第1 章流體基本概念
1.1 概況
一般而言，計(jì)算流體力學(xué)屬于流體力學(xué)的一個(gè)分支領(lǐng)域，也習(xí)慣將其稱為計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(computational.uiddynamics)，因其所涉及的主要是流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值求解。計(jì)算流體力學(xué)實(shí)質(zhì)上是在流體力學(xué)的基礎(chǔ)上，通過(guò)與計(jì)算技術(shù)的融合，拓寬了我們認(rèn)識(shí)新的流動(dòng)現(xiàn)象的深度和廣度。
從另一個(gè)視角，計(jì)算流體力學(xué)也屬于偏微分方程理論和數(shù)值計(jì)算的范疇，由這些嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析和計(jì)算技術(shù)作為基礎(chǔ)，才有可能順利地開展流動(dòng)問(wèn)題的求解，在這個(gè)過(guò)程中，自然也離不開如偏微分方程的理論分析、數(shù)值算法以及程序設(shè)計(jì)等具體內(nèi)容。
因此，首先從了解流體的物理背景開始，理解并熟悉流體運(yùn)動(dòng)的描述方法，熟練掌握流動(dòng)控制方程的推導(dǎo)，由此建立正確運(yùn)用流動(dòng)方程并靈活進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的必需基礎(chǔ)。
1.2 流體屬性
熱力學(xué)上，通常將物質(zhì)分為固體、液體和氣體三態(tài)，很容易通過(guò)觀察由其形態(tài)判別和相互區(qū)分。在流體力學(xué)中，只有兩類物質(zhì)，即流體和非流體(固體)。固體能夠承受外部施加的剪切力并保持靜止，而流體是不能的。但這也不是完全清晰的區(qū)分，例如，在室溫下的一桶瀝青，看起來(lái)硬得像石頭，在上面放一塊磚頭，也絲毫不受影響。但是，若是把磚頭一直放著，則過(guò)幾天沉到桶底，再要取出來(lái)就困難了。因此，瀝青通常劃歸流體。再看金屬鋁，在室溫下，鋁是固態(tài)的，可以做成任何形狀，并且只要不超過(guò)材料極限它可以承受任意的外加剪應(yīng)力。然而，一旦加熱以后，鋁就呈現(xiàn)液態(tài)，在外加剪應(yīng)力作用下鋁液作連續(xù)的變形。但是，也不能將高溫作為區(qū)分金屬流體特征的標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)榻饘巽U在室溫下就呈現(xiàn)出類似的黏性蠕動(dòng)流特征。同時(shí)，我們還可以看到，水銀也是一種流體，而且在常見(jiàn)的物質(zhì)里面，相對(duì)于其密度而言，其黏度(運(yùn)動(dòng)黏度)是最小的。
這里所探討的是公認(rèn)為流體的介質(zhì)，例如，所有的氣體都可以認(rèn)為是真正的流體，還包括一些常見(jiàn)液體，如水、油、酒精等。
在真正流體的范疇內(nèi)，我們來(lái)定義和解釋它們的屬性。大致有如下四類：
(1)運(yùn)動(dòng)屬性(線速度、角速度、渦、加速度以及應(yīng)變率)，嚴(yán)格地講，這些是流場(chǎng)屬性，而非流體屬性；
(2)傳輸屬性(黏度、導(dǎo)熱系數(shù)、質(zhì)量擴(kuò)散度)；
(3)熱力學(xué)屬性(壓力、密度、溫度、焓、熵、比熱容、普朗特?cái)?shù)、體積模量、熱膨脹系數(shù))；
(4)其他各種屬性(表面張力、汽化壓力、渦擴(kuò)散系數(shù)、適應(yīng)系數(shù))。
第四項(xiàng)中的某些不屬于真正的屬性，但取決于流動(dòng)條件、表面條件以及流體中的所含雜質(zhì)。使用第三項(xiàng)中的屬性也需要注意場(chǎng)合。嚴(yán)格意義上講，處于運(yùn)動(dòng)中的黏性流體并不處于熱平衡狀態(tài)，這些屬性并不適用。所幸的是，其偏離平