你好！感謝你在考研復習過程中，選擇了我們這套叢書做伴.在未來接近1年的時間里，我們將始終跟你在一起并肩作戰(zhàn)，為你保駕護航.如果你在復習過程中，碰到什么問題，我們熱烈地歡迎你聯(lián)絡我們.你也可以關注叢書主編朱祥和教授的新浪微博：祥和老師.考研數(shù)學滿分150分，是研究生考試中非常重要的一門科目，很容易拉開分數(shù)，因此是考研學生必爭的領地，享有得數(shù)學者得考研的美譽.本書分為三個部分，即高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計，這三個部分獨立成體系.本書在總結歷年考研真題的基礎上，結合最新的考研命題思路，針對考研數(shù)學的基礎復習時間、重點、方式、參考資料、輔導班等基本問題進行分析，以助準備考研的同學們能夠順利考上自己心儀的學府.
一、 宏觀復習脈絡1. 知己知彼，百戰(zhàn)不殆1） 考試類型考研數(shù)學按照考生所報考的專業(yè)主要可分為三個類型，即數(shù)學一、數(shù)學二、數(shù)學三，考查內容涉及高等數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計以及線性代數(shù)三個部分（注意，數(shù)學二不考概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分）.在數(shù)學一、數(shù)學三的試卷中，三科所占的比重分別約為 56%、22%、22%，而在數(shù)學二的試卷中，高等數(shù)學和線性代數(shù)分別約占 78% 和 22% 的比例.考生在實際復習過程中，要按照三個部分在考試中所占的比例，合理地分配復習時間.2） 試卷題型在開始復習前，必須對考研數(shù)學的題型有一個清楚的把握.考研數(shù)學的整張試卷可以分為選擇題、填空題和解答題三種題型.選擇題有8道題，填空題有6道題，每道題均為4分.這兩部分占了很大的比例，達到56分.解答題為9道，共94分.對待這三種不同的題型，應該選擇不同的解題方法，例如，在做選擇題和填空題時，可能會有一些特殊的處理方法和技巧.如果做這種題還是按照常規(guī)主觀題的做法，有的時候方法不當，本來很簡單的題做成了很復雜的題，走了彎路，而且浪費了寶貴的時間.但是，考生也不能片面追求技巧，而是要把這種技巧建立在自身已經很牢固地掌握基礎知識之上，做到基礎牢固，技巧添花.3） 考研數(shù)學考什么據(jù)統(tǒng)計，每年考研數(shù)學試題中有60%以上的題目是在考查對基礎知識的理解與掌握，所以一定要重視基礎.但是很多同學不夠重視這一點，總是好高騖遠，一味尋求技巧或者是摳難題，以為這樣才是提高數(shù)學成績的途徑.其實，這就是相當一部分同學復習數(shù)學的惡習.考研數(shù)學中大部分是中檔題和容易題，所謂的20%的比較有難度的題目，其考查的不過是簡單題目上的進一步綜合分析能力，并不是說有多么難.簡而言之，考研數(shù)學的考試重點在于對基礎知識的掌握與運用.4） 善用歷年真題統(tǒng)計表明，每年的研究生入學考試高等數(shù)學內容較之前幾年都有較大的重復率.當年試題與往年考題雷同的約占50%.這些考題或是改變某一數(shù)字，或是改變一種說法，但解題的思路和所用到的知識點幾乎一樣.需要通過對考研的試題類型、特點、思路進行系統(tǒng)的歸納總結，并做一定數(shù)量的習題，有意識地重點解決解題思路問題.對于那些具有很強的典型性、靈活性、啟發(fā)性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養(yǎng).盡管每年試題千變萬化，但其所考的知識結構基本相同，題型相對固定，往往存在明顯的解題套路.提煉題型的目的是提高解題的針對性，形成思維定式，進而提高考生解題的速度和準確性.例如，考數(shù)學一的同學，最好看看往年的其他類數(shù)學的真題，如數(shù)學三的概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)學二的線性代數(shù)等.一方面，這些題目有可能難于數(shù)學一的，另一方面，這些考題有可能稍作變換后就出現(xiàn)在當年的數(shù)學一考試中.