目錄
前言
符號表
第1章 群論1
1.1集合與映射1
1.1.1集合的概念1
1.1.2集合的運算2
1.1.3映射3
1.1.4偏序集與Zorn引理5
1.1.5集合的分類與等價關系8
1.1.6集合的基數9
習題1.1 14
1.2半群與群16
1.2.1半群16
1.2.2半群的基本性質16
1.2.3群19
1.2.4半群為群的等價條件20
習題1.2 21
1.3子群與陪集22
1.3.1子群定義及其性質22
1.3.2生成子群23
1.3.3元素的周期24
1.3.4子群的陪集25
習題1.3 28
1.4循環(huán)群與變換群及群的同構29
1.4.1循環(huán)群29
1.4.2群的同構29
1.4.3變換群32
習題1.4 37
1.5正規(guī)子群與商群38
1.5.1正規(guī)子群38
1.5.2商群40
習題1.5 43
1.6群同態(tài)與同態(tài)基本定理44
1.6.1群同態(tài)44
1.6.2群的同態(tài)基本定理及同構定理46
1.6.3群的自同態(tài)與自同構50
習題1.6 50
1.7群的直積51
1.7.1群的外直積51
1.7.2群的內直積53
1.7.3群的外直積與內直積的一致性54
1.7.4多個群的外直積與內直積54
習題1.7 56
第2章 環(huán)與域58
2.1環(huán)的定義與基本性質58
2.1.1環(huán)和域的定義58
2.1.2環(huán)的基本性質60
2.1.3整環(huán)和除環(huán)62
習題2.1 64
2.2子環(huán)、理想與商環(huán)66
2.2.1子環(huán)66
2.2.2理想68
2.2.3商環(huán)70
習題2.2 71
2.3環(huán)的同態(tài)與同態(tài)基本定理72
2.3.1環(huán)的同態(tài)73
2.3.2同態(tài)的基本性質74
2.3.3環(huán)同態(tài)基本定理75
2.3.4擴環(huán)定理75
習題2.3 76
2.4素理想與極大理想、分式環(huán)77
2.4.1素理想78
2.4.2極大理想78
2.4.3分式環(huán)80
習題2.4 84
2.5環(huán)的特征與素域85
2.5.1環(huán)的特征85
2.5.2素域86
習題2.5 87
2.6環(huán)的直和88
2.6.1環(huán)的外直和88
2.6.2環(huán)的內直和88
2.6.3任意多個環(huán)的直積與直和91
2.6.4中國剩余定理93
習題2.6 94
第3章 交換環(huán)的因子分解理論96
3.1唯一分解環(huán)96
3.1.1素元與既約元96
3.1.2唯一因子分解環(huán)98
3.1.3公因子100
習題3.1 101
3.2主理想環(huán)與歐氏環(huán)102
3.2.1主理想環(huán)102
3.2.2歐氏環(huán)104
習題3.2 105
3.3多項式環(huán)105
3.3.1多項式環(huán)與未定元106
3.3.2唯一分解環(huán)上的多項式109
3.3.3因式分解與多項式的根112
習題3.3 115
第4章 群的進一步討論117
4.1群在集合上的作用117
4.1.1群在集合上作用的定義117
4.1.2軌道與穩(wěn)定子群118
4.1.3伯恩賽德引理120
習題4.1 121
4.2p-群與西羅定理122
4.2.1p-群123
4.2.2西羅定理124
習題4.2 126
4.3有限交換群127
4.3.1有限交換群的結構127
4.3.2有限生成阿貝爾群131
習題4.3 134
4.4冪零群與可解群135
4.4.1冪零群135
4.4.2可解群137
4.4.3正規(guī)序列和亞正規(guī)序列138
習題4.4 142
第5章 模論144
5.1模的定義與基本性質144
5.1.1左模144
5.1.2雙模146
習題5.1 146
5.2子模與模同態(tài)147
5.2.1子模147
5.2.2子模的和與直和149
5.2.3同態(tài)152
5.2.4子模格與模的自同態(tài)環(huán)153
習題5.2 155
5.3模同態(tài)的基本定理、模的直積與直和157
5.3.1模同態(tài)的基本定理157
