《高等代數(shù)中的典型問題與方法（第二版）》是為正在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的讀者、正在復(fù)習(xí)高等代數(shù)準(zhǔn)備報(bào)考研究生的讀者，以及從事這方面教學(xué)工作的年輕教師編寫的，《高等代數(shù)中的典型問題與方法（第二版）》與北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研組編寫的《高等代數(shù)（第三版）》相配套，在編寫上也遵循此教材的順序，全面、系統(tǒng)地總結(jié)和歸納了高等代數(shù)中問題的基本類型、每種類型的基本方法，對(duì)每種方法先概括要點(diǎn)，再選取典型而有一定難度的例題，逐層剖析.對(duì)一些較難理解的問題，在適當(dāng)?shù)恼鹿?jié)做了專題研究，進(jìn)行了較深入的探討和總結(jié)，如：線性變換的對(duì)角化、矩陣分解等問題，以消除讀者長(zhǎng)期以來對(duì)其抽象問題在理解上含糊不清的疑慮，從而更深入地領(lǐng)會(huì)問題，
《高等代數(shù)中的典型問題與方法（第二版）》大量采用全國(guó)部分高校歷屆碩士研究生高等代數(shù)入學(xué)試題，并參閱了50余種教材、文獻(xiàn)及參考書，經(jīng)過反復(fù)推敲、修改和篩選，在長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上編寫而成，《高等代數(shù)中的典型問題與方法（第二版）》共分9章，45節(jié)，126個(gè)條目，約320個(gè)典型問題，涉及多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間，
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本書與北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編寫的《高等代數(shù)（第四版）》配套，選取大量國(guó)內(nèi)知名高校碩士研究生高等代數(shù)入學(xué)試題，對(duì)高等代數(shù)中各種類型的闖題進(jìn)行了全面、系統(tǒng)的總結(jié)和歸納，全方位解除學(xué)生的解題困惑。
本書自2008年9月出版以來，得到各地讀者的廣泛肯定，一些讀者向我們提出了寶貴的意見，在此深表感謝.這次再版，對(duì)第1章的內(nèi)容做了較大的調(diào)整；增加了1.4節(jié)和5.6節(jié)，以及若干典型例子，并增加了一些知識(shí)點(diǎn)及例子的評(píng)析，本書具有以下特色.（1）內(nèi)容清晰，結(jié)構(gòu)上逐條有序地安排知識(shí)點(diǎn)，然后加以準(zhǔn)確描述，并運(yùn)用典型例子加以分析。
�。�2）論證嚴(yán)謹(jǐn)，在例子的求解及證明方面推理嚴(yán)謹(jǐn)。
�。�3）評(píng)析新穎，對(duì)知識(shí)點(diǎn)、例子等進(jìn)行評(píng)析，以剔除疑惑，或在理解層次方面給予拔高；評(píng)析的語言易于理解，站在讀者思維的角度論述。
�。�4）覆蓋面廣，知識(shí)點(diǎn)的涉及面廣，共探討高等代數(shù)中約320個(gè)典型問題。
�。�5）習(xí)題豐富.精心配套的習(xí)題量大，且各有代表性.通過演練可以熟練掌握高等代數(shù)的基本方法與技巧。
一些讀者還問及如何更好地理解本書的書名，下面談?wù)勎覀兊睦斫夂途帉懕緯某踔浴Ｈ珪卜?章，45節(jié)，126個(gè)條目，約320個(gè)知識(shí)要點(diǎn)（簡(jiǎn)稱要點(diǎn)），實(shí)質(zhì)上，這些要點(diǎn)就是本書中的典型問題.而“方法”一詞指的是以性質(zhì)、定理等作為原理提煉出來的解決問題的辦法，如本書中式（4.15）即是一個(gè)原理，由此演變出求矩陣逆的方法，即將這個(gè)矩陣與單位陣并列寫到一起，然后對(duì)該陣施行能將其變?yōu)閱挝魂嚨囊幌盗谐醯茸儞Q，而對(duì)單位陣同時(shí)也施行這樣的變換，這時(shí)單位陣就化為該陣的逆矩陣，因此，這種方法是有原理可循的，實(shí)質(zhì)上，在高等代數(shù)中，依據(jù)原理產(chǎn)生的求解問題的方法很多，例如，求解一般線性方程組的高斯消元法；計(jì)算行列式的方法；求線性變換的特征值與特征向量的方法；二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的合同變換方法、配方法及正交變換法等，讀者在學(xué)習(xí)時(shí)要仔細(xì)體會(huì)這些方法的由來.當(dāng)然，如果從課程特色的角度談及高等代數(shù)研究問題的基本方法，則屬于另一個(gè)層面上的問題，它表現(xiàn)在：嚴(yán)格的邏輯推理方法；公理化方法；矩陣方法；結(jié)構(gòu)化方法（如線性空間及子空間）；等價(jià)分類方法等，這些方法較前面提到的方法更抽象，可以說代表了這門課程的思想方法。有些方法是需要通過讀書和多做練習(xí)加以理解，以便在今后的研究中能熟練應(yīng)用。高等代數(shù)中這兩種不同層面的方法都是需要理解和掌握的。
