20世紀初，偉大的數(shù)學家大衛(wèi)?希爾伯特發(fā)現(xiàn)，有很多數(shù)學中的重要論點在結(jié)構(gòu)上十分類似。他意識到，在適當?shù)膹V義范疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一系列發(fā)現(xiàn)為一個嶄新的數(shù)學分支開啟了大門。而這一新領(lǐng)域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現(xiàn)代數(shù)學研究變得清晰，范圍之廣包括了從數(shù)論直到量子力學各個分支，以至于如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數(shù)學家。
　　那么，什么是希爾伯特空間呢？在典型的高校數(shù)學課程中，它被定義為“完備的內(nèi)積空間”。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中了解到，所謂“內(nèi)積空間”是指配備了內(nèi)積的向量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道“向量空間”、“內(nèi)積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個舉例來說（這還并不是最長的一個）：序列x1，x2，x3，…若滿足對于任意正數(shù)ε，總存在整數(shù)N，使得對于任意大于N的整數(shù)p和q，xp與xq間的距離不大于ε，則稱這個序列為柯西列。
　　簡言之，如果你希望了解希爾伯特空間是什么，你就必須首先學習并且消化一系列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對于許多最重要的數(shù)學思想來說都是這樣。有鑒于此，要寫一本書提供對數(shù)學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
　　我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關(guān)注數(shù)學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙并非技術(shù)性的，而更多屬于哲學性質(zhì)的。它區(qū)分開了兩種人：一種人樂于接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎曲空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經(jīng)。其實無須沉浸在技術(shù)細節(jié)中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力表明如何做到這一點。
　　如果說這本書要向你傳達什么信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的困難就能輕易地消除。在第二章里，我將詳細說明什么是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關(guān)的抽象：從現(xiàn)實世界的問題中提取核心特征，從而將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程。第三章中我將討論什么叫作“嚴格的證明”。這前三章是關(guān)于一般性的數(shù)學的。
　　之后我將討論一些更加具體的課題。最后一章與其說是關(guān)于數(shù)學的，不如說是關(guān)于數(shù)學家的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章后再閱讀后續(xù)章節(jié)。除此以外，這本書已經(jīng)盡量做到不受先后順序影響——在任何章節(jié)中，我并沒有假定讀者已經(jīng)理解并記住了先前的內(nèi)容。
　　讀這本書并不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節(jié)標題或者曼德布羅特集合的圖片。我同樣避免了混沌理論、哥德爾定理等內(nèi)容：與它們在當前數(shù)學研究中的實際影響相比，這些內(nèi)容在公眾的想象中所占的比例已經(jīng)過大，而且其他圖書已經(jīng)充分地闡釋了這些內(nèi)容。我所選擇的內(nèi)容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在于向讀者傳達主流數(shù)學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
