第1章　行　列　式
解方程是代數(shù)中一個基本的問題．在中學(xué)代數(shù)和解析幾何里 ,我們用消元法解過一元、二元、三元以及四元一次方程組．但是許多從理論和實際問題中導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量 ,并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等．本章和第4章是討論一般的多元一次方程組 ,即線性方程組．為此 ,首先介紹在討論線性方程組時要用到的一個有力工具 ———行列式．
11　二階與三階行列式
用消元法解二元一次方程組和三元一次方程組．
先看兩個簡單的例子．
解二元線性方程組 


A11 x1＋Ax＝b{ 12211＋Ax2＝b2(111 )
　　 A稱為 x的系數(shù) ,它有兩個下腳標(biāo)(x21A指標(biāo) )22．前一個腳標(biāo) i表示它在第 i個方程 ,后一個
ij
j
腳標(biāo) j表示它是第 j個未知量的系數(shù) ,如A21 ,即是第二個方程中第一個未知量的系數(shù)．將上
述兩個式子兩端分別乘以 A相減消去方程組 (中x得()
b1A22－b2A12 22及A12 ,111 )2,A11 A22－A12 A21 x1＝ 
同樣地 ,消去 x得(11 )2＝A11 2－b1 21 
1,A22－xbA
因此 ,當(dāng)D＝A11 A22－A12 A2A1≠0A時,21A12解得 


b1A22－A12 b2 A11 b2－A21 b1x1＝ A11 A22－A12 A21 ,　x2＝ A11 A22－A12 A21
A11 A12 
為了便于記憶 ,我們引進(jìn)記號 A21 A22


＝A11 A22－A12 A21
稱為二階行列式 ,它含有兩行、兩列．二階行列式是這樣兩個項的代數(shù)和 :一個是在從左上角到右下角的對角線 (主對角線 )上兩個數(shù)的乘積 ,取正號 ;另一個是從右上角到左下角的對角線(次對角線 )上兩個數(shù)的乘積 ,取負(fù)號．譬如 ,
2－3
＝2×5－(－3)×1＝13
15
1 12 
根據(jù)以上記法 b1A22－A12 b2＝ bA
b2 A22 b1 A12 ,D1＝ b2 A22 
A11 b2－b1A21＝ A11 b1 ,A11 b1 A21 b2 
,則方程組 (111 )的解就可以
,D2＝ A21 b2 
如果記 D＝ A11 A12 A21 A22 
寫成
b1 A12 
A11 b1 
x1＝ b2 A22 
DA21 b2 A11 A12 ＝ D1,　x2＝ A11 A12 ＝D2 
DA21 A22
A21 A22
像這樣用行列式來表示解,規(guī)律性強(qiáng),容易記憶．
例1　解線性方程組
{2x＋y＝7 
x－3y＝－2 
21
71
27解　這時D＝＝－7,D1＝＝－19,D2＝＝－11,因此,1－3
－2－3
1－2
所給方程組的唯一解是 
D1 －1919D2 －1111
x＝ D＝－7＝7,　y＝ D＝－7＝7
我們再來解三元線性方程組 
ìA11x1＋A12x2＋A13x3＝b1
.
. 
íA21x1＋A22x2＋A23x3＝b2 (112)


. 


.A31x1＋A32x2＋A33x3＝b3 看看如何用三階行列式表示它的解．
同上面一樣,用消元法,先從前面兩式消去x再從后兩式消去x得到只含xx2的二元線性方程組,再消去x2,就得到
3,3,1,
　(A11 22 33＋AAA13 21 32－11 23 32－12 21 33－13 22 31 x
AA12 23 31＋AAAAAAAAAAAA)1
＝b1A22A33＋A12A23b3＋A13b2A32－b1A23A32－A12b2A33－A13A22b3
時,得當(dāng)x1系數(shù)不為零,即D＝A11A22A33＋A12A23A31＋A13A21A32－A11A23A32－A12A21A33－A13A22A31≠0
D(AA3＋AAAAAA)　
x1＝1 b1 22A33＋A12 23b13b2 32－b1 23A32－12b2 33－A13 22b3 
同理,可得 
x2＝1 AbA1 23 31＋AAbAAbbAAAbA)
D(11 2 33＋bAb13 21 3－11 23 3－121 33－13 231 
1()
x3＝DA11A22b3＋A12b2A31＋b1A21A32－A11b2A32－A12A21b3－b1A22A31 
這樣的式子很煩瑣,為了便于記憶,我們引進(jìn)三階行列式記號
A11 A12 A13 　　D＝ A21 A22 A23 A31 A32 A33
＝A11AA33＋AAA31＋A13A21A32－A11A23A32－AAA33－AAA(113)三階行列式,它22含有三行、2312三列,共有32＝9個數(shù)．三階行12列21式的值13為如22式(113)所示31的六個項的代數(shù)和．下面的方法可以幫助記憶三階行列式值的計算．


