目錄
第一篇高等數(shù)學(xué)的核心：微積分——以極限研究函數(shù)的學(xué)科
第1章函數(shù)——微積分研究的對象3
1.1函數(shù)的發(fā)展及微積分的常用符號(hào)3
1.1.1函數(shù)的演變3
1.1.2數(shù)集的拓廣、鄰域及常用的邏輯符號(hào)5
1.2函數(shù)7
1.2.1函數(shù)的概念7
1.2.2函數(shù)的表示法9
1.2.3四類特殊函數(shù)11
1.2.4函數(shù)的運(yùn)算13
1.2.5初等函數(shù)15
習(xí)題1 19
第2章極限—微積分的基礎(chǔ)工具23
2.1數(shù)列極限23
2.1.1極限的思想23
2.1.2數(shù)列極限的“ε-N語言”—極限的定量描述24
2.1.3收斂數(shù)列的性質(zhì)26
2.1.4數(shù)列極限的四則運(yùn)算27
2.1.5數(shù)列收斂的判別法28
2.2函數(shù)極限31
2.2.1的情形31
2.2.2與的情形33
2.2.3x→∞的情形34
2.2.4函數(shù)極限的性質(zhì)35
2.2.5函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則及復(fù)合運(yùn)算法則35
2.2.6函數(shù)極限存在的判別及兩個(gè)重要的極限37
2.2.7無窮小量與無窮大量38
2.3函數(shù)的連續(xù)性——極限的應(yīng)用特例40
2.3.1連續(xù)的概念40
2.3.2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)43
習(xí)題2 45
第3章導(dǎo)數(shù)與微分—變量的變化速度與局部改變量的估值48
3.1導(dǎo)數(shù)——變量的變化速度48
3.1.1抽象導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型48
3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念50
3.1.3函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系51
3.2求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與基本公式52
3.2.1用定義求幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)52
3.2.2求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則53
3.2.3基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式57
3.2.4高階導(dǎo)數(shù)60
3.3微分——局部改變量的估值61
3.3.1微分的概念61
3.3.2微分公式與法則63
3.3.3微分在近似計(jì)算中的簡單應(yīng)用64
習(xí)題3 65
第4章微分中值定理和微分學(xué)的應(yīng)用67
4.1微分中值定理——聯(lián)結(jié)局部與整體的橋梁67
4.1.1費(fèi)馬定理67
4.1.2中值定理68
4.2洛必達(dá)法則——計(jì)算未定式極限的有效方法69
4.2.1及型未定式70
4.2.2其他類型的未定式71
4.3函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)72
4.3.1單調(diào)性72
4.3.2函數(shù)的極值74
4.3.3函數(shù)的最值76
習(xí)題4 77
第5章不定積分——微分的逆運(yùn)算80
5.1原函數(shù)與不定積分80
5.1.1原函數(shù)的概念80
5.1.2不定積分的概念81
5.1.3不定積分的基本公式及線性運(yùn)算法則83
5.2換元積分法與分部積分法84
5.2.1第一換元積分法(湊微分法)84
5.2.2第二換元積分法86
5.2.3分部積分法88
習(xí)題5 90
第6章定積分——無限小量的累加和92
6.1定積分的概念92
6.1.1抽象定積分概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型92
6.1.2定積分的概念94
6.1.3可積的條件95
6.1.4定積分的性質(zhì)95
6.2微積分基本定理及定積分的計(jì)算97
6.2.1微積分基本定理98
6.2.2微積分基本公式及定積分的計(jì)算99
6.3定積分的應(yīng)用100
6.3.1微元法100
6.3.2定積分應(yīng)用實(shí)例101
6.4廣義積分——定積分的拓廣103
習(xí)題6 104
第二篇高等數(shù)學(xué)的分支介紹
第7章常微分方程——微積分的直接應(yīng)用109
7.1常微分方程的基本概念109
7.1.1例子109
7.1.2基本概念110
7.2一階常微分方程及初等積分法111
7.2.1可分離變量的常微分方程112
7.2.2兩類可化為可分離變量的微分方程114
7.2.3一階線性常微分方程116
習(xí)題7 119
第8章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步——隨機(jī)數(shù)學(xué)的方法及應(yīng)用121
8.1研究隨機(jī)現(xiàn)象的基本概念121
8.1.1基本概念121
8.1.2事件的關(guān)系與運(yùn)算123
8.2概率126
8.2.1概率的各種定義126
8.2.2條件概率和事件的獨(dú)立性131
8.2.3全概率公式和貝葉斯公式133
8.2.4伯努利試驗(yàn)135
8.3隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望與方差——隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化137
8.3.1隨機(jī)變量的概念137
8.3.2隨機(jī)變量的類型138
8.3.3數(shù)學(xué)期望與方差142
8.4數(shù)理統(tǒng)計(jì)——收集和分析數(shù)據(jù)的方法144
8.4.1數(shù)據(jù)的收集——統(tǒng)計(jì)的起點(diǎn)144
8.4.2統(tǒng)計(jì)推斷——由部分到整體的判斷145
習(xí)題8 147
第9章線性代數(shù)——抽象符號(hào)背后的實(shí)質(zhì)150
9.1行列式150
9.1.1行列式的概念150
9.1.2行列式的性質(zhì)155
9.1.3克拉默法則157
9.2高斯消元法159
9.3矩陣及其運(yùn)算161
9.3.1矩陣的概念161
9.3.2矩陣的運(yùn)算164
9.4矩陣的應(yīng)用173
9.4.1應(yīng)用矩陣解線性方程組174
9.4.2線性變換178
9.4.3解矩陣方程180
習(xí)題9182
第10章多元函數(shù)微積分——一元函數(shù)微積分的推廣186
10.1空間解析幾何——數(shù)形結(jié)合的直觀表達(dá)186
10.1.1空間直角坐標(biāo)系186
10.1.2空間中兩點(diǎn)間的距離187
10.1.3空間曲面及空間曲線的方程188
10.1.4常見的二次曲面及其方程190
10.2多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)——多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)193
10.2.1多元函數(shù)的概念193
10.2.2二元函數(shù)的極限195
10.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性197
10.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分198
10.3.1一階偏導(dǎo)數(shù)198
10.3.2高階偏導(dǎo)數(shù)200
10.3.3全微分201
10.3.4全微分在近似計(jì)算中的簡單應(yīng)用202
10.4多元函數(shù)的極值和最值——多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用203
10.4.1二元函數(shù)的極值203
10.4.2二元函數(shù)的最值205
10.4.3條件極值205
10.5二重積分的概念與計(jì)算206
10.5.1二重積分的概念206
10.5.2二重積分的性質(zhì)209
10.5.3二重積分的計(jì)算209
10.5.4二重積分的應(yīng)用212
習(xí)題10213
第11章數(shù)學(xué)模型——量化問題的首要工具215
11.1數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模215
11.1.1數(shù)學(xué)模型215
11.1.2數(shù)學(xué)建模216
11.2哥尼斯堡七橋問題——建模示例之一218
11.3人口模型——建模示例之二219
11.3.1Malthus模型(人口指數(shù)增長模型)220
11.3.2Logistic模型(人口阻滯增長模型)221
11.4報(bào)童模型問題——建模示例之三223
11.5公平的席位分配問題——建模示例之四226
習(xí)題11229
部分習(xí)題參考答案與提示231
參考書目241