本書講授的線性代數(shù)是面向非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門公共基礎(chǔ)課，它不僅為我們提供學(xué)好后繼課程的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且為我們提供在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中通用的分析問題與解決問題的方法。
　　本書是我們?yōu)榱诉m應(yīng)MOOC需要編著的，由我們制作的線性代數(shù)MOOC已在中國(guó)大學(xué)MOOC上線。我們按照教育部高等學(xué)校教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)以及全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試大綱對(duì)線性代數(shù)課程的要求，基于MOOC的特點(diǎn)，本著“由淺人深、由易到難”的原則，對(duì)線性代數(shù)的課程內(nèi)容做了系統(tǒng)整合，使得課程結(jié)構(gòu)更加緊湊，課程的前后順序更加合理，使得這門課更加容易教與學(xué)。全書分為6章。
　　第一章講線性方程組。我們由線性方程組的化簡(jiǎn)，引出線性方程組的初等變換（互換兩個(gè)方程的位置，某個(gè)方程乘非零常數(shù)，某個(gè)方程的倍數(shù)加到另外一個(gè)方程上）；將方程組等價(jià)到增廣矩陣、方程組的初等變換等價(jià)到增廣矩陣的初等行變換，定義一般矩陣的初等行變換；用矩陣的階梯形的非零行數(shù)定義矩陣的秩；給出線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，線性方程組有解并且解唯一的充分必要條件是線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩且等于方程組的未知數(shù)的個(gè)數(shù)；通過方程組的增廣矩陣的簡(jiǎn)化階梯形給出求有解線性方程組的解的方法。
　　第二章講矩陣代數(shù)。我們定義了矩陣的4種運(yùn)算：加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置。在定義矩陣乘法的時(shí)候，我們特別注重矩陣的行與列的整體性，將矩陣按行或者按列表示，這不僅講清了矩陣乘法的本質(zhì)，也為后面講矩陣的分塊、向量以及向量組做了鋪墊和準(zhǔn)備。進(jìn)一步地，矩陣的按行、按列表示也為證明矩陣運(yùn)算的性質(zhì)提供了極大的方便。
　　第三章講向量空間，這是線性代數(shù)的核心內(nèi)容。在這一章，判斷向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)，以及向量可否由向量組線性表示的工具是線性方程組，求向量組的極大無關(guān)組與秩的工具是矩陣以及矩陣的初等行變換。矩陣與向量組是可以互相轉(zhuǎn)換的。一個(gè)矩陣可以決定3個(gè)向量空間：零空間，列空間，行空間。由矩陣的零空間可以給出線性方程組的解的向量形式，這樣就完善了線性方程組的解的理論。在n元實(shí)向量空間上定義了兩個(gè)向量的內(nèi)積，向量的長(zhǎng)度，以及兩個(gè)向量的正交，給出了線性無關(guān)向量組的施密特正交化方法，為講行列式在幾何方面的應(yīng)用與實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化準(zhǔn)備好了工具。
　　第四章講行列式。我們采用遞歸的方法定義行列式，先給出2階行列式的定義與性質(zhì)，然后利用行列式的第1行的展開，遞歸定義當(dāng)n>2時(shí)的n階行列式。這樣定義既容易理解，也方便低階時(shí)直接計(jì)算，并且它還是行列式按行展開的一種特殊情況。關(guān)于行列式性質(zhì)的證明，只要熟悉數(shù)學(xué)歸納法，并不是很難理解。而且弄懂一個(gè)性質(zhì)的證明即可，方法都是一樣的。作為行列式在代數(shù)方面的應(yīng)用，我們證明了矩陣的秩等于矩陣的非零子式的最大階數(shù)，通過伴隨矩陣證明了求解nxn線性方程組的克拉默法則。作為行列式在幾何方面的應(yīng)用，我們給出了3階行列式的幾何意義：實(shí)數(shù)集上的3階行列式的絕對(duì)值等于以行列式的行向量組或者列向量組為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積。
　　第五章講方陣的特征值與特征向量。這一章分為兩部分，第1部分討論方陣可以相似對(duì)角化的條件，第2部分證明實(shí)對(duì)稱矩陣可以用正交矩陣化為對(duì)角矩陣。第2部分為下一章介紹用正交替換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形提供了理論基礎(chǔ)。
　　第六章講二次型與正定矩陣。這一章的前半部分介紹了化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的3種方法（配方法，初等變換法，正交替換法），前兩種方法適用于任意二次型，第3種方法只能用于實(shí)二次型；后半部分討論實(shí)二次型的定性與正定矩陣的充分必要條件。
　　線性代數(shù)的內(nèi)容是自封閉的。在本書中，除了代數(shù)學(xué)基本定理（超出了范圍）以及少數(shù)幾個(gè)淺顯易懂的結(jié)論（避免過于冗長(zhǎng)）以外，其他結(jié)論都給出了證明。此外，我們對(duì)線性代數(shù)的實(shí)際背景與歷史人物作了適當(dāng)介紹。所以，這是一本內(nèi)容豐富而又全面的線性代數(shù)教材，它既適用于課堂講授，也適用于自學(xué)。如果將本書與我們制作的MOOC視頻一起使用，采用“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)法，那么將會(huì)極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，收到非常好的效果。
　　本書可以作為30到60學(xué)時(shí)之間的線性代數(shù)課程的教材或者教學(xué)參考書。如果學(xué)時(shí)數(shù)比較少，那么定理1.3、定理1.5、定理2.9、定理5.5、定理5.6、定理5.9、定理6.5、定理6.9的證明，不相容方程組的最小二乘法以及行列式的幾何應(yīng)用都可以作為選修內(nèi)容，靈活處理。
　　本書的出版得到北京理工大學(xué)“十三五”教材規(guī)劃的資助；我們的許多同事對(duì)本書的寫作提供了慷慨的幫助；我們的學(xué)生在使用本書初稿時(shí)，指出了若干錯(cuò)誤；高等教育出版社的張長(zhǎng)虹編輯對(duì)我們的寫作提供了許多指導(dǎo)；本書的責(zé)任編輯李茜為本書的出版做了大量工作。在此一并表示衷心感謝！