數(shù)起源于數(shù)，1，2，3，4，5……分之不盡，出現(xiàn)分?jǐn)?shù)和小數(shù)；減之不夠，出現(xiàn)負(fù)數(shù)；小數(shù)的位數(shù)無(wú)限，甚至可以無(wú)窮（如1/3=0.333…），因而得出完整的數(shù)系，數(shù)學(xué)家稱(chēng)之為實(shí)數(shù)體系。用這樣的數(shù)系我們可以刻畫(huà)宇宙之大，核子之微，天長(zhǎng)地久，剎那瞬間。多，即使其再多，我們也不愁有把整數(shù)用完了的一天。精，即使其再精，我們也不愁有把小數(shù)用盡了的一天。就這樣，實(shí)數(shù)系統(tǒng)煥然備矣。數(shù)的用場(chǎng)是用來(lái)刻畫(huà)量。量起源于量，依一定的單位，反復(fù)度量而得數(shù)。量有各種各樣的量，度量的單位也可以任意取定。例如：尺寸、斤兩、分秒、溫度、伏特、歐姆、勒克斯、卡路里等等。量雖不同，單位也可能取的不同，但一旦取定之后，刻畫(huà)這些量的仍然還是這么一套數(shù)。因此，數(shù)是各種各樣量的共性。在研究數(shù)的時(shí)候，往往強(qiáng)調(diào)其理論的一面，力求完整，但在實(shí)際運(yùn)用到特殊量上去的時(shí)候，又必須加以特殊的、應(yīng)有的限制，使其符合客觀(guān)需要。例如，用攝氏表研究溫度的時(shí)候，比-273℃更小的數(shù)就沒(méi)有意義。因?yàn)?273℃是絕對(duì)零度，更低的溫度不存在了。又如研究一個(gè)城市的人口數(shù)，或一定體積內(nèi)的分子數(shù)的時(shí)候，我們所用的數(shù)只能是正整數(shù)。城市的人口出現(xiàn)了小數(shù)豈不荒誕？出現(xiàn)了負(fù)數(shù)更是笑話(huà)。正數(shù)、負(fù)數(shù)看來(lái)是對(duì)稱(chēng)的，也就是人在0處站，左正右負(fù)，或左負(fù)右正都無(wú)不可，但在用數(shù)來(lái)刻畫(huà)時(shí)間時(shí)，正負(fù)之間卻大有不同。人處于“現(xiàn)在”，看過(guò)去與未來(lái)也大不一樣�！巴�事越千年”與“一萬(wàn)年太久”，并非-1000與+10000那樣。昨日事，事無(wú)巨細(xì)已成定局，而日月天卻還有不少難定之處。過(guò)去的一去而不復(fù)返了，時(shí)乎時(shí)乎不再來(lái)，并不像東行三里，再西行三里，回到原地那樣。貨物運(yùn)往天津再運(yùn)回來(lái)，貨物雖然仍回原地，但時(shí)間卻加倍流逝了�；氐皆瓡r(shí)是永不可能的。小孩學(xué)數(shù)數(shù)，從一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)開(kāi)始，然后他會(huì)數(shù)到五個(gè)、十個(gè)了，再進(jìn)一步他會(huì)數(shù)到100，200……最后來(lái)個(gè)飛躍，說(shuō)任何數(shù)他全會(huì)數(shù)了。學(xué)小數(shù)也如此，最后必然是任何小數(shù)他都學(xué)會(huì)了。真的有人把所有的整數(shù)都數(shù)過(guò)一遍嗎？真的有人數(shù)到無(wú)窮嗎？沒(méi)有！不可能！如果有人真的企圖這樣做，這人一定是還沒(méi)有“識(shí)數(shù)”。計(jì)算小數(shù)也如此。三人分一元錢(qián)，每人得三角三分足矣。三厘三毫三絲三忽多余事也，勞而無(wú)功。測(cè)量工具也有限度，以尺為例，有寸有分，用它來(lái)量東西，得寸得分，還可以估一估，估出多少厘來(lái)。厘以下連估都無(wú)法估了。不要以為寫(xiě)的小數(shù)位數(shù)愈多便愈精確，實(shí)質(zhì)上，多到了超過(guò)限度，超過(guò)需要，那是既浪費(fèi)精力，又不能說(shuō)明任何問(wèn)題，反而會(huì)導(dǎo)致混淆。精密度是根據(jù)客觀(guān)需要而提出的要求。制造精密儀器有時(shí)真的要準(zhǔn)到一忽，一絲一忽之差都是不能允許的。有些特殊化學(xué)品的提純，硬是要提到八個(gè)九，即99.999999％，含糊不得。但另一方面在估計(jì)煤礦礦藏的時(shí)候，幾噸又不足道了，精益求精的原則是對(duì)的，是正確的原則。但多幾位不可靠的或無(wú)足輕重的數(shù)字，并不表示精，相反地卻表示了粗，把不可靠的，或無(wú)足輕重的東西都摻雜進(jìn)去了！客觀(guān)情況是：取數(shù)據(jù)只能有限次，每次只能取有限位精確度的數(shù)據(jù)。實(shí)際計(jì)算時(shí)，無(wú)論用手算、算盤(pán)算、，或近代的數(shù)字計(jì)算機(jī)算，總只能在有限位、有限個(gè)數(shù)據(jù)上進(jìn)行有限次的運(yùn)算，得出的答數(shù)必然也是有限個(gè)有限位數(shù)字。同時(shí)，客觀(guān)需要也并不是無(wú)限精密的，這樣的性質(zhì)，我們可以稱(chēng)之為有限性，數(shù)學(xué)家也愛(ài)用他們自己的術(shù)語(yǔ)——“離散性”。近代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一在于重用無(wú)窮性、連續(xù)性。這是一個(gè)飛躍。這是高等數(shù)學(xué)的起點(diǎn)。這樣可以描繪一瞬間的變化，無(wú)窮多個(gè)因素間的關(guān)系，這是它的優(yōu)越性。但如果以為高了就一定是好的，就可以用無(wú)窮來(lái)代替有限，用連續(xù)來(lái)代替離散了，那可未必。事實(shí)上，“無(wú)窮與有限”、“連續(xù)與離散”是矛盾統(tǒng)一中的兩個(gè)對(duì)立面。在研究沙的運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，人所共知，沙是離散的，但在多到了不可勝計(jì)的時(shí)候，我們又把它作為連續(xù)的現(xiàn)象來(lái)處理。然而在實(shí)際計(jì)算的時(shí)候，又往往把無(wú)窮變?yōu)橛邢�，連續(xù)化為離散，微分代以差分來(lái)處理。
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