　　感謝克雷數(shù)學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特?阿代爾、麗貝卡?高爾斯、埃米莉?高爾斯、帕特里克?高爾斯、喬書亞?卡茨和埃德蒙?托馬斯閱讀了本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數(shù)學專家是能夠讀懂我的作品的。基于他們對此書的評論，我作出了許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠借此了解一點點我整天都在做的是些什么事情。
　　第八章 常見問題
　　1. 數(shù)學家在30歲以后就不比當年了，這是真的嗎？
　　這種傳說影響頗為廣泛，正由于人們誤解了數(shù)學能力的本質(zhì)，才使得它很有吸引力。人們總喜歡把數(shù)學家看作極具天資的人，并認為天資這種東西有些人生來就有，其他人則絕難獲得。
　　其實，年齡與數(shù)學成果間的關(guān)系對不同人來說差別很大。的確有一部分數(shù)學家在20來歲的時候做出了他們最杰出的工作，但絕大多數(shù)人都認為，他們的知識水平和專業(yè)素質(zhì)終其一生都在穩(wěn)健地提高，在許多年里，這種專業(yè)水平的增長都能夠彌補“原生”腦力的任何衰退（如果確實有“原生”腦力這回事的話）。確實數(shù)學家在年逾40歲之后就少有重要的突破性進展了，但這也很有可能是社會學方面的原因。到了40歲時，如果有人還有能力做出突破性的工作，那么他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數(shù)學家那樣具有奮斗精神。不過還是有很多反例的，有很多數(shù)學家在退休之后熱情不減，還繼續(xù)在數(shù)學領(lǐng)域工作。
　　一般來講，人們通常所想象的數(shù)學家的形象——可能很聰明，但有點古怪，穿著邋遢，毫無性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分數(shù)學家在一定程度上的確符合這種形象，但如果你認為不這樣就做不好數(shù)學，這種想法可就太蠢了。實際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪數(shù)學家更勝一籌。一開始學習數(shù)學的所有學生中，最后成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開了數(shù)學，比如失去興趣、沒有申請到讀博機會，或者得到了博士學位但沒有獲得教職。在我看來（實際上不僅只有我這么想），對最終通過了這層層考驗的人來說，那些“怪人”所占的比例比占一開始學習數(shù)學的學生的比例要小。
　　對數(shù)學家這樣的負面刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來可能喜歡并且擅長這一領(lǐng)域的人，但是“天才”這個詞則更加惡毒，殺傷力更大。這里有一個現(xiàn)成的對“天才”的大致定義：對于別人必須經(jīng)過多年實踐都未必能夠掌握的事情，天才就是那些在少年時期就能夠輕易做好這些事的人。天才的成就有著魔法般的特質(zhì)，就好像他們的大腦并不只是比我們更有效率，而是運轉(zhuǎn)方式完全不同。劍橋大學每年都會有一兩個數(shù)學系本科生，他們經(jīng)常在數(shù)分鐘之內(nèi)就能解決的問題，大多數(shù)人——包括應該能夠教他們的人——往往需要花上幾個小時以上。遇到這種人的時候，我們只能退避三舍、頂禮膜拜。
　　然而，這些超乎尋常的人并不總是最成功的數(shù)學研究者。如果你想要解決某個問題，而之前嘗試過的數(shù)學家都以失敗告終，那么你需要具備種種素質(zhì)，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過一個極端一點的例子來說明這一點。安德魯?懷爾斯（在剛到40歲的時候）證明了費馬大定理（即對任意正整數(shù)x,y,z及大于2的正整數(shù)n，xn+yn不可能等于zn），解決了世界上最著名的數(shù)學難題。毫無疑問他很聰明，但他并不是我所說的天才。
　　你可能會問，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？回答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無法解釋的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心，對他人完成的艱難工作的廣泛了解，在正確時間專攻正確領(lǐng)域的運氣，以及杰出的戰(zhàn)略性眼光。
　　上面所說的最后一條素質(zhì)，從根本上要比驚人的大腦運轉(zhuǎn)速度更加重要。數(shù)學中絕大多數(shù)影響深遠的貢獻是由“烏龜”們而不是“兔子”們做出的。隨著數(shù)學家的成長，他們都會逐漸學會這個行當里的各種把戲，部分來自于其他數(shù)學家的工作，部分來自于自己對這個問題長時間的思考。是否能將他們的專長用于解決極其困難的問題，則在很大程度上決定于細致的規(guī)劃：選取一些可能會結(jié)出豐碩成果的問題，知道什么時候應該放棄一條思路（相當困難的判斷），能夠先勾勒出論證問題的大框架繼而再時不時地向里面填充細節(jié)。這就需要對數(shù)學有相當成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也并不總是會伴隨著天賦。
