目 錄
第二版前言
第一版前言
第1章 偏微分方程定解問題 1
1.1 三個典型方程的導出 1
1.1.1 弦的橫振動 1
1.1.2 熱傳導問題 4
1.1.3 靜電場 5
1.2 定解問題及其適定性 7
1.2.1 通解和特解 8
1.2.2 定解條件 8
1.2.3 定解問題及其適定性 12
1.3 一階線性(擬線性)偏微分方程的通解法和特征線法 13
1.3.1 兩個自變量的一階線性偏微分方程 13
1.3.2 π個自變量的一階線性偏微分方程(n*2) 16
*1.3.3 一階擬線性偏微分方程 20
1.4 波動方程的行波解 26
1.4.1 一維波動方程的通解和初值問題的達朗貝爾(d'Alembert)公式 26
1.4.2 半直線上的問題延拓法 29
1.4.3 中心對稱的球面波 31
1.5 二階線性偏微分方程的分類和標準式 32
1.5.1 特征方程和特征線 33
1.5.2 方程的分類、化簡和標準形 34
1.6 疊加原理和齊次化原理 40
1.6.1 線性疊加原理 40
1.6.2 齊次化原理(沖量原理) 42
習題1 44
第2章 分離變量法 47
2.1 兩個典型例子 47
2.1.1 兩端固定弦的自由振動 47
2.1.2 圓柱體穩(wěn)態(tài)溫度分布 51
2.2 一般格式，固有值問題 55
2.2.1 一般格式 55
2.2.2 固有值問題的施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)定理 57
2.2.3 例題 63
2.3 非齊次問題 69
2.3.1 齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題 69
2.3.2 一般的非齊次混合問題 75
2.3.3 非齊次穩(wěn)定方程的邊值問題 77
習題2 80
第3章 特殊函數(shù)及其應用 82
3.1 正交曲線坐標系下的變量分離 82
3.1.1 Helmholtz方程在直角坐標系下的變量分離及高維Fourier展開 82
3.1.2 Helmholtz方程在柱坐標系下的變量分離及Bessel方程的導出 84
3.1.3 Helmholtz方程在球坐標系下的變量分離及Legendre方程的導出 85
3.2 常微分方程的事級數(shù)解 86
3.2.1 二階線性常微分方程的解析理論 86
3.2.2 Legendre方程的事級數(shù)解及Legendre函數(shù) 87
3.2.3 Bessel方程的廣義幕級數(shù)解及Bessel函數(shù) 89
3.3 Legendre函數(shù) 93
3.3.1 Legendre多項式的表示和性質 93
3.3.2 Legendre方程的固有值問題及正則奇點情況下的S-L定理 97
3.3.3 軸對稱Laplace方程球面邊值問題 99
3.3.4 伴隨Legendre方程和伴隨Legendre函數(shù) 104
3.3.5 一般情形下Laplace方程球面邊值問題及球函數(shù) lO7
3.4 Bessel函數(shù) 111
3.4.1 Bessel函數(shù)的表示和性質 111
3.4.2 Bessel方程的固有值問題 117
3.4.3 圓柱形區(qū)域上的混合問題和邊值問題，虛變量Bessel函數(shù) 119
3.4.4 球Bessel函數(shù)及其應用 127
*3.4.5 可以化為Bessel方程的方程 130
習題3 132
第4章 積分變換法 135
4.1 Fourier變換法 135
4.1.1 Fourier變換 135
4.1.2 用Fourier變換求解無界區(qū)間上的定解問題 137
4.1.3 Fourier正弦、余弦交換和半無界區(qū)間上的定解問題 140
4.1.4 高維問題 143
4.2 Laplace變換法 144
4.2.1 Laplace變換 144
4.2.2 用Laplace變換求解發(fā)展方程的定解問題 146
*4.3 一般積分變換簡介 149
4.3.1 分離變量法和積分變換法 150
4.3.2 一般積分變換原理和其他積分變換 151
習題4 159
第5章 基本解方法 161
5.1 δ函數(shù)，廣義函數(shù)簡介 161
5.1.1 δ函數(shù)和廣義函數(shù) 161
5.1.2 δ函數(shù)和廣義函數(shù)的性質和運算 164
5.1.3 高維δ函數(shù)和廣義函數(shù) 170
5.2 Lu=0型方程的基本解 173
5.2.1 基本解和解的積分表達式 173
5.2.2 基本解的求法 175
5.3 邊值問題的Green函數(shù)法 179
5.3.1 場位方程邊值問題的Green函數(shù)及解的積分公式 179
5.3.2 Green函數(shù)的求法 182
*5.3.3 Helmholtz方程邊值問題及其Green函數(shù) 194
5.4 初值問題的基本解方法 195
5.4.1 ut=Lu型方程初值問題的基本解 196
5.4.2 utt=Lu型方程初值問題的基本解 197
5.4.3 熱傳導方程的初值問題 200
5.4.4 波動方程的初值問題 201
5.4.5 混合問題的Green函數(shù)法 208
5.5 廣義函數(shù) 209
5.5.1 廣義函數(shù)的概念 209
5.5.2 *(Rn)，*(Rn)，*(Rn)與*(Rn)，*(Rn)，*(Rn) 211
5.5.3 廣義函數(shù)和廣義函數(shù)極限的幾個例子 213
5.5.4 廣義函數(shù)的局部性質及廣義函數(shù)的支集 215
5.5.5 廣義函數(shù)的某些簡單運算 216
5.5.6 廣義函數(shù)的導數(shù)和對參變數(shù)的導數(shù) 218
5.5.7 廣義函數(shù)的FT和F-1T 223
5.5.8 廣義函數(shù)的卷積 225
習題5 226
第6章 微分方程的變分方法 229
6.1 泛函和泛函極值 229
6.1.1 泛函和泛函極值 229
6.1.2 幾個例子 230
6.2 泛函的變分，Euler方程和邊界條件 233
6.2.1 變分法基本引理 233
6.2.2 一元函數(shù)泛函的變分、Euler方程和邊界條件 233
6.2.3 二元函數(shù)泛畫和多元函數(shù)泛函的情況 238
6.2.4 混合積分型泛函的情況 242
6.2.5 兩個一元函數(shù)(y(x),z(x))的泛函的情況 243
6.2.6 泛函中包含二階導數(shù)的情況 245
6.2.7 兩個二元函數(shù)泛畫的情況 246
6.2.8 Hamilton原理和例子 247
6.2.9 活動區(qū)間問題和橫截條件 249
6.3 變分問題的直接法及微分方程的變分方法 251
6.3.1 變分問題的直接法 251
6.3.2 微分方程的變分方法 254
6.3.3 微分方程的廣義解 256
6.4 泛函的條件極值 256
6.4.1 條件極值 257
6.4.2 等周問題 259
6.4.3 等周問題和自共微分方程的固有值問題 261
習題6 265
習題參考答案 267
參考文獻 280