第1章 剛體力學(xué)基礎(chǔ) 物體的彈性
一、內(nèi)容提要
1.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)
定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，角位移隨時(shí)間變化的方程稱為剛體的運(yùn)動(dòng)方程，即
θ ＝ θ（ t）
剛體角位移θ 隨時(shí)間的變化率稱為剛體的角速度，即
ω ＝ dθ
dt
剛體角速度隨時(shí)間的變化率稱為剛體的角加速度，即
β ＝ dω
dt ＝ d2 θ
dt2
剛體勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律為
ω ＝ ω0 + βt ， θ ＝ ω0 t + 1
2 βt2 ， ω2 ＝ ω20
+ 2βθ
2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律
1） 力對(duì)軸的力矩
剛體受一位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的力F 作用時(shí)，r 為轉(zhuǎn)軸與力作用點(diǎn)間的垂直距離矢量。則
r 與F 的矢積稱為力F 對(duì)z 軸的力矩，即
Mz ＝ r × F
2） 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律
剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用在剛體上所有外力相對(duì)某一軸的合外力矩，等于剛體相對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角加速度的乘積。這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，即
Mz ＝ Jz β
3.剛體相對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
組成剛體的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到定軸垂直距離平方的乘積之和，稱為剛體相對(duì)某一定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
質(zhì)量不連續(xù)分布的剛體，相對(duì)某一定軸z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
Jz ＝ Σi ＝ 1
mi r2i
質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，相對(duì)某一定軸z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為
Jz ＝ ∫dJz ＝ ∫r2 dm
4.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理
在合外力矩Mz 的作用下，剛體由角位置θ1 轉(zhuǎn)動(dòng)到角位置θ2 的過(guò)程中，力矩Mz 對(duì)剛體所做的功為
A ＝ ∫θ2
θ1
Mz dθ
剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為
Ek ＝ 12
Jz ω2
剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力矩對(duì)剛體做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，即
∫θ2
θ1
Mz dθ ＝ 1
2 Jz ω22
- 1
2 Jz ω21 5.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律
質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，以速度v 運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量為
Lz ＝ r × mv
相對(duì)定軸z 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J z 的剛體以角速度ω 繞z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量為
Lz ＝ Jz ω
剛體相對(duì)定軸z 的角動(dòng)量定理如下：
∫t2
t1
Mz dt ＝ Δ （ Jz ω）
當(dāng)剛體所受的所有外力相對(duì)于某一定軸的力矩之和為零時(shí)，剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變，這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律，即
Σ Mz i ＝ 0 ， Lz ＝ Jz ω ＝ 常矢量