　　2. 為什么女性數(shù)學家很少見？
　　真想回避這個問題，因為回答這個問題很容易冒犯別人。但是，在全世界各地的數(shù)學系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很��；這是一個值得注意的現(xiàn)象，也是數(shù)學生活中的一個重要事實，我被迫感到不得不說點什么，盡管我所要說的也無非是對此感到不解和遺憾。
　　值得強調(diào)的一點是，數(shù)學家中女性較少只不過是一種統(tǒng)計現(xiàn)象：確實有十分優(yōu)秀的女性數(shù)學家，與男性同行一樣，她們表現(xiàn)優(yōu)秀的方式也多種多樣，有時也包括擁有天賦。沒有任何跡象表明，女性在數(shù)學中所能達到的成就會有上限。我們有時會讀到，在特定的智力測試中——比如說視覺空間能力，男性表現(xiàn)得更優(yōu)秀，有人認為這解釋了他們主導著數(shù)學領(lǐng)域的原因。然而，這樣的論據(jù)不足以令人信服，因為視覺空間能力能夠通過練習來增強，而且盡管它有時對數(shù)學家有幫助，卻并非不可或缺。
　　更可信的一種理由是社會方面的因素：當男孩子為數(shù)學能力感到驕傲時，可以想象某個女孩子可能會為自己擅長這項不那么女性化的事務而感到窘迫。而且，有數(shù)學天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們只能靠自我保持、自我強化。一項社會因素可能會在之后發(fā)揮更大的作用：比起其他學科來，前言
　　20世紀初，偉大的數(shù)學家大衛(wèi)?希爾伯特發(fā)現(xiàn)，有很多數(shù)學中的重要論點在結(jié)構(gòu)上十分類似。他意識到，在適當?shù)膹V義范疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一系列發(fā)現(xiàn)為一個嶄新的數(shù)學分支開啟了大門。而這一新領(lǐng)域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現(xiàn)代數(shù)學研究變得清晰，范圍之廣包括了從數(shù)論直到量子力學各個分支，以至于如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數(shù)學家。
　　那么，什么是希爾伯特空間呢？在典型的高校數(shù)學課程中，它被定義為“完備的內(nèi)積空間”。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中了解到，所謂“內(nèi)積空間”是指配備了內(nèi)積的向量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道“向量空間”、“內(nèi)積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個舉例來說（這還并不是最長的一個）：序列x1，x2，x3，…若滿足對于任意正數(shù)ε，總存在整數(shù)N，使得對于任意大于N的整數(shù)p和q，xp與xq間的距離不大于ε，則稱這個序列為柯西列。
　　簡言之，如果你希望了解希爾伯特空間是什么，你就必須首先學習并且消化一系列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對于許多最重要的數(shù)學思想來說都是這樣。有鑒于此，要寫一本書提供對數(shù)學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
　　我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關(guān)注數(shù)學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙并非技術(shù)性的，而更多屬于哲學性質(zhì)的。它區(qū)分開了兩種人：一種人樂于接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎曲空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經(jīng)。其實無須沉浸在技術(shù)細節(jié)中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力表明如何做到這一點。
