本書首先系統(tǒng)地介紹數(shù)學(xué)模型的導(dǎo)出和各類定解問(wèn)題的解題方法, 然后再討論三類典型方程的基本理論. 這種處理方式, 便于教師授課時(shí)選講和自學(xué)者選讀. 書中內(nèi)容深入淺出, 方法多樣, 文字通俗易懂, 并配有大量難易兼顧的例題與習(xí)題.
本書可作為數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、物理、力學(xué)專業(yè)的本科生以及工科相關(guān)專業(yè)的研究生的教材和教學(xué)參考書, 也可作為非數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的教材(不講或選講第6章)和教學(xué)參考書. 另外, 也可供數(shù)學(xué)工作者、物理工作者和工程技術(shù)人員作為參考書.
第1章 典型方程的導(dǎo)出、定解問(wèn)題及二階方程的分類與化簡(jiǎn)
1.1 典型方程的導(dǎo)出
1.1.1 守恒律
1.1.2 變分原理
1.2 偏微分方程的基本概念
1.2.1 定義
1.2.2 定解條件和定解問(wèn)題
1.2.3 定解問(wèn)題的適定性
1.3 二階線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)
1.3.1 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)
1.3.2 多個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類
習(xí)題1
第2章 Fourier級(jí)數(shù)方法——特征展開法和分離變量法
2.1 引言
2.2 預(yù)備知識(shí)
2.2.1 二階線性常微分方程的通解
2.2.2 線性方程的疊加原理
2.2.3 正交函數(shù)系
2.3 特征值問(wèn)題
2.3.1 Sturm—Liouville問(wèn)題
2.3.2 例子
2.4 特征展開法
2.4.1 弦振動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題
2.4.2 熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題
2.5 分離變量法——Laplace方程的邊值問(wèn)題
2.5.1 圓域內(nèi)Laplace方程的邊值問(wèn)題
2.5.2 矩形上的Laplace方程的邊值問(wèn)題
2.6 非齊次邊界條件的處理
2.7 物理意義、駐波法與共振
習(xí)題2
第3章 積分變換法
3.1 Fourier變換的概念和性質(zhì)
3.2 Fourier變換的應(yīng)用
3.2.1 一維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題
3.2.2 高維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題
3.2.3 一維弦振動(dòng)方程的初值問(wèn)題
3.2.4 其他類型的方程
3.3 半無(wú)界問(wèn)題：對(duì)稱延拓法
3.3.1 熱傳導(dǎo)方程的半無(wú)界問(wèn)題
3.3.2 半無(wú)界弦的振動(dòng)問(wèn)題
3.4 Laplace變換的概念和性質(zhì)
3.5 Laplace變換的應(yīng)用
習(xí)題3
第4章 波動(dòng)方程的特征線法、球面平均法和降維法
4.1 弦振動(dòng)方程的初值問(wèn)題的行波法
4.2 d'Alembert公式的物理意義
4.3 三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題——球面平均法和Poisson公式
4.3.1 三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解
4.3.2 三維波動(dòng)方程的Poisson公式
4.3.3 非齊次方程、推遲勢(shì)
4.4 二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題——降維法
4.5 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐
4.6 Poisson公式的物理意義、Huygens原理
習(xí)題4
第5章 位勢(shì)方程
5.1 Green公式與基本解
5.1.1 Green公式
5.1.2 基本解的定義
5.2 調(diào)和函數(shù)的基本積分公式及一些基本性質(zhì)
5.3 Green函數(shù)
5.3.1 Green函數(shù)的概念
5.3.2 Green函數(shù)的性質(zhì)
5.4 幾種特殊區(qū)域上的Green函數(shù)及Dirichlet邊值問(wèn)題的可解性
……
第6章 三類典型方程的基本理論
附錄一 積分變換表
附錄二 參考答案
參考文獻(xiàn)
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