前言

推算世界的超級思維

取近似值在推算世界之前

假設你坐公交車上班，快要遲到了，不幸的是，由于太過匆忙，你忘了帶手表，手機也被壓在手提包的最底層。于是，你只好向鄰座的女士求助，問她現(xiàn)在幾點了。她瞟了一眼腕上的手表，上面顯示8點33分46秒，但她卻對你說：八點半。

她撒謊了嗎？她為什么不說上午8點33分46秒？難道是她的手表不夠精準嗎？或者說，她和你一樣，也正趕著去上班，所以不愿意在你身上浪費時間？又或者，她知道自己一旦說完這句話，手表上的指針可能已指向8點33分48秒？

無論出于什么樣的原因，當人們在處理有關具體數(shù)字問題的時候，總是傾向于不要那么精準。對你而言，8點33分46秒和8點31分27秒似乎沒什么差別，相反，如果非要精準地說出8點33分46秒的話，可能會既耽誤你的時間，也耽誤她的時間。無論是整數(shù)化的八點半，還是在數(shù)字的后面加上一個小數(shù)點，我們實際上都是在取近似值。對絕大多數(shù)人而言，為了節(jié)約時間而犧牲一點點精準度其實是一筆很劃算的買賣，因為我們都有更重要的工作要做，當然，如果你在美國國家宇航局（NASA）工作，那就另當別論了。但不管怎么說，取近似值這種做法不僅可以為我們節(jié)約幾秒鐘的時間，它還是一個非常有價值的工具，可以幫助我們更好地理解數(shù)字。

當你需要拿主意的時候，取近似值的做法就像一個過濾器，能夠幫你過濾掉那些比較糟糕的想法。假如你是一位商人，要決定是否生產(chǎn)某種商品；假如你是一位議員，要決定是否投票贊同在墨西哥邊界修筑防御工事；假如你是一位物理學家，要決定是否探測希格斯玻色子�？傊�，無論你是誰，當你需要開展可行性測試的時候，取近似值都應是你的首選。

比如說你是一位政府官員，正在負責一項導彈防御計劃。你需要把納稅人的數(shù)十億美金全都投進去，但結果卻可能是你根本就沒有機會去阻止一場核攻擊，那么，對于這樣的計劃，你真的會立即將其付諸實施嗎？一開始，你是不是應該大致地估算一下該計劃成功的概率呢？當你提出一項切實可行的計劃的時候，是不是也該考慮一下能否再節(jié)約一些時間和成本呢？如果你估計這個計劃有90%的成功概率，那么，你肯定會將其付諸實施。即便你認為它只有10%的成功概率，你也可能會鋌而走險。但是，如果你估計出的結論是該計劃成功的可能性甚至比買彩票中獎的概率還要小，那么，你再執(zhí)著于此事就只能說你是愚蠢透頂了。對于日常生活中所要面臨的一些重要決定來說，進行此類的預估是必不可少的，即便我們不具備非常專業(yè)的水準，卻依然可以進行這樣的估算。無論是復雜的導彈防御還是簡單的過馬路，我們都是片刻不停地在估算，從本質(zhì)上來說較好的數(shù)學基礎也只不過是改善了我們估算的精準度而已。

我們養(yǎng)成的取近似值的習慣除了對我們的想法進行過濾，還可以提高我們的數(shù)值計算能力，尤其是可以提高我們對極大數(shù)字（或極小數(shù)字）的理解能力。你可能體會不到10億和1萬億之間有什么差別，但是經(jīng)常使用這樣的數(shù)字卻能夠幫助你盡快地建立起你對它們的理解，幫助你快速地形成數(shù)值地標，這種感覺可以引導你去理解一些概念上的東西。舉例來說，在我寫作本書的時候，10億這個數(shù)字就是世界人口的1/17，而1萬億就是美國國債的1/10。通過簡單的數(shù)學運算和一點點訓練，你就能夠?qū)Σ徽摯笮〉娜魏问挛镞M行估計，而且還會在理解大數(shù)字的過程中越發(fā)得心應手。