此外，現(xiàn)在的閱卷都是分步給分的，要通過自己不斷地摸索去體會歷年考試真題，重視總結歸納、解題思路、套路和經驗，做到訓練有素.這樣在考試中即便碰到很吃力的問題，也可以將分數(shù)的損失減到最低.2. 運籌帷幄，決勝千里在啟動考研數(shù)學復習之前，首先需要從宏觀上把握考研數(shù)學全年復習規(guī)劃.考研是一個極具選拔性和自學性的考試.在學習中必須具備良好的心態(tài)和策略，這是成功的保證.學數(shù)學靠的是日積月累，靠的是早準備、早計劃、早復習.數(shù)學基礎好的同學需要花8～10個月時間，稍差的同學需要花12～15個月時間.數(shù)學的復習應具有連貫性.由于數(shù)學分值的重要性以及數(shù)學內容多而雜，量很大，因此應該做好打持久戰(zhàn)的心理準備.事實上，一旦進入考研備考階段，數(shù)學復習就不應該間斷，考生最好可以保證每天至少用3個小時的時間來復習數(shù)學.特別是到了最后沖刺階段，考生在心理和生理上都難免會感到疲憊，而此時恰恰是復習備考最關鍵的時候.若此時間斷或者放下對數(shù)學的復習，則會對考生的備考狀態(tài)產生不利影響.在最后的復習階段中，最好按照考試時間去做一些強度不太大的模擬題或者已經做過的真題，讓自己保持手感，以良好的復習心態(tài)積極迎接考試，這是至關重要的.總體來說，就是要前期把基礎打好，中期進行專項訓練，后期進行技巧培訓，日積月累，持之以恒.考生要保持良好平穩(wěn)的心態(tài)，避免情緒因素影響復習和考試.每年都有很多考生中途放棄，越到后期越密集，幾乎每天都不斷有人退出競爭，甚至在考場上還有當場打退堂鼓的.據(jù)調查，每年在6月份宣稱準備考研的同學中大約只有40%堅持到底.這種堅持需要超強的毅力和定力.實現(xiàn)這種超強毅力和定力：一是憑借各人的自制力；二是通過不斷的自我心理暗示來強化信心；三是盡量遠離干擾源，如盡量不要在宿舍學習；四是通過周期性的適當放松，甚至發(fā)泄，以保持心理平衡.此外，在復習的過程中，一旦復習計劃制訂完成，就要嚴格按照要求來執(zhí)行.過度地與別人進行比較，會干擾自己的進度，影響自己的心理狀態(tài)，擾亂自己的復習計劃.要做到按部就班，循序漸進，心中有數(shù).孟子曾經說過：天將降大任于斯人也，必先苦其心志，勞其筋骨，餓其體膚，空乏其身，行拂亂其所為，所以動心忍性，曾益其所不能.考研對我們來說，不單單是對知識點的考查，更是對考生心理素質的巨大考驗.考生必須要做好足夠的心理準備，去迎接即將到來的磨煉.考研的路上，請牢牢記得：只有心理強大，才是真正的強大.3. 合理安排每天的復習時間在研究生入學考試中，數(shù)學被安排在上午，為了調整生物鐘與之一致，我們建議考生將數(shù)學的復習時間安排在上午.每天上午8:3011:30為佳.每天至少應該花3個小時來復習數(shù)學，其中用1.5～2個小時的時間理解、掌握基本概念、定義等，余下的時間用于做習題的鞏固.考生也可以根據(jù)自己對于知識的掌握程度做適當?shù)脑鰷p.要保證基礎階段高等數(shù)學的復習在3個月內完成，線性代數(shù)的復習在1個月內完成，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的復習在1個月內完成.二、 核心復習內容1. 教材1） 計劃安排把握大綱，吃透課本（1） 把握大綱.考試大綱之所以很重要，是因為它幾乎涵蓋了考試的所有知識點和對考生能力的要求.考試大綱對考試內容的要求有理解、了解、掌握三個層次；對方法的要求有掌握、會(能)兩個層次.一般來說，要求理解的內容、要求掌握的方法，是考試的重點.在歷年考試中，這方面考題出現(xiàn)的概率較大;在同一份試卷中，這方面試題所占的分數(shù)也較多，不僅要在主要內容和方法上多下功夫，更重要的是去尋找重點內容與次要內容間的聯(lián)系，以主帶次，用重點內容提挈整個內容.主要內容理解透了，其他的問題迎刃而解.從近幾年的情形來看，考研數(shù)學大綱基本沒有變化.（2） 吃透課本.課本是數(shù)學所有知識的源，所以在復習的過程中，一定要牢牢地抓住課本.在復習備考的基礎階段，首先要從課本著手，參照考試大綱，建立對數(shù)學課本整個體系知識脈絡的宏觀掌握，同時培養(yǎng)好的復習習慣.需要強調的是，僅僅粗枝大葉地瀏覽一遍課本是絕對不行的，只有通過對課本第二遍、第三遍的反復研讀，才能真正理解和掌握課本的精華.2） 推薦書目（1） 《高等數(shù)學》，同濟大學數(shù)學系編，第七版（上、下兩冊）.