5.3.2模的直積與直和160
5.3.3模的同態(tài)正合列164
習題5.3 166
5.4本質子模與多余子模、合成列167
5.4.1本質子模與多余子模167
5.4.2模的合成列171
習題5.4 173
5.5加補與交補、半單模173
5.5.1加補與交補173
5.5.2半單模176
習題5.5 178
5.6根與基座179
5.6.1模的根與基座179
5.6.2阿廷模與諾特模183
習題5.6 187
5.7自由模、投射模與內射模189
5.7.1自由模189
5.7.2投射模與內射模191
5.7.3投射模的對偶基引理193
5.7.4內射模的貝爾判別法195
習題5.7 196
5.8投射蓋與內射包197
5.8.1可除阿貝爾群197
5.8.2模的內射擴張199
5.8.3模的投射蓋與內射包201
習題5.8 203
5.9有限生成模和有限余生成模204
5.9.1有限生成模與有限余生成模的特征204
5.9.2主理想環(huán)上的有限生成模206
習題5.9 209
第6章 環(huán)的進一步理論211
6.1單環(huán)與本原環(huán)211
6.1.1單環(huán)211
6.1.2本原環(huán)213
習題6.1 218
6.2環(huán)的Jacobson根218
6.2.1擬正則元與擬正則理想218
6.2.2Jacobson根221
習題6.2 224
6.3半單環(huán)225
6.3.1半單環(huán)的定義與性質225
6.3.2Jacobson半單環(huán)229
6.3.3半單環(huán)與Jacobson半單環(huán)的關系231
習題6.3 234
6.4局部環(huán)234
6.4.1局部環(huán)的等價條件234
6.4.2不可分解模236
6.4.3模的直和分解237
習題6.4 242
6.5阿廷環(huán)與諾特環(huán)242
6.5.1諾特環(huán)242
6.5.2諾特環(huán)和阿廷環(huán)上的內射模244
6.5.3阿廷環(huán)和諾特環(huán)的刻畫246
習題6.5 248
第7章 域論250
7.1擴域250
7.1.1擴域的定義與性質250
7.1.2單擴域253
7.1.3代數擴域256
習題7.1 257
7.2分裂域259
7.2.1分裂域及其性質259
7.2.2單個多項式的分裂域260
7.2.3一般的多項式集合的分裂域261
習題7.2 264
7.3尺規(guī)作圖——古希臘三大幾何問題265
7.3.1問題的引入265
7.3.2問題的解答266
習題7.3 268
7.4有限域269
7.4.1有限域的性質269
7.4.2有限域的構造270
習題7.4 271
7.5超越基272
7.5.1代數無關與超越基272
7.5.2超越擴域與超越次數275
習題7.5 277
第8章 伽羅瓦理論279
8.1伽羅瓦理論的基本定理279
8.1.1伽羅瓦擴域279
8.1.2基本定理281
習題8.1 287
8.2正規(guī)擴域與代數擴域、代數基本定理288
8.2.1可離擴域288
8.2.2正規(guī)擴域290
8.2.3代數基本定理292
習題8.2 294
8.3多項式的伽羅瓦群295
8.3.1多項式的伽羅瓦群的定義和性質295
8.3.2四次多項式的伽羅瓦群299
8.3.3伽羅瓦群計算例子301
習題8.3 305
8.4純不可離擴域306
8.4.1純不可離擴域及其性質306
8.4.2域的可離次數和純不可離次數309
習題8.4 312
8.5跡與范數313
8.5.1跡與范數及其性質313
8.5.2跡與范數同伽羅瓦群的聯系315
習題8.5 319
8.6循環(huán)擴域320
8.6.1循環(huán)擴域及其性質320
8.6.2循環(huán)擴域的構造322
習題8.6 325
8.7分圓擴域326
8.7.1分圓擴域及其性質326
8.7.2有理數域上的分圓擴域328
習題8.7 329
8.8根擴域331
8.8.1根擴域及其性質331
8.8.2根擴域上的伽羅瓦群333
習題8.8 337
8.9一般n次代數方程337
8.9.1對稱有理函數337
8.9.2一般n次代數方程的公式求解340
習題8.9 345
參考文獻346
索引347