《中公版·2017考研數(shù)學(xué)：題海戰(zhàn)“數(shù)”800題·數(shù)學(xué)一》 考研數(shù)學(xué)（一）包含高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三個(gè)科目，所占試卷分值比例分別為56%、22%、22%。本書按科目分為三篇，便于考生根據(jù)各個(gè)科目的特點(diǎn)有針對(duì)性地復(fù)習(xí)。 高等數(shù)學(xué)篇分為函數(shù)、極限、連續(xù)，一元函數(shù)微分學(xué)，一元函數(shù)積分學(xué)，向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)，無窮級(jí)數(shù)，常微分方程，共八章�！ 【�性代數(shù)篇分為行列式，矩陣，向量，線性方程組，矩陣的特征值和特征向量，二次型，共六章�！ 「怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)篇分為隨機(jī)事件和概率，隨機(jī)變量及其分布，多維隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，大數(shù)定律和中心極限定理，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，共八章�！ ≌拿恳徽碌牡谝徊糠质强荚噧�(nèi)容及要求，該部分嚴(yán)格貼合考研大綱。第二部是專項(xiàng)訓(xùn)練，按照題型分為選擇題、填空題和解答題三部分，每道題目均按星級(jí)標(biāo)記了難易程度，三顆星的題目均附有二維碼，考生可掃碼聽微課程，輕輕松松學(xué)數(shù)學(xué)。
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)函數(shù)關(guān)系的建立
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限：
limx→0sinxx=1，limx→
第二篇線性代數(shù)
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行(列)展開定理
考試要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。
2.會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計(jì)算行列式。
1. (★☆☆)設(shè)2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D＝()
(A)0。(B)a2。
(C)－a2。(D)na2。
2. (★★☆)四階行列式
a100b1
0a2b20
0b3a30
b400a4
的值等于()
(A)a1a2a3a4－b1b2b3b4。
(B)a1a2a3a4＋b1b2b3b4。
(C)(a1a2－b1b2)( a3a4－b3b4)。
(D)(a2a3－b2b3)(a1a4－b1b4)。
3. (★★☆)設(shè)A=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33，B=2a11a13a11 a12
2a21a23a21 a22
2a31a33a31 a32，且A=m，則B=()
(A)m。 (B)－8m。
(C)2m。(D)－2m。
4. (★☆☆)α1，α2，α3，β1，β2均為四維列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且A=1，B=2，則A＋B=()
(A)9。(B)6。
(C)3。 (D)1。
名師講解
5.(★★★)設(shè)矩陣A=1020
0-200
-1010
0001，矩陣B滿足AB B A 2E=O，則B E=()
(A)-6。 (B)6。
(C)-112。 (D)112。
1.(★☆☆)設(shè)三階行列式D3的第二行元素分別為1、－2、3，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為－3、2、1，則D3＝。
名師講解
2.(★★★)已知三階行列式a112a123a13
2a214a226a23
3a316a329a33=6，則a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=。
名師講解
3.(★★★)行列式xyx y
yx yx
x yxy=。
4.(★★☆)設(shè)n階矩陣A＝122…2
222…2
223…2
222…n，則A＝。
5.(★☆☆)行列式9876
1223242
1233343
1234＝。
6.(★★☆)在xOy平面上，平面曲線方程y＝111
23x
49x2，則平面曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是。
7. （★☆☆）設(shè)A=(α1,α2,α3)是三階矩陣，且A=4。若B=(α1－3α2 2α3,α2－2α3,2α2 α3)，則B=。
名師講解
8.(★★★)已知A，B，C都是行列式值為2的三階矩陣，則D＝O-A
23B-1C=。
9.（★☆☆）設(shè)A為奇數(shù)階矩陣，且AAT=ATA=E。若A>0，則A－E=。