（2） 《工程數(shù)學線性代數(shù)》，同濟大學數(shù)學系編，第五版.（3） 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，浙江大學盛驟、謝式千、潘承毅編，第四版.（4） 《考研數(shù)學基礎引導》，朱祥和主編.3） 復習建議在數(shù)學基礎階段的復習過程中，應該注意高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計三科的復習順序.在第一遍復習中，建議先復習高等數(shù)學，再復習線性代數(shù)，最后復習概率論與數(shù)理統(tǒng)計.對于要考數(shù)學二的同學，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的內容不在考試的范圍之內.由于高等數(shù)學是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎，首先學習高等數(shù)學是上佳選擇.同時，由于數(shù)學的學習具有系統(tǒng)性和連續(xù)性，因此建議一門課程復習完畢后，再投入下一門的復習.當然同學們也可以根據(jù)自己的特殊情況調整復習順序.在第二遍復習過程中，建議在腦海中通過線索把所學的知識串聯(lián)起來.例如，在復習高等數(shù)學時，一定要把極限論、微分學和積分學有機地結合起來，前后貫穿，靈活運用.在復習線性代數(shù)時，一定要以線性方程組為核心，前后融會貫通，靈活運用所學知識來分析問題和解決問題，不要將它們孤立割裂開來.比如，行列式、矩陣、向量、線性方程組是線性代數(shù)的基本內容，它們不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的.在復習概率論與數(shù)理統(tǒng)計時，考生要靈活運用所學知識，建立正確的概率模型，綜合運用極限、連續(xù)、導數(shù)、積分、廣義積分、二重積分及級數(shù)等知識去分析和解決實際問題，提高解綜合題的能力.2. 三基（基本概念、基本方法、基本定理）1） 計劃安排強化基礎，重視三基在復習課本的過程中，一定要重視基本概念、基本方法和基本定理.數(shù)學是一門邏輯性極強的演繹科學，只有對基本概念深入理解，對基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點.通過分析數(shù)學答卷可以發(fā)現(xiàn)，因為忽略了三基而失分的現(xiàn)象在近年的考試中出現(xiàn)很多.考生失分的一個重要原因就是對基本概念、定理記不全、記不牢、理解不準確，對基本解題方法掌握不好等；大多數(shù)考生往往因為一個考點沒掌握而影響了整道題的運算，最終導致失分.如果對數(shù)學中最基本的方法掌握不好，則會給解題帶來思維上的困難.例如，判斷狄利克雷函數(shù)在x=0處的間斷點類型，在這道題上犯錯誤的同學不在少數(shù).原因主要有二：一是對極限的性質還很模糊，沒有分清函數(shù)在一點處有定義和函數(shù)在一點存在極限的區(qū)別；二是沒有深入理解間斷點的類型，不了解第一類間斷點和第二類間斷點的本質區(qū)別.這道題大家如果對照著課本一步一步做，幾乎沒有人會做錯，而如果脫離了課本，很多人卻感覺模棱兩可.可導、可積等概念也是如此，其易錯點有待大家在復習時挖掘.因此，在復習過程中，一定要針對大綱和課本具體研究，將二者有機結合起來，重點要把三基打牢固.2） 復習建議第一，基礎需全面.在備考復習的實踐中，可能會遇到一些非�；�本，而課本中又未明確給出的知識點，有些甚至是高中所學的知識，例如，三角函數(shù)的運算（和差角公式、積化和差公式、二倍角公式、半角公式等）、兩點之間距離公式、階乘公式、韋達定理，以及冪指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的變換等.這些內容雖然很基礎，但復習的時候絕不能忽略，一旦出錯會影響后續(xù)的運算，甚至有些時候，它們可能會成為考試解題的突破點.