目錄
前言
第1章 基本概念、預(yù)備知識(shí)及基本定理 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 常微分方程 1
1.1.2 常微分方程的來源 3
1.1.3 常微分方程的解 6
1.1.4 常微分方程的求解途徑及任意常數(shù)的出現(xiàn)與確定 10
1.1.5 常微分方程的應(yīng)用 18
1.2 預(yù)備知識(shí) 23
1.2.1 范數(shù)及運(yùn)算關(guān)系 23
1.2.2 函數(shù)向量組的線性相關(guān) 24
1.2.3 函數(shù)向量，函數(shù)矩陣及函數(shù)行列式的求導(dǎo) 26
1.2.4 不動(dòng)點(diǎn)定理 28
1.2.5 隱函數(shù)定理 31
1.2.6 Gronwall不等式 34
1.3 基本定理 36
1.3.1 Peano存在定理 37
1.3.2 Picard定理 41
1.3.3 比較定理 44
1.3.4 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴 50
第2章 線性微分方程和微分系統(tǒng) 54
2.1 微分方程和微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu) 55
2.1.1 微分算子多項(xiàng)式 56
2.1.2 線性微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu) 61
2.2 微分方程和微分系統(tǒng)齣求解 68
2.2.1 求解一階線性微分方程 68
2.2.2 求解高階線性微分方程的一般法則 72
2.2.3 常系數(shù)高階線性方程的求解 78
2.2.4 Euler方程 84
2.2.5 幾類變系數(shù)二階線性微分方程 87
2.2.6 常系數(shù)線性微分系統(tǒng)的求解 90
2.3 線性微分方程及系統(tǒng)的應(yīng)用 108
2.3.1 數(shù)學(xué)解揭示的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 108
2.3.2 線性微分方程和線性微分系統(tǒng)的應(yīng)用 114
2.4 用數(shù)學(xué)軟件解線性微分系統(tǒng) 117
2.4.1 MATLAB的指令表示 118
2.4.2 MATLAB解微分系統(tǒng)的示例 121
第3章 非線性方程和非線性系統(tǒng) l24
3.1 非線性方程的求解 124
3.1.1 階顯式微分方程的求解 124
3.1.2 階隱式方程的求解 138
3.2 非線性微分系統(tǒng)的定性分析 150
3.2.1 解的穩(wěn)定性 150
3.2.2 自治微分系統(tǒng)的定常解和平衡點(diǎn) 155
3.2.3 平面微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)的指標(biāo) 156
3.2.4 平面微分系統(tǒng)的周期解和極限環(huán) 159
3.3 分支和混沌 165
3.3.1 分支 165
3.3.2 混沌 171
3.4 用數(shù)學(xué)軟件解非線性系統(tǒng) 176
3.4.1 用數(shù)學(xué)軟件解微分系統(tǒng)和作圖 176
3.4.2 示例 181
第4章 微分方程數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)軟件 185
4.1 常微分系統(tǒng)數(shù)值逼近和誤差分析 186
4.1.1 Euler法 186
4.1.2 線性多步法 194
4.1.3 Runge-Kutta法 214
4.2 剛性方程組的數(shù)值計(jì)算 227
4.2.1 剛性方程組的特點(diǎn)和數(shù)值方法的A穩(wěn)定性 227
4.2.2 隱式Runge-Kutta法和B穩(wěn)定性 239
4.3 數(shù)學(xué)軟件在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 248
4.3.1 數(shù)值方法的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn) 248
4.3.2 用MATLAB庫函數(shù)求解常微分系統(tǒng) 254
第5章 微分方程模型的建立與求解 260
5.1 建立模型的原則與基本方法 260
5.1.1 數(shù)學(xué)模型 260
5.1.2 建立微分方程模型的原則 261
5.1.3 建模步驟 263
5.1.4 建模的方法 265
5.2 微分方程模型的求解 270
5.2.1 設(shè)定條件求解析解 270
5.2.2 設(shè)定條件求數(shù)值解 280
5.3 微分方程模型的實(shí)例 283
部分習(xí)題參考答案 289
參考文獻(xiàn) 296
附錄 常系數(shù)齊次線性微分系統(tǒng)的基礎(chǔ)解系 297
索引 317
后記 320