10. (★☆☆)設(shè)A，B是三階矩陣，滿足AB＝A－B，其中B＝-211
1-21
11-2，則A＋E＝。
11.（★★☆）已知A為三階方陣，A2－A－2E=O，且0<5，則A 2E=。
12.（★☆☆）設(shè)三階方陣A與B相似，且2E A=0。已知λ1=1，λ2=－1是方陣B的兩個(gè)特征值，則A 2AB=。
1. (★☆☆)設(shè)n階矩陣A=2a1
a22a
1
a22a。
證明:行列式A=(n 1)an。
2. (★★☆)證明：x-10…00
0x-1…00
000…x-1
a0a1a2…an-1an=anxn an-1xn-1 … a1x a0。
3. （★★☆）計(jì)算n階行列式α βα0…00
βα βα…00
0βα β…00
000…α βα
000…βα β，其中α≠β。
4. （★★☆）計(jì)算行列式Dn=1 a21a1a2…a1an－1a1an
a2a12 a22…a2an－1a2an
an－1a1an－1a2…(n－1) a2n－1an－1an
ana1ana2…anan－1n a2n。
名師講解
5. (★★★)計(jì)算D2n=anbn
a1b1
c1d1
cndn ，其中未寫出的元素都是0。
(一)選擇題
1.【答案】A
【解析】按這一列展開，D＝a1jA1j＋ a2jA2j＋…＋a2njA2nj＝aA1j＋aA2j＋…＋aA2nj，并注意到這一列元素的代數(shù)余子式中有n個(gè)為a，n個(gè)為－a，從而行列式的值為零。所以應(yīng)選A。
2.【答案】D
【解析】將此行列式按第一行展開，
原式=a1a2b20
b3a30
00a4－b10a2b2
0b3a3
b400=(a1a4－b1b4)a2b2
b3a3
=(a1a4－b1b4)(a2a3－b2b3)，
所以選D。
3.【答案】D
【解析】 方法一：
B=2a11a13a11 a12
2a21a23a21 a22
2a31a33a31 a32＝2a11a13a11 a12
a21a23a21 a22
a31a33a31 a32＝2a11a13a12
a21a23a22
a31a33a32
＝-2a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33＝-2A=-2m。
方法二：將行列式A的第一列加到第二列上，再將第二、三列互換，之后第一列乘以2就可以得到行列式B。由行列式的性質(zhì)知B=-2A=-2m。
4.【答案】B
【解析】方法一：由矩陣加法公式，得A B=(α1 α3，α2 α1，α3 α2，β1 β2)，結(jié)合行列式的性質(zhì)有
A B=α1 α3，α2 α1，α3 α2，β1 β2
=2(α1 α2 α3),α2 α1,α3 α2,β1 β2
=2α1 α2 α3,α2 α1,α3 α2,β1 β2
=2α1 α2 α3,-α3,-α1,β1 β2
=2α2,-α3,-α1,β1 β2
=2α1,α2,α3,β1 β2
=2(A B)=6。
方法二：
A B=α1 α3,α2 α1,α3 α2,β1 β2=(α1,α2,α3,β1 β2)1100
0110
1010
0001
=α1,α2,α3,β1 β21100
0110
1010
0001=2(A B)=6。
5.【答案】C
【解析】化簡矩陣方程，構(gòu)造B E，用因式分解法，則有
A(B E) (B E)=-E,即(A E)(B E)=-E,
兩邊取行列式，由行列式乘法公式得
A E·B E=1,
又A E=2020
0-100
-1020
0002=2202
0-10
-102=-12,故B E=-112，因此選C。
(二)填空題
1.【答案】－4
【解析】根據(jù)行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,故
D3=a21A21 a22A22 a23A23=1×(-3) (-2)×2 3×1=-4。
2.【答案】16
【解析】結(jié)合行列式的性質(zhì)：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面，即
a112a123a13
2a214a226a23
3a316a329a33=2×3×a112a123a13
a212a223a23
a312a323a33=2×3×2×3×a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=6,
所以a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=16 。
3.【答案】－2(x3＋y3)
【解析】將后兩列加到第一列上
xyx y
yx yx
x yxy=2x 2yyx y
2x 2yx yx
2x 2yxy=2(x y)1yx y
1x yx
1xy
=2(x y)1yx y
0x-y
0x-y-x=2(x y)x-y
x-y-x
=-2(x3 y3)。
4.【答案】－2(n－2)！
【解析】把第二行所有元素乘以－1加到其他各行所對(duì)應(yīng)的元素上，再將第一行所有元素乘以2加到第二行相應(yīng)的元素上，可得
A＝-100…0
222…2
001…0
000…n-2=-100…0
022…2
001…0
000…n-2=-2(n-2)!。
5.【答案】120
【解析】將行列式第四行的各元素加到第一行相應(yīng)元素上后，提出公因子10，然后將第四行逐行換至第二行，即
原式=101111
