數(shù)學(xué)是人類最古老的精神文明之一。原始部落的人們每天都離不開數(shù)與量的活動(dòng)：氏族部落的成員經(jīng)常發(fā)生變化，增多或減少；每次瓣歸來。需計(jì)算獵物的多少，分配食物需將食物數(shù)量和部落成員加以比較。由于大江大河經(jīng)常洪水泛濫，洪水退去后，人們需重新丈量土地。修建住所、堤壩和一些建筑，需計(jì)算各種圖形的面積及物體的體積，從而漸漸地認(rèn)識一些正整數(shù)和簡單的幾何圖形。人類對自然界，乃至宇宙的認(rèn)識，自始至終都是和數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起的。人類對自身的認(rèn)識與教育，也是與數(shù)學(xué)分不開的。從古以來，人們受教育的最低要求就是“能寫、會(huì)算”，這“算”就是數(shù)學(xué)。進(jìn)入20世紀(jì)以后，全世界的基礎(chǔ)教育都是以母語和數(shù)學(xué)為兩門最重要的課程來開設(shè)的。因此，數(shù)學(xué)是人類生存的需要、教育的主體。也就是說，在人們的生活、學(xué)習(xí)、工作中都要具備一定量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并隨著時(shí)代的前進(jìn)，這種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識也越來越寬廣，越來越厚實(shí)。
　　數(shù)學(xué)的這種基礎(chǔ)地位，也就決定了人們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究的重視程度，因而人們?yōu)榇送度肓司薮蟮臒崆楹推D苦的奮斗。今天，寬廣、厚實(shí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)就是人類智慧與熱情的結(jié)晶。
　　基礎(chǔ)數(shù)學(xué)又分為公眾基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與專業(yè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。公眾基礎(chǔ)數(shù)學(xué)內(nèi)容將在教育數(shù)學(xué)中的教材數(shù)學(xué)、文化數(shù)學(xué)等章節(jié)中介紹，在此主要介紹一點(diǎn)專業(yè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容。
　　專業(yè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中，又有純粹數(shù)學(xué)、核心數(shù)學(xué)等的稱呼。
　　純粹數(shù)學(xué)主要包括代數(shù)與數(shù)論、幾何與拓?fù)�、分析學(xué)等幾大部分。核心數(shù)學(xué)是指純粹數(shù)學(xué)的核心。
　　數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，一些最有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題、具有重大發(fā)展?jié)摿Φ臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和方法構(gòu)成一個(gè)時(shí)期的“核心數(shù)學(xué)”（蔣文蔚，1993）。從19世紀(jì)的數(shù)學(xué)來看，復(fù)數(shù)理論因負(fù)數(shù)開方引起，伽羅瓦的群論來源于方程的根式解，羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)起始于對歐氏幾何的第五公設(shè)的研究，而數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密化進(jìn)程則源于無限小量之比的不確定性。這些數(shù)學(xué)內(nèi)部提出的問題深刻地反映了客觀世界的數(shù)量關(guān)系，揭示了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。另外，許多應(yīng)用性問題，也成了核心數(shù)學(xué)的重大分支，例如，傅里葉從熱傳導(dǎo)提出的三角級數(shù)展開。傅里葉分析、傅里葉變換、傅里葉算子、群上調(diào)和分析、非交換調(diào)和分析，其影響至今不衰，始終是核心數(shù)學(xué)的重要組成部分。在20世紀(jì)的上半葉，相對論和量子力學(xué)誕生，與之相應(yīng)的黎曼幾何、李群和泛函分析也屬于那時(shí)的核心數(shù)學(xué)范圍。傳統(tǒng)的函數(shù)論、數(shù)論等基本的數(shù)學(xué)工具。仍然是那時(shí)核心數(shù)學(xué)的一部分。此時(shí)，組合拓?fù)鋵W(xué)，以一般理想論為代表的抽象代數(shù)等，雖然并不和數(shù)學(xué)內(nèi)部需要相聯(lián)系，卻以旺盛的生命力迅速發(fā)展。也構(gòu)成核心數(shù)學(xué)的中堅(jiān)。另一方面，盛極一時(shí)的射影幾何學(xué)、特殊函數(shù)論、方程式論、四元數(shù)解析等學(xué)科雖然是純粹數(shù)學(xué)，但漸漸淡出核心數(shù)學(xué)的范圍。到了20世紀(jì)下半葉，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)導(dǎo)致數(shù)理邏輯、逼近論等學(xué)科的發(fā)展，與此同時(shí)，微分幾何學(xué)受到拓?fù)鋵W(xué)的影響產(chǎn)生了整體微分幾何，又和規(guī)范場論等數(shù)學(xué)物理課題相結(jié)合，從非主流數(shù)學(xué)進(jìn)入主流數(shù)學(xué)。微分方程求解歷來是核心數(shù)學(xué)的重要部分，流形上的分析、多元復(fù)分析、動(dòng)力系統(tǒng)、指標(biāo)定理等成為世人關(guān)注的數(shù)學(xué)課題，完全受數(shù)學(xué)內(nèi)部需要而發(fā)展的代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何，更以費(fèi)馬大定理的證明而達(dá)到高潮。面向21世紀(jì)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的發(fā)展將會(huì)更快。非線性數(shù)學(xué)問題、離散數(shù)學(xué)問題、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、群與代數(shù)及表示理論、流形與變形拓?fù)鋵W(xué)、整體微分幾何、隨機(jī)分析和無窮維分析以及應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論等都將有更大發(fā)展。
　　核心數(shù)學(xué)的重大進(jìn)展和其成果的實(shí)際應(yīng)用都是難以預(yù)計(jì)的。核心數(shù)學(xué)課題一旦有所突破，常常會(huì)產(chǎn)生不可估量的影響。如伽羅瓦提出的群論，源于代數(shù)，后來擴(kuò)展到幾何變換群、拓?fù)鋵W(xué)中的同倫群和同調(diào)群、微分方程中的李群、有限群和典型群、物理學(xué)中的對稱群、規(guī)范群，其覆蓋面幾乎是整個(gè)數(shù)學(xué)。至于群論直接用于密碼編制，成為一種特殊的數(shù)學(xué)技術(shù)，更是始料不及了。
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