如何取近似值：費米法

取近似值的方法和技巧有很多，但其中最高效的則是費米法。費米法的高效性在于該方法使用起來既簡單又便捷，而且對于背景信息的要求還很低。費米法并沒有給出明確的操作程序，其通用的步驟就是先進行看似合理的基本假設，然后再利用這些假設推算出你想要的結果。

比如說，我想知道一棵樹上有多少片樹葉。簡便起見，我假設每根樹枝上大概有30片樹葉，每棵樹有10根樹枝，那么，每棵樹就有30片/根10根/棵=300片/棵。這個例子足夠簡單，但它卻為復雜的例子提供了最基本的指導思路。

1. 從你知道的入手

假設你正在計算建造一棟新的教學樓需要買多少錢的磚，但是由于你不知道一棟教學樓需要多少塊磚，因此你無法著手進行計算。但是你可能會知道一塊磚長約0.5英尺，而且你還知道一棟教學樓長約100英尺，于是，你就可以計算出一棟教學樓的長度是200塊磚。同理，你可以猜出教學樓的高度大約是20英尺。所有的這些猜測都是合理的�？赡苊恳豁椂紩�偏差幾個百分點，但如果你一開始就要猜測一棟教學樓總共需要多少塊磚，那么你的偏差可能就是10個百分點、100個百分點，甚至更離譜。從你最有把握的地方開始取近似值，然后再對你不太有把握的方面進行計算。

2. 利用單位對消獲取答案

在計算樹葉的那個例子里，我知道每根樹枝有多少片樹葉，也知道每棵樹有多少根樹枝。不過，你可能忘了自己在化學課上學過單位對消。事實上，如果你把它看作數(shù)字的相乘和相除，這個問題就會變得非常簡單了。例如，我可以拿每根樹枝上的樹葉來乘以每棵樹上的樹枝，那么樹枝就可以被對消，剩下的就是每棵樹上的樹葉。

這是非常簡單的因式分解，1除以1等于1，37除以37等于1，樹枝除以樹枝等于1，任何事除以任何事都等于1。有時候，只需要把一長串的單位都對消掉，就能得到你想要的答案。例如，在教學樓這個例子中，你可以列出每塊磚X元每面墻Y塊磚每座教學樓Z面墻這樣的算式，從而得到每座教學樓XYZ元的結果。

3. 利用極限值范圍

有些事物看起來并不難猜測，但是你卻覺得無從下手。例如，你想知道在洛杉磯城區(qū)里到底生活著多少位教師，但就是找不到著手點。那好吧，你總該知道，這個數(shù)字肯定是大于100的，因為100個老師只能滿足兩所中等規(guī)模的學校。此外，你還應該知道，這個數(shù)字肯定小于本市總人口的10%（在本案例中，洛杉磯城區(qū)的人口約為100萬）。于是，我們就知道了教師數(shù)量的上限和下限�；蛟S你無法知道具體的答案到底是什么，但是你肯定知道它肯定不是什么，這樣一來，你就可以借助其他的一些信息，利用排除的過程進行逐步排除，最終找到一個最佳的估計值。

4. 利用網(wǎng)絡

利用網(wǎng)絡來查詢你不知道的一些具體數(shù)字其實一點也不丟人。很多網(wǎng)站（如谷歌、維基百科等）都可以實現(xiàn)這一目的。在本書中，我也經(jīng)常會查詢一些我沒有興趣進行計算的事物（比如，物理常數(shù)和政府預算等），它們對于取近似值這個學習過程往往沒什么積極的意義。通常情況下，如果不是為了教學，凡是能通過簡單的谷歌搜索就能找到的內(nèi)容，我是不會費心去計算的，你應該也一樣。

5. 要公正

因為我們各自有各自的偏好，因此，公正可能就是最最重要的一條規(guī)則了，尤其是有不確定因素牽涉其中的時候，你必須確保你的計算結果不會受到你對事物應有樣子的預判斷的影響，這是非常重要的。我發(fā)現(xiàn)，我經(jīng)常會強迫自己，讓自己的計算結果去迎合那些想當然的想法。在這種情況下，當你需要確定最終結果的時候，最好采用最保守的估計，并且對這個估計的結果保持最大的懷疑。