例如：loga（xy）=logax logay，其中x＞0，y＞0，這個式子可以作為滿足f（xy）=f（x） f(y)的一個特殊函數(shù)，進行特殊化處理，也可以運用到求含復雜運算的對數(shù)函數(shù)的導數(shù)中（例如，求y=ln3x2ex（x＞0）的導數(shù)，可先將式子變形為y=ln32 lnx 12lnex，易得其導數(shù)為y=1x 12，其他不再一一舉例）.第二，復習方法須得當.在復習中，首先通過課本的目錄熟悉一下各章節(jié)的內容，然后吃透基本的概念、定理、例題，對一些重要的概念、公式要在理解的基礎上進行記憶，同時通過課后習題進行鞏固.對于一些易混淆的概念，可以通過相互比較來進行區(qū)分，把握課本前后內容的相互聯(lián)系.例如，在講到函數(shù)時，應對函數(shù)的奇偶性、周期性、單調性、有界性、對稱性和凸凹性等性質進行歸納和總結，以便靈活運用.3. 例題和課后習題1） 計劃安排強化基礎，重視三基課本中的例題都是很簡單的，能夠成為例題，說明它們必然有其經典之處，請大家細心體會.再有就是課后習題，盡管在一道大題中，每一道小題看起來都差不多，但如果不一道一道認真做，是很容易忽視一些細節(jié)問題的.例如：x=0是否是y=arctan(1/x)的一條垂直漸近線？如果y=xsin(1/x)在x趨于正無窮大和負無窮大時的極限都存在，是否它就有兩條水平漸近線？對于第一個問題，首先我們應該明白垂直漸近線，是在自變量趨于某一點時，其函數(shù)趨于無窮，因此，當x趨于0 時，1/x趨于正無窮，arctan(1/x)趨于2，不是趨于無窮大，而當x趨于0-時，arctan(1/x)趨于-2，不是趨于無窮大.由此可見，x=0不是y=arctan(1/x)的一條垂直漸近線，而且，還能得出x=0是y=arctan(1/x)的第一類間斷點，類型為跳躍間斷點.而對于y=xsin(1/x)，當x趨于正無窮大和負無窮大時，1/x均趨于0，根據(jù)limy=limsin(1/x)1/x=1，可知當x趨于正無窮與負無窮時，其只有一條漸近線，為直線y=1.此處不再一一舉例.另外，每章的總復習題中的部分題目就是歷年考研真題，其重要性不言而喻.4. 強化訓練1） 計劃安排多動手，熟能生巧很多考生存在這樣的問題：書看了，就以為會了，或者做題時只是在草稿紙上畫兩下，并沒有認真地算，而等到真正動手做的時候，錯誤百出.這是個很大的問題.數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，容不得半點紕漏，在還沒有建立起完備的知識結構之前，若只看解題而不親自動手做，則必然難以把握題目中的重點.這就要求同學們平時復習的時候，切勿眼高手低，對待一些基本的運算題不能光看會，而不去算.不是說每道題都認真地做到底，但每一種類型的計算題都應該拿出一定量進行練習，這樣才能提高計算的準確率，保證會做的題目真正能夠得分.而且，通過動手練習，還能幫助同學們規(guī)范答題模式，提高解題和運算的熟練程度.正式考試時3個小時那么大的題量，本身就是對計算能力和熟練程度的考查.因此，為了取得好的數(shù)學成績，要求必須大量練習.2） 復習建議在做題的過程中，一定要重視總結歸納解題思路、方法和技巧.很多同學做題的過程就到核對過答案或是糾正過錯誤就結束了.建議大家在糾正完錯誤之后，再把題目從頭看一遍，總結一下自己都在哪些方面出錯了，原因是什么，這道題中有沒有出現(xiàn)自己不知道的新的方法、思路，新推導出的定理、公式等，并把這些有用的知識全都寫到筆記本上，以便隨時查看和重點記憶.對于大題的解題方法，要仔細想一想，都涉及哪些科目和章節(jié)、這些知識點之間有哪些聯(lián)系等，從而使自己所掌握的知識系統(tǒng)化，以達到融會貫通.只有這樣，才能使做過的題目實現(xiàn)其最大的價值.如果你能夠這樣做，那么做過的題在以后的復習中如果沒有時間，就不用再拿出來重新看了，因為你已經把要掌握的精華總結好了，只需看筆記本就行了.5. 思維的訓練1） 計劃安排多歸納總結，發(fā)散思維思維上的訓練存在于整個復習過程中，在最后考試的時候得以充分檢驗.在平常的復習過程中，要有意識地培養(yǎng)逆向思維、抽象思維和定向思維的能力.在訓練中，要注意理解和總結一些技巧性的東西，有意識地提高自己思維的靈活性.要爭取一題多種解法，即概念要相通，在自我訓練過程中多思考，靈活運用概念原理.同時，要多了解歸納數(shù)學命題中常用到的一些思想.這里列舉一些，供同學們在復習中學習、領會、運用、掌握.