乘積。例如，102105=107，10210-5=10-3。