或


實線上三個數(shù)的乘積構(gòu)成的三項取正號,虛線上三個數(shù)乘積構(gòu)成的三項都取負(fù)號．于D1 D2 D3
是,上面三元線性方程組的解x1,2,3就可以表示成x1＝ D,2＝ D,3＝ D,其中
xxxx
A11 A12 A13 D＝ A21 A22 A23 A31 A32 A33 A11 b1 A13 D2＝ A21 b2 A23 A31 b3 A33 
這種解結(jié)構(gòu)與前面二階行列式的解的結(jié)構(gòu)類似．ì2x－y＋z＝0,
.
. 
例2　解線性方程組í3x＋2y－5z＝1,
.


.x＋3y－2z＝4 解　此時 
2－11D＝
32－513－2
＝2×2×(－2)＋(－1)×(－5)×1＋1×3×3－1×2×1－(－5)×3×2－(－2)×3 
×(－1)＝28 0－11D1＝
12－543－2
b1 A12 A13 
,　D1＝ b2 A22 A23 b3 A32 A33 A11 A12 b1 
,　D3＝ A21 A22 b2 A31 A32 b3
＝13,　D2＝所以 x＝D1＝13y＝D2＝47z＝D3＝21＝3
20 12 －10 
31 －5＝47,　D3＝3 21＝21 
14 －21 34 


D28 ,D28 ,D284 
從上面二階、三階行列式的記法中可以看出行列式是一個數(shù) ,它們都是一些乘積的代數(shù)和,而每一項乘積都是由行列式中位于不同行且不同列的數(shù)構(gòu)成 (二階行列式每一乘積項有2個因子 ,三階行列式每一乘積項有3個因子 );并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成 (二階行列式有2!項乘積 ,三階行列式有3!項乘積 );此外 ,每一項乘積都帶有符號,這個符號的確定需要用到逆序數(shù)．
習(xí)　題　11
1．計算下列二階、三階行列式 
123
12


21
;　　　　　 (2)－11 


;
(1)13 


;　　　　　 (3)312
201(4)030
; 603 
A11 A12 A13 
2．證明 :A21 A22 A23 
A31 A32 A33 


111 (5)Abc ; 
A2 b2 c2 
A22 A23 
＝A11 
A32 A33
－A12 
231 x yx＋y 
．
(6) yx＋yx 
x＋y 
A21 A23 A31 A33
＋A13 
xy
A21 A22 
．
A31 A32
12　排列　逆序
我們已經(jīng)學(xué)過 ,由1,n這n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個 n級(排列 ,并
2,,階)
n
且這樣的 n個數(shù)共可以組成 Pn＝n!個不同的排列．2,,
在數(shù)學(xué)中把考察的對象 ,例如 ,上面的1,n稱為元素．對于 n個不同的元素 ,規(guī)定各個元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序 ,特別地 ,我們把1,n這n個自然數(shù)規(guī)定由小到大的標(biāo)準(zhǔn)次序稱為自然排列 (一般也稱為標(biāo)準(zhǔn)排列 )．2,,
定義1　在一個 n階排列中 ,如果一個較大的數(shù)排在一個較小的數(shù)的前面 ,則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序．一個排列中所有逆序的總和稱為這個排列的逆序數(shù)．逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列 ,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．
5
例如 ,由數(shù)字1,2,3,4,5共可以組成 P5＝5!＝120種不同的排列 ,45321和23514是其中的兩個排列 ,在45321中43 ,42 ,41 ,53 ,52 ,51 ,32 ,31 ,21是逆序 ,逆序數(shù)為9,為奇排列,23514的逆序為21 ,31 ,51 ,54 ,為偶排列．顯然 ,此時12345也為其中的一個排列 ,它是自然排列 ,其逆序數(shù)為0,也算作偶排列．
我們把一個排列的逆序數(shù)記為 τ,如τ(45321 )＝9．
把一個排列中某兩個數(shù)的位置交換 ,而其余的數(shù)不動 ,就得到另一個排列．這樣的一個變換稱為一個對換．例如 ,經(jīng)過1,2對換 ,排列2431就變成了1432 ,排列2134就變成了1234．顯然 ,如果連續(xù)施行兩次相同的對換 ,那么 ,排列就還原了．
定理1　對換改變排列的奇偶性．
這就是說 ,經(jīng)過一次對換 ,奇排列變成偶排列 ,偶排列變成奇排列．
證　(Ⅰ)先看一個特殊的情形 ,對換的兩個數(shù)在排列中是相鄰的情形．排列 