（1） 數(shù)形結合的思想：利用圖形來求解數(shù)學問題是一種非常簡便、有效的常用手段，有時可將復雜問題直觀化、簡單化；對于有些問題，必須要畫出圖形，才能進行求解，例如，求曲線在某點的曲率中心坐標，斜率、導數(shù)與正切角的關系，等等. （2） 放縮的思想：可廣泛地應用于夾逼法則求極限、證明不等式、求上下界等問題上.它是一種對技巧性要求較高的方法，通常需要對問題進行合適的變形才可以得出所要的結論.（3） 換元的思想：求抽象函數(shù)、復合函數(shù)求導、求偏導、求微分、利用三角換元來進行不定積分或圓和橢圓等曲線方程的計算、第一換元積分、第二換元積分、曲線積分、極坐標與直角坐標轉換等問題，均可利用換元的思想進行變換從而得以解決.（4） 構造函數(shù)的思想：通過構造某種函數(shù)，可以使問題得以轉化，從而利用所構造函數(shù)的各種性質和運算得以解決.例如，構造函數(shù)的思想可應用于拉格朗日中值定理的證明，結合函數(shù)的極值和最值或者零值定理、介值定理等定理來進行不等式的證明，以及用于實際應用等題目中，這是一種解決問題極為有效的手段.（5） 方程（組）解的思想：許多問題，例如，求某些微分方程的特解、求曲線方程的交點、線性代數(shù)中形如AX=B（其中A和B為矩陣或者向量）等，都可以歸結為求方程（組）解的問題.這些解常常是對應函數(shù)在一定條件下的臨界點.通過對它們進行討論，就可得出對應函數(shù)的性質.例如，一元二次方程F（x）=0在>0條件下的解將坐標軸分成了3個區(qū)間，可利用數(shù)形結合來討論對應函數(shù)F（x）在某特定區(qū)間的符號等.（6） 從特殊到一般的思想：常用于求微分方程、求mn線性方程組等的通解的問題中，通過求解出某些特解，從而可得到通解的一般形式；泰勒展開式、麥克勞林展開式等也可看作通過某些特殊點的函數(shù)值和各階導數(shù)值而得出函數(shù)的一般表達式.此外，數(shù)學歸納法也可看作是從特殊到一般過渡的一種推理方法.在實際做選擇題時，可利用某些特殊值和特殊函數(shù)，迅速得出結果.（7） 拆分的思想：拆分的思想實質上是化整為零，逐個擊破.例如：利用題目所給條件或者被積函數(shù)的奇偶性、對稱性等，進行積分上下限的分割，用分割法求定積分面積、求體積、求曲面積分，等等.分類討論也可歸為此類思想，當題目中所給的條件存在著多種可能結果時，常需要進行討論.例如：討論曲線方程F(x)和G（x）的交點個數(shù)，常常通過轉化為F(x)-G（x）=0，并判斷有幾個解來解決.（8） 湊的思想：在解決求極限、利用定義湊導數(shù)的形式、證明不等式、分式的拆分等問題和定積分類實際應用題中利用模型湊出被積函數(shù)從而進行積分，以及線性代數(shù)中湊上三角、下三角來求行列式的值，湊零來簡化行列式的運算等問題中，常用到湊的思想. 這種方法也往往要一定的技巧，需要進行訓練.（9） 取反的思想：在不方便直接求解問題時，常常可通過求解其反面來解決，原理可表示為A所求=A總-A余.例如：在所求圖形的面積較難計算而總面積和其他部分的面積易求時，可利用取反來解決；在計算復雜事件的概率時，通過先求其對立事件概率，進而求得所求事件的概率.此外，求逆矩陣、求反函數(shù)也可歸為此類，有時可以方便地解決問題.數(shù)學是一門博大精深的學科，其中蘊含著豐富的思想和智慧，有待大家在學習中慢慢發(fā)現(xiàn)、體會、領悟.只有掌握了這些思想，才能看透題目的本質，做到融會貫通，以不變應萬變.特別應該強調一點，那就是數(shù)學當中所有用到的定理、思想、方法都有一定的適用范圍和條件，在解題之前必須要進行觀察和判定，以免掉入命題者的陷阱，例如，洛必達法則適用于求0/0型或者無窮/無窮型的極限，用它求極限之前必須判斷是否滿足這兩種類型，如果不滿足而用了洛必達法則，結果肯定會出錯.這就要求必須學會讀題，練就一雙慧眼，學會從題目所給的條件中提煉出有效、正確的信息，來引領解題思路.這必須要通過扎實基礎、多做題、多練習、多獨立分析題目來強化.只有我們面對一道題時，知道它要考什么，有哪些條件可以利用，才能正確地解答出題目.三、 學習建議6月以前：第一輪基礎復習.7月9月：第二輪強化復習.10月11月中旬：第三輪沖刺復習.11月中旬考前：第四輪點睛復習.
朱祥和
2016年10月于中國人民大學靜園