　　如果說這本書要向你傳達什么信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的困難就能輕易地消除。在第二章里，我將詳細說明什么是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關(guān)的抽象：從現(xiàn)實世界的問題中提取核心特征，從而將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程。第三章中我將討論什么叫作“嚴格的證明”。這前三章是關(guān)于一般性的數(shù)學的。
　　之后我將討論一些更加具體的課題。最后一章與其說是關(guān)于數(shù)學的，不如說是關(guān)于數(shù)學家的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章后再閱讀后續(xù)章節(jié)。除此以外，這本書已經(jīng)盡量做到不受先后順序影響——在任何章節(jié)中，我并沒有假定讀者已經(jīng)理解并記住了先前的內(nèi)容。
　　讀這本書并不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節(jié)標題或者曼德布羅特集合的圖片。我同樣避免了混沌理論、哥德爾定理等內(nèi)容：與它們在當前數(shù)學研究中的實際影響相比，這些內(nèi)容在公眾的想象中所占的比例已經(jīng)過大，而且其他圖書已經(jīng)充分地闡釋了這些內(nèi)容。我所選擇的內(nèi)容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在于向讀者傳達主流數(shù)學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
　　感謝克雷數(shù)學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特?阿代爾、麗貝卡?高爾斯、埃米莉?高爾斯、帕特里克?高爾斯、喬書亞?卡茨和埃德蒙?托馬斯閱讀了本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數(shù)學專家是能夠讀懂我的作品的�；�于他們對此書的評論，我作出了許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠借此了解一點點我整天都在做的是些什么事情。
　　第八章 常見問題
　　1. 數(shù)學家在30歲以后就不比當年了，這是真的嗎？
　　這種傳說影響頗為廣泛，正由于人們誤解了數(shù)學能力的本質(zhì)，才使得它很有吸引力。人們總喜歡把數(shù)學家看作極具天資的人，并認為天資這種東西有些人生來就有，其他人則絕難獲得。
　　其實，年齡與數(shù)學成果間的關(guān)系對不同人來說差別很大。的確有一部分數(shù)學家在20來歲的時候做出了他們最杰出的工作，但絕大多數(shù)人都認為，他們的知識水平和專業(yè)素質(zhì)終其一生都在穩(wěn)健地提高，在許多年里，這種專業(yè)水平的增長都能夠彌補“原生”腦力的任何衰退（如果確實有“原生”腦力這回事的話）。確實數(shù)學家在年逾40歲之后就少有重要的突破性進展了，但這也很有可能是社會學方面的原因。到了40歲時，如果有人還有能力做出突破性的工作，那么他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數(shù)學家那樣具有奮斗精神。不過還是有很多反例的，有很多數(shù)學家在退休之后熱情不減，還繼續(xù)在數(shù)學領(lǐng)域工作。
　　一般來講，人們通常所想象的數(shù)學家的形象——可能很聰明，但有點古怪，穿著邋遢，毫無性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分數(shù)學家在一定程度上的確符合這種形象，但如果你認為不這樣就做不好數(shù)學，這種想法可就太蠢了。實際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪數(shù)學家更勝一籌。一開始學習數(shù)學的所有學生中，最后成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開了數(shù)學，比如失去興趣、沒有申請到讀博機會，或者得到了博士學位但沒有獲得教職。在我看來（實際上不僅只有我這么想），對最終通過了這層層考驗的人來說，那些“怪人”所占的比例比占一開始學習數(shù)學的學生的比例要小。
　　對數(shù)學家這樣的負面刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來可能喜歡并且擅長這一領(lǐng)域的人，但是“天才”這個詞則更加惡毒，殺傷力更大。這里有一個現(xiàn)成的對“天才”的大致定義：對于別人必須經(jīng)過多年實踐都未必能夠掌握的事情，天才就是那些在少年時期就能夠輕易做好這些事的人。天才的成就有著魔法般的特質(zhì)，就好像他們的大腦并不只是比我們更有效率，而是運轉(zhuǎn)方式完全不同。劍橋大學每年都會有一兩個數(shù)學系本科生，他們經(jīng)常在數(shù)分鐘之內(nèi)就能解決的問題，大多數(shù)人——包括應該能夠教他們的人——往往需要花上幾個小時以上。遇到這種人的時候，我們只能退避三舍、頂禮膜拜。