目錄
第二版前言
第一版前言
常用符號(hào)
第1章多項(xiàng)式1
1.1多項(xiàng)式的概念與運(yùn)算1
一、多項(xiàng)式的基本概念1
二、多項(xiàng)式的運(yùn)算2
練習(xí) 1.1 2
1.2多項(xiàng)式的整除2
一、帶余除法和綜合除法2
二、整除4
三、昀大公因式及其求法5
四、多項(xiàng)式的互素7
練習(xí) 1.2 9
1.3多項(xiàng)式的因式分解10
一、不可約多項(xiàng)式10
二、k重因式12
三、多項(xiàng)式函數(shù)13
四、一般數(shù)域上的因式分解及根的性質(zhì)15
五、復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解及根的性質(zhì)16
六、實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解及根的性質(zhì)17
七、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解及根的性質(zhì)19
練習(xí) 1.3 22
1.4注記23
第2章行列式24
2.1用定義計(jì)算行列式24
練習(xí) 2.1 25
2.2求行列式的若干方法25
一、三角化法26
二、用行列式的性質(zhì)化為已知行列式26
三、滾動(dòng)相消法27
四、拆分法29
五、加邊法31
六、歸納法32
七、利用遞推降級(jí)法33
八、利用重要公式與結(jié)論35
九、用冪級(jí)數(shù)變換計(jì)算行列式36
練習(xí) 2.2 38
2.3利用降級(jí)公式計(jì)算行列式42
練習(xí) 2.3 48
2.4有關(guān)行列式的證明題49
練習(xí) 2.4 50
2.5一個(gè)行列式的計(jì)算和推廣51
一、Dn的計(jì)算52
二、問題的推廣54
第3章線性方程組56
3.1線性相關(guān)性(Ⅰ)56
一、線性相關(guān)56
二、線性無關(guān)57
三、綜合性問題61
練習(xí) 3.1 63
3.2矩陣的秩64
練習(xí) 3.2 67
3.3線性方程組的解67
一、線性方程組的幾種表示形式67
二、線性方程組有解的判定及解的個(gè)數(shù)68
三、線性方程組解的結(jié)構(gòu)70
練習(xí) 3.3 77
第4章矩陣81
4.1矩陣的基本運(yùn)算81
一、矩陣的加法和數(shù)乘81
二、矩陣的乘法82
三、矩陣的轉(zhuǎn)置83
四、矩陣的伴隨84
練習(xí) 4.1 87
4.2矩陣的逆88
一、矩陣逆的性質(zhì)88
二、矩陣逆的求法(Ⅰ)88
三、矩陣不可逆的證明方法89
四、矩陣多項(xiàng)式的逆(Ⅱ)90
練習(xí) 4.2 91
4.3矩陣的分塊91
一、分塊陣的乘法及其應(yīng)用91
二、分塊陣的廣義初等變換92
三、關(guān)于分塊陣的逆(Ⅲ)93
練習(xí) 4.3 94
4.4初等矩陣95
一、初等矩陣及其性質(zhì)95
二、初等變換的應(yīng)用96
三、利用初等變換求矩陣的逆(Ⅳ)99
四、矩陣的等價(jià)100
練習(xí) 4.4 100
4.5若干不等式101
一、Steinitz替換定理及其應(yīng)用101
二、利用整齊與局部的思想(實(shí)例)102
練習(xí) 4.5 104
第5章二次型105
5.1二次型與矩陣105
一、二次型的概念及其表示105
二、二次型與對(duì)稱矩陣(Ⅰ)106
練習(xí) 5.1 107
5.2標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形107
一、標(biāo)準(zhǔn)形107
二、規(guī)范形及其唯一性111
三、(反)對(duì)稱矩陣(Ⅱ)112
練習(xí) 5.2 113
5.3正定二次型114
一、正定二次型的判定114
二、正定矩陣的判定117
練習(xí) 5.3 118
5.4其他各類二次型120
一、負(fù)定二次型120
二、半正(負(fù))定二次型122
5.5不等式與二次型(實(shí)例)123
5.6注記124
第6章線性空間125
6.1線性空間的定義125
一、用定義證明線性空間125
二、幾個(gè)常用的線性空間125
三、向量組的線性相關(guān)性126
練習(xí) 6.1 126
6.2基與維數(shù)變換公式127
一、基與維數(shù)的求法127
二、基變換公式128
三、同一向量在不同基下的坐標(biāo)(“3推 1”公式Ⅰ)129