1223242
1233343
1234=101111
1234
1223242
1233343
=10(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=120。
6.【答案】(2,0)，(3,0)
【解析】曲線y＝111
23x
49x2與x軸(即y＝0)的交點(diǎn)為方程組y=111
23x
49x2，
y=0的解，行列式111
23x
49x2為范德蒙德行列式，即有y=111
23x
2232x2=(3-2)(x-2)(x-3)＝0，解得x＝2或3，故曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，(3,0)。
7.【答案】20
【解析】方法一：利用行列式的性質(zhì)
B=α1－3α2 2α3,α2－2α3,5α3=5α1－3α2 2α3,α2－2α3,α3
=5α1－3α2,α2,α3=5α1,α2,α3=5A=20。
方法二：
B=(α1－3α2 2α3,α2－2α3,2α2 α3)=(α1,α2,α3)100
－312
2－21，
所以B=A·100
－312
2－21=4×5=20。
8.【答案】278
【解析】根據(jù)拉普拉斯展開式，得
D=(-1)3×3-A23B-1=-(-1)3A32B-1=2×3231B=278 。
9.【答案】0
【解析】A－E=A－AAT=A(E－AT)=A·E－AT=A·E－A。
由AAT=ATA=E，可知A2=1，因?yàn)锳>0，所以A=1，即A－E=E－A。
又A為奇數(shù)階矩陣，所以E－A=－(A－E)=－A－E=－E－A，故A－E=0。
10.【答案】116
【解析】由題設(shè)，AB＝A－B，則(A＋E)(E－B)＝E，因此
A＋E＝1E-B=13-1-1
-13-1
-1-13=116。
11.【答案】4
【解析】設(shè)A的特征值λi對(duì)應(yīng)的特征向量是xi (xi≠0，i=1,2,3)，則Axi=λxi。
由A2－A－2E=O可知，特征向量xi滿足(A2－A－2E)xi=0，從而有λi2－λi－2=0，解得λi=－1或λi=2。再根據(jù)A=λ1λ2λ3及0<5可得，λ1=λ2=－1，λ3=2。
由Axi=λxi可得(A 2E)xi=(λi 2)xi，即A 2E的特征值μi (i=1,2,3)滿足μi=λi 2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故A 2E=1×1×4=4。
12.【答案】18
【解析】由2E A=0，可得－2E－A=0，即λ=－2是A的一個(gè)特征值。
因A與B相似，且由相似矩陣具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=－1也是A的特征值，所以A、B的特征值均為λ1=1，λ2=－1，λ3=－2，則E 2B的三個(gè)特征值分別為3，－1，－3。從而可得A=λ1λ2λ3=2，E 2B=3×(－1)×(－3)=9，故
A 2AB=A(E 2B)=A·E 2B=18。
(三)解答題
1.【解析】方法一：數(shù)學(xué)歸納法。
記Dn=A＝2a1
a22a1
a22a1
a22a1
a22an,
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明Dn=(n 1)an。
當(dāng)n=1時(shí)，D1=2a，結(jié)論成立。
當(dāng)n=2時(shí)，D2=2a1
a22a=3a2，結(jié)論成立。
假設(shè)結(jié)論對(duì)小于n的情況成立,將Dn按第一行展開，則有
Dn=2aDn-1-a21
02a1
a22a1
a22a1
a22an-1=2aDn-1-a2Dn-2
=2anan-1-a2(n-1)an-2=(n 1)an，
故A=(n 1)an。
方法二：消元法。
A=2a1
a22a1
a22a1
a22a1
a22anr2-12ar12a1
032a1
a22a1
a22a1
a22an
r3-23ar22a1
032a1
043a1
a22a1
a22a1
a22an=…
rn-n-1narn-12a1
032a1
043a1
0nn-1a1
0n 1nan=(n 1)an。
2.【解析】本題可利用遞推法證明。
記Dn=x-1…00
00…x-1
a1a2…an-1an,則
左邊=xDn (-1)n 2a0-10…0
x-1…0
0…x-1=xDn (-1)2n 2a0=xDn a0。
顯然D1=an，根據(jù)上面的結(jié)論有
左邊=xDn a0=x(xDn-1 a1) a0=x2Dn-1 xa1 a0=…
=xnD1 an-1xn-1 … a1x a0=anxn an-1xn-1 … a1x a0＝右邊,
所以，命題成立。
3.【解析】令Dn=α βα0…00
βα βα…00
0βα β…00
000…α βα
000…βα β，
則將該行列式按第一行展開得
Dn=(α β)Dn－1－αβα…00
0α β…00
00…α βα
00…βα β(n－1)×(n－1)，
再將上式中后面的n－1階行列式按照第一列展開得Dn=(α β)Dn－1－αβDn－2，則
Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)=β2(D
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