　　然而，這些超乎尋常的人并不總是最成功的數(shù)學研究者。如果你想要解決某個問題，而之前嘗試過的數(shù)學家都以失敗告終，那么你需要具備種種素質(zhì)，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過一個極端一點的例子來說明這一點。安德魯?懷爾斯（在剛到40歲的時候）證明了費馬大定理（即對任意正整數(shù)x,y,z及大于2的正整數(shù)n，xn+yn不可能等于zn），解決了世界上最著名的數(shù)學難題。毫無疑問他很聰明，但他并不是我所說的天才。
　　你可能會問，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？回答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無法解釋的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心，對他人完成的艱難工作的廣泛了解，在正確時間專攻正確領(lǐng)域的運氣，以及杰出的戰(zhàn)略性眼光。
　　上面所說的最后一條素質(zhì)，從根本上要比驚人的大腦運轉(zhuǎn)速度更加重要。數(shù)學中絕大多數(shù)影響深遠的貢獻是由“烏龜”們而不是“兔子”們做出的。隨著數(shù)學家的成長，他們都會逐漸學會這個行當里的各種把戲，部分來自于其他數(shù)學家的工作，部分來自于自己對這個問題長時間的思考。是否能將他們的專長用于解決極其困難的問題，則在很大程度上決定于細致的規(guī)劃：選取一些可能會結(jié)出豐碩成果的問題，知道什么時候應該放棄一條思路（相當困難的判斷），能夠先勾勒出論證問題的大框架繼而再時不時地向里面填充細節(jié)。這就需要對數(shù)學有相當成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也并不總是會伴隨著天賦。
　　2. 為什么女性數(shù)學家很少見？
　　真想回避這個問題，因為回答這個問題很容易冒犯別人。但是，在全世界各地的數(shù)學系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；這是一個值得注意的現(xiàn)象，也是數(shù)學生活中的一個重要事實，我被迫感到不得不說點什么，盡管我所要說的也無非是對此感到不解和遺憾。
　　值得強調(diào)的一點是，數(shù)學家中女性較少只不過是一種統(tǒng)計現(xiàn)象：確實有十分優(yōu)秀的女性數(shù)學家，與男性同行一樣，她們表現(xiàn)優(yōu)秀的方式也多種多樣，有時也包括擁有天賦。沒有任何跡象表明，女性在數(shù)學中所能達到的成就會有上限。我們有時會讀到，在特定的智力測試中——比如說視覺空間能力，男性表現(xiàn)得更優(yōu)秀，有人認為這解釋了他們主導著數(shù)學領(lǐng)域的原因。然而，這樣的論據(jù)不足以令人信服，因為視覺空間能力能夠通過練習來增強，而且盡管它有時對數(shù)學家有幫助，卻并非不可或缺。
　　更可信的一種理由是社會方面的因素：當男孩子為數(shù)學能力感到驕傲時，可以想象某個女孩子可能會為自己擅長這項不那么女性化的事務而感到窘迫。而且，有數(shù)學天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們只能靠自我保持、自我強化。一項社會因素可能會在之后發(fā)揮更大的作用：比起其他學科來，數(shù)學需要一個人更加專注，這雖然不是不可能，但也很難與女性的母親身份相結(jié)合。小說家坎迪亞?麥克威廉曾經(jīng)說，她的每個孩子都使她少寫了兩本書，不過在幾年未動筆之后，她至少還能夠重新寫小說。但如果你幾年沒有做數(shù)學，你就失去了數(shù)學的習慣，很難再重拾了。
　　有人認為，女性數(shù)學家發(fā)展起自己事業(yè)的時間往往晚于男性同行，而數(shù)學家的職業(yè)結(jié)構(gòu)傾向于回報早期成就，這就使得女性處于一種不利的地位。最杰出的一些女性數(shù)學家的人生故事支持了這種說法。不過她們發(fā)展自己職業(yè)生涯較晚的原因，基本上都是上面所說的社會原因，而且也有許多這方面的例外。
　　不過，這些解釋看起來都不夠充分。我在此不再深入探討了。我還能做的就是告訴大家，關(guān)于這方面已經(jīng)出了幾本書（參見“延伸閱讀”）。最后再加上一點評論：這樣的情況是在不斷進步的。數(shù)學家中女性所占的比例近年來在穩(wěn)步提高，而且隨著社會大環(huán)境的不斷改變，這樣的現(xiàn)象一定還會持續(xù)下去。
　　3. 數(shù)學與音樂息息相通嗎？
　　盡管有很多數(shù)學家完全不了解音樂，也很少有音樂家對數(shù)學感興趣，但一直有一種民間觀念認為這兩個領(lǐng)域是相關(guān)聯(lián)的。其結(jié)果就是，當我們聽說某位數(shù)學家鋼琴彈得很好，或者愛好作曲，或者喜歡聽巴赫，沒有人會對此感到驚奇。
　　有很多奇聞軼事在講，各種藝術(shù)形式中，數(shù)學家為音樂所吸引的最多。也有一些研究聲稱已經(jīng)表明，受過音樂教育的兒童在科學領(lǐng)域中表現(xiàn)得更優(yōu)秀。我們不難猜出為什么會這樣。盡管在所有藝術(shù)形式中抽象都很重要，但音樂在其中最具有代表性，可以說是最明顯的抽象藝術(shù)：聽音樂所獲得的愉悅感，大部分來自于對不具有內(nèi)在含義的純粹形式的直接——即使不是完全自覺的——欣賞。
　　不幸的是，這些傳說中的證據(jù)很少得到嚴格的科學支持。關(guān)于這種說法，就連應該提出哪些疑問都不好說。如果我們收集到統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯著地說明，在相近的社會背景及教育背景下，數(shù)學家與其他人相比，彈鋼琴的百分比更高，那我們能夠從中了解到什么呢？我自己猜測，的確會得到這樣的數(shù)據(jù)。但如果提出一種可經(jīng)實驗驗證的理論來說明這其中的關(guān)聯(lián)，會有趣得多。就統(tǒng)計證據(jù)而言，如果能夠更加詳盡明確，也會更有價值。數(shù)學和音樂都是內(nèi)容很廣泛的領(lǐng)域，某些人很有可能只對領(lǐng)域中的某一部分有熱情，而對其他部分毫無興趣。數(shù)學和音樂趣味之間是否會有微妙的聯(lián)系？如果有，那將會比這兩個領(lǐng)域間整體的粗略相關(guān)性更具信息含量。
　　4. 為什么有那么多人旗幟鮮明地厭惡數(shù)學？
　　我們不常聽到別人說他們從來不喜歡生物學，或者英國文學。毫無疑問，并不是所有人都會對這些學科感到興奮，但是，那些沒有熱情的人往往完全理解那些有熱情的人。相反，數(shù)學，以及其他內(nèi)容高度數(shù)學化的學科，諸如物理，似乎不僅僅使人提不起興趣，而且能激起反感。究竟是什么原因使他們一旦能夠拋棄數(shù)學時就立刻拋棄，并且一生都對數(shù)學心有余悸？
　　很可能并不是因為數(shù)學很無聊，而是數(shù)學課的經(jīng)歷很乏味。這一點更容易理解。因為數(shù)學總是持續(xù)在自身的基礎(chǔ)上構(gòu)建，所以學習時的步步跟進就顯得很重要。比方說，如果你不太擅長兩位數(shù)的乘法，那你很可能就不會對分配律（第二章中討論過）有良好的直覺。沒有這種直覺，你可能就會在計算打開括號（x+2）（x+3）時感到不適應，于是你接下來就不能很好地理解二次方程，因而也無法理解為什么黃金分割比是（1+√5）/2。
　　類似這樣的環(huán)環(huán)相扣還有很多，但是，學習數(shù)學時的步步跟進不僅僅是保持技術(shù)熟練度而已。數(shù)學中常常會引入重要的新思想，新思想會比舊思想更加復雜，每一個新思想的引入都有可能把我們甩在后面。一個很明顯的例子就是用字母表示數(shù)，很多人對此糊里糊涂，但對某個層次以上的數(shù)學來講這是基礎(chǔ)性的。還有其他類似的例子，比如負數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)以及初步的微積分。沒有作好準備來進行必要的概念飛躍的人，一旦遇到這些新思想時，就會對其后建立在新思想基礎(chǔ)上的一切數(shù)學感到并不牢靠。久而久之，他們就會習慣于對數(shù)學老師所說的東西僅僅一知半解，日后再錯過幾次飛躍，恐怕連一知半解也做不到了。同時他們又看到班上其他同學能夠輕而易舉地跟上課程。因此就不難理解，為什么對許多人來講數(shù)學課成為了一種煎熬。
　　情況一定是這樣的嗎？有沒有人天生注定就會在學校里厭惡數(shù)學，還是說，有可能找出一種不同的數(shù)學教學方法，使得排斥數(shù)學的人能夠大大減少？我相信，小孩子如果在早期接受到熱情的好老師一對一教學，長大之后就會喜歡上數(shù)學。當然，這并不能直接成為一種可行的教育政策，不過至少告訴我們，數(shù)學的教育方法可能有改進空間。
　　從我在本書中所強調(diào)的思想出發(fā)，我可以給出一條建議。在上面，我間接地將技術(shù)的熟練度與對較難概念的理解作了一番比較，但實際情況似乎是，凡是擅長其中一個方面的必然兩個方面都擅長。況且，如果說理解數(shù)學對象，大體上就是要學習數(shù)學對象所遵從的規(guī)則，而非把握其本質(zhì)，那么我們完全可以預期：技術(shù)的熟練度與數(shù)學理解力之間并不像我們想象得那樣涇渭分明。這又會對課堂實踐產(chǎn)生什么影響呢？我并不贊成革命性的改進——數(shù)學教育已經(jīng)深受其累，我所贊同的是小幅度的改變，有所側(cè)重的小幅變化將會是有益的。
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