四、坐標(biāo)的求法130
練習(xí) 6.2 131
6.3子空間及其運(yùn)算131
一、子空間的判定131
二、子空間的運(yùn)算134
三、直和的證明137
四、子空間的性質(zhì)137
練習(xí) 6.3 139
6.4不等式141
練習(xí) 6.4 143
第7章線性變換144
7.1線性變換及其運(yùn)算144
一、線性變換的判定及其性質(zhì)144
二、線性變換的多項(xiàng)式146
練習(xí) 7.1 146
7.2線性變換與矩陣147
一、線性變換的矩陣147
二、一一對(duì)應(yīng)關(guān)系148
三、矩陣的相似150
四、向量與其象向量的坐標(biāo)(“3推 1”公式Ⅱ)151
五、同一線性變換在不同基下的矩陣(“3推 1”公式Ⅲ)152
練習(xí) 7.2 153
7.3矩陣(線性變換)的特征值與特征向量155
一、矩陣的特征值與特征向量求法155
二、矩陣特征值的和與積159
三、代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)160
四、擾動(dòng)法(實(shí)例)161
練習(xí) 7.3 161
7.4線性變換(矩陣)的對(duì)角化問題(Ⅰ)163
一、利用特征向量判定163
二、利用特征值判定164
練習(xí) 7.4 166
7.5不變子空間168
一、不變子空間的判定168
二、特征子空間169
三、值域170
四、核171
練習(xí) 7.5 174
7.6線性空間的分解177
一、多項(xiàng)式理論與線性空間分解初步177
二、線性空間的分解179
練習(xí) 7.6 179
第8章 λ-矩陣181
8.1 λ-矩陣的有關(guān)概念及結(jié)論181
一、λ-矩陣的相關(guān)概念181
二、不變因子，行列式因子與初等因子182
練習(xí) 8.1 184
8.2矩陣相似的條件185
一、矩陣相似與λ-矩陣等價(jià)之間的關(guān)系185
二、矩陣相似的充要條件185
練習(xí) 8.2 186
8.3矩陣的 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形186
一、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其求法186
二、Jordan塊的性質(zhì)及其應(yīng)用190
練習(xí) 8.3 195
8.4Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的相似過渡陣的求法197
練習(xí) 8.4 201
8.5昀小多項(xiàng)式202
一、昀小多項(xiàng)式及其性質(zhì)202
二、昀小多項(xiàng)式的求法204
三、昀小多項(xiàng)式的應(yīng)用(實(shí)例)208
練習(xí) 8.5 209
8.6矩陣的對(duì)角化問題( Ⅱ)210
一、利用昀小多項(xiàng)式判定矩陣的對(duì)角化210
二、常見的幾類可對(duì)角化矩陣211
練習(xí) 8.6 211
8.7矩陣方冪的若干求法212
一、秩為 1的情況212
二、可分解為數(shù)量矩陣和冪零矩陣之和的情況213
三、歸納法(實(shí)例)214
四、利用相似變換法215
五、特征多項(xiàng)式法(或昀小多項(xiàng)式法)216
六、利用 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形(實(shí)例)217
練習(xí) 8.7 218
第9章歐幾里得空間220
9.1歐氏空間及其基本性質(zhì)220
一、歐氏空間的基本概念220
二、不等式222
三、度量矩陣及其性質(zhì)223
四、內(nèi)積的矩陣表示(“3推 1”公式Ⅳ)224五、不同基的度量矩陣之間的關(guān)系(“3推 1”公式Ⅴ)225
練習(xí) 9.1 226
9.2標(biāo)準(zhǔn)正交基226
一、標(biāo)準(zhǔn)正交基及其性質(zhì)226
二、標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法226
三、正交矩陣及其性質(zhì)229
練習(xí) 9.2 230
9.3子空間231
一、子空間的正交及其性質(zhì)231
二、正交補(bǔ)231
練習(xí) 9.3 233
9.4歐氏空間上的線性變換234
一、正交變換234
二、對(duì)稱變換236
三、反對(duì)稱變換237
四、(反)對(duì)稱矩陣(Ⅲ)237
練習(xí) 9.4 239
9.5矩陣分解241
一、加法分解241
二、乘法分解243
三、特殊矩陣的分解245
練習(xí) 9.5 247
練習(xí)答案249
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