6. 遵守規(guī)則，制定數(shù)值地標

老話說熟能生巧，這在取近似值方面是再適用不過了。練習得越多，就會越擅長，也就更容易識別數(shù)字。有朝一日，你就會在遨游數(shù)字空間的時候建立起自己的數(shù)值地標。例如，當你聽到100萬和10億這樣的數(shù)字的時候，你就會想起100萬就是1.5周時間的總秒數(shù)，而10億秒則將近32年。把數(shù)字和具體的實際情況放在一起進行參照，就能大大地提高一個人對于大數(shù)字的理解能力。

簡化數(shù)字

讓取近似值的過程又快捷又簡單的方法就是把數(shù)字簡化。例如，我們可以把397簡單地湊整為400。由于我們只是在取近似值，因此對于我們手頭上的工作而言，這兩個數(shù)字之間的差別其實無足輕重。下面，我給大家列舉一下經(jīng)常用到的一些技巧，這些技巧可以讓數(shù)學問題變得更加簡單。

湊整

就像前面談到的公交車乘客一樣，有時候，我們對于精準的時間并沒有什么興趣，我們在乎的只是對自身而言具有重要意義的東西。本書的絕大部分內(nèi)容，都會涉及兩個有效數(shù)字。我們可以把任何一個187變成190，也可以把任何一個7432變成7400。這不僅可以讓數(shù)學計算變得更簡單，還可以節(jié)約大把的時間。

指數(shù)計數(shù)法

很多人都喜歡把數(shù)字寫成或聽成100萬或10億，因為這樣它們才會有意義。但是我們真的理解它們的意義嗎？舉例來說，如果能夠擁有100萬或者10億美金，我們絕大多數(shù)人都會感到非常高興。拿100萬美金來說，如果每天消費1000美金的話，我們需要將近3年的時間才能把它花完。10億美金呢？6年？30年？還是2740年？沒錯，如果我們有10億美金，每天消費1000美金的話，從耶穌時代一直花到現(xiàn)在也花不完，因為10億是100萬的1000倍。

我們對于極大數(shù)字（或極小數(shù)字）的印象都不是特別明晰，但是，指數(shù)計數(shù)法卻可以讓我們毫不費力地把這個問題想明白。在指數(shù)計數(shù)法中，數(shù)字會寫作小數(shù)，在小數(shù)點之前只留一個非零位的數(shù)字，再乘以10的若干次冪。冪是告訴我們?nèi)绻�我們要把這個數(shù)字完全寫出來，小數(shù)點的后面還有多少個數(shù)位的空間，如果你想把小數(shù)點向右移動，把所有的數(shù)位空間全部都用完，你就需要按照冪次所示的數(shù)字，在小數(shù)點的前面補全所有的0。

例如，4.11015就可以把小數(shù)點向右挪一位，得到的數(shù)字是41，然后再加上14個0，你得到的數(shù)字就是41的后面跟著14個0。在6.2341053這個數(shù)字中，我們可以把小數(shù)點向右挪3位，然后在6234的后面加上50個0。毫無疑問，6.2341053這種表達方式比623，400，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000更容易理解。對于負數(shù)冪，你則需要把小數(shù)點向左移位，這樣寫出來的就是0的后面有一個小數(shù)點，小數(shù)點的后面是一定量的冪的負數(shù)。例如，3.2310-3就是小數(shù)點后面有（31）2個0，然后再續(xù)上323，即0.00323。

指數(shù)計數(shù)法縮減了書寫空間，更有利于閱讀和識記。需要注意的是，在有些情況下，有些數(shù)字只能以指數(shù)計數(shù)法來書寫，否則就難以操作，甚至不可能實現(xiàn)。例如，我們要把3.8105767415這個數(shù)印刷在一本書當中，如果我們想把這個數(shù)后面的0全部印出來的話，僅僅這個數(shù)字就要占到5000頁。

湊整為大數(shù)序列

最小的大數(shù)序列是指10的冪。例如，0.00001、100和1，000，000都是10的整數(shù)次冪。用指數(shù)計數(shù)法來表示，分別是10-5、102和106。正確地使用指數(shù)計數(shù)，可以幫助數(shù)字運算變得更加簡單，因為你可以通過對指數(shù)進行相加而得到你想要的乘積。例如，102105=107，10210-5=10-3。