A,,A
b經(jīng)過 Ab對換變成 b,這里 “”顯然 ,,而Ab兩
表示那些不動的數(shù) ,它們的逆序數(shù)經(jīng)過 Ab對換后并不改變 ,,元素的逆序數(shù)改變?yōu)?:當(dāng)A＜b時,A的逆序數(shù)增加1,當(dāng)A＞b,
經(jīng)對換后 ,而b的逆序數(shù)不變 ;經(jīng)對換后 ,A的逆序數(shù)不變而 b的逆序數(shù)減小1．所以不論增加1還是減少1,其逆序數(shù)的奇偶性都改變． 
(Ⅱ)再看一般情形
設(shè)排列為 


Aiiib, 11 ),,,1,2,,s,(2
經(jīng)Ab對換后 ,排列 (121 )變?yōu)?b,1,2 iA(,ii,,s,, 122 )不難看出 ,這樣一個對換可以經(jīng)過一系列的相鄰對換來實現(xiàn) ,從式 (121 )出發(fā) ,把b與 
i對換 ,再與 i1對換 ,,即把 b經(jīng)s＋1次相鄰位置的對換 ,式(121 )變?yōu)?Ai1 s123 )
ss-
,b,,,i, (再把式 (123 )中A一位一位向右 s次相鄰對換 ,即得式 (122 ),這樣 ,從式 (121 )變到式(122 )共經(jīng)過了2s＋1次相鄰對換 ,而2s＋1為奇數(shù) ,故這樣對換的最終結(jié)果還是改變奇偶性．定理得證．
例　求排列24351的逆序數(shù)．解　排列24351中,1的逆序數(shù)是4個;2的逆序數(shù)是0個;3的逆序數(shù)是1個;4的逆序數(shù)是0個;5的逆序數(shù)是0個,所以排列24351的逆序數(shù)是 τ(24351 )＝5,為奇排列．推論1　奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù) ,偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．證　由定理1知對換次數(shù)就是排列奇偶數(shù)的變化次數(shù) ,而標(biāo)準(zhǔn)排列為偶排列 (逆序數(shù)為0),因此知 ,推論成立．推論2　由1,n這n個數(shù)構(gòu)成的所有排列中 (共n!個),奇偶排列各占一半 ,即各
為n2!個．2,,
證明留作練習(xí) ,請讀者自證．
習(xí)　題　12
1按照順序從小到大為標(biāo)準(zhǔn)順序 ,求下列各排列的逆序數(shù) ,并決定其奇偶性． 
(1)4,1,3,2,5; 
(2)2,4,5,3,1,8,7,6; 


(3),－n2,,2,
nn1,－3,1; 
(4)6,2,7,4,5,3,1; 


(5)(n－n2),,2,n
1),(－3,1,
2證明:2,,奇偶排列各半．


由1,n這n個數(shù)構(gòu)成的n!個排列中,
,,,,
　.3假設(shè)n個數(shù)碼的排列iii的逆序數(shù)為k,n,n1 2,1的逆序數(shù)．
1,2 n求排列ii－ii
13　n階行列式
定義1　設(shè)有n2個數(shù),排成n行n列 
A11 A12 A1n 
A21 A22 A2n 
. 
nn n
積,并冠以符號 (－1)
作出表中位于不同行且不同列的An1個A數(shù)的乘Aτ2,得到形如 
τ
(－1)1j12j2 Anjn的項,其中j1,,,j是1,n的排列,τ為這個排列的逆序數(shù)．由
AAjn2,,于這樣的排列共有n!個,因而形如(2－1)1 AjAj的項共有n!個,所有這n!項的代
τAj1 22 nn
數(shù)和 ∑ (－1)AAA稱為n階行列式,記作
τ1j12j2 njn
A11 A12 A1n D＝ A21 A22 A2n 
. An1 An2 An


τ
＝ ∑ (－1)A1 A2 An
jj1 j2 jnj1j2 n 
簡記為D＝Δ()(或記為Dt())數(shù)A稱為行列式 Δ()中的元素,或簡稱為元．這
A＝eiii
idA．A里,∑ 表示對j,,所有n級排列求和．
jjjj
jj1,j2 jn
1j2 n


當(dāng)n＝1時,規(guī)定 A＝A．當(dāng)n＝2,3時,按此定義與在1．1節(jié)中用對角線法則定義的二、三階行列式,顯然是一致的．注　四階或四階以上的行列式值的計算不能像二、三階行列式那樣直接用對角線法則計算．例1　計算行列式
30－10
020－1
0130－3001
解　這是一個四階行列式．計算的結(jié)果應(yīng)該為4!＝24項的代數(shù)和,但是這個行列式的零元素較多,所以不為零的項就不多了．第一行能取A11＝3和A13＝－1,第二行僅能取A22＝2和A24＝－1．當(dāng)取A11＝A22＝第三行必取A33＝3．第四行也僅有一種取法A44＝1．故
3,2時,這個行列式有 
33 44＝3×2×3×1＝18 A13A24A32A4A111＝(A22A－1)A×(－1)×1×(－3)＝－3