目錄
第8章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 1
8.1 多元函數(shù)的基本概念 1
8.1.1 點(diǎn)集知識(shí)簡(jiǎn)介 1
8.1.2 多元函數(shù)的概念 3
8.1.3 多元函數(shù)的極限 5
8.1.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 7
8.2 偏導(dǎo)數(shù) 9
8.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 9
8.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 12
8.3 全微分 16
8.3.1 全微分的定義 16
8.3.2 函數(shù)可微的條件 16
8.3.3 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 19
8.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 21
8.4.1 鏈法則 21
8.4.2 一階全微分形式不變性 25
8.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 27
8.5.1 一個(gè)方程的情況 27
8.5.2 方程組的情形 30
8.6 方向?qū)��?shù)和梯度 35
8.6.1 方向?qū)��?shù) 35
8.6.2 方向?qū)��?shù)的計(jì)算 36
8.6.3 梯度 37
8.7 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 40
8.7.1 空間曲線的切線和法平面 40
8.7.2 曲面的切平面與法線 42
8.8 多元函數(shù)的極值及其求法 45
8.8.1 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 45
8.8.2 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法 48
8.9 二元函數(shù)的泰勒公式 53
8.9.1 二元函數(shù)的泰勒公式 53
8.9.2 極值充分條件的證明 55
第8章總練習(xí)題 56
第9章 重積分 59
9.1 二重積分的概念與性質(zhì) 59
9.1.1 二重積分的概念 59
9.1.2 可積性條件和二重積分的性質(zhì) 63
9.2 二重積分的計(jì)算 65
9.2.1 應(yīng)用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 65
9.2.2 應(yīng)用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 71
9.2.3 二重積分的換元法 78
9.3 三重積分 81
9.3.1 三重積分的概念和性質(zhì) 81
9.3.2 三重積分的計(jì)算 83
9.4 重積分的應(yīng)用 95
9.4.1 曲面的面積 95
9.4.2 物體的重心 97
9.4.3 平面薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 99
第9章總練習(xí)題 101
第10章 曲線積分和曲面積分 103
10.1 第一型曲線積分 103
10.1.1 第一型曲線積分的概念 103
10.1.2 第一型曲線積分的計(jì)算 105
10.2 第二型曲線積分 109
10.2.1 第二型曲線積分的概念 109
10.2.2 第二型曲線積分的計(jì)算
10.3 格林公式第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 116
10.3.1 格林(Green)公式 116
10.3.2 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 123
10.4 第一型曲面積分 132
10.4.1 第一型曲面積分的概念 132
10.4.2 第一型曲面積分的計(jì)算 132
10.5 第二型曲面積分 137
10.5.1 第二型曲面積分的概念 137
10.5.2 第二型曲面積分的計(jì)算 139
10.6 高斯公式，通量與散度 144
10.6.1 流體通過(guò)空間封閉曲面的流出量 144
10.6.2 高斯(Gauss)公式 145
10.6.3 通量和散度 150
10.7 斯托克斯公式，環(huán)流量與旋度 151
10.7.1 斯托克斯(Stokes)公式 151
10.7.2 空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 154
10.7.3 環(huán)流量與旋度 155
第10章總練習(xí)題 157
第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 160
11.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 160
11.1.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 160
11.1.2 收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 163
11.1.3 柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則 166
11.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 168
11.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則 168
11.2.2 比較判別法 170
11.2.3 比式判別法和根式判別法 172
11.3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 176
11.3.1 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 176
11.3.2 絕對(duì)收斂和條件收斂 178
11.3.3 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積 180
11.4 幕級(jí)數(shù) 182
11.4.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 182
11.4.2 幕級(jí)數(shù)及其收斂半徑 183
11.4.3 幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算 186
11.5 函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式 189
11.5.1 泰勒(Taylor)級(jí)數(shù) 190
11.5.2 初等函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式 192
11.5.3 近似計(jì)算 197
11.5.4 歐拉公式 199
11.6 傅里葉級(jí)數(shù) 201
11.6.1 三角級(jí)數(shù)，三角函數(shù)系的正交性 202
11.6.2 周期為拙的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 203
11.6.3 周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 207
第11章總練習(xí)題 209
第12章 微分方程 211
12.1 微分方程的概念 211
12.2 一階微分方程 214
12.2.1 可分離變量型微分方程 215
12.2.2 齊次型微分方程 217
12.2.3 可化為齊次型的微分方程 218
12.2.4 一階線性微分方程 219
12.2.5 全微分方程 222
12.3 高階微分方程 226
12.3.1 可降階的微分方程 226
12.3.2 線性微分方程解的性質(zhì) 228
12.3.3 二階常系數(shù)線性齊次方程的解 233
12.3.4 二階常系數(shù)線性非齊次方程的解 237
12.3.5 歐拉(Euler) 方程 245
12.4 一些簡(jiǎn)單的常系數(shù)線性微分方程組 248
12.4.1 消元法 248
12.4.2 首次積分 250
12.5 微分方程的幕級(jí)數(shù)解法 253
12.6 微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用 256
12.6.1 幾何問(wèn)題 256
12.6.2 混合問(wèn)題 259
12.6.3 電路問(wèn)題 260
12.6.4 力學(xué)問(wèn)題 262
第12章總練習(xí)題 269
第13章 差分方程 274
13.1 差分與差分方程的概念 274
13.1.1 差分的概念 274
13.1.2 差分方程 275
13.2 常系數(shù)線性差分方程 276
13.2.1 線性差分方程解的性質(zhì) 277
13.2.2 常系數(shù)線性齊次差分方程的解 277
13.2.3 常系數(shù)線性非齊次差分方程的解 280
13.3 差分方程應(yīng)用舉例 285
下冊(cè)各章習(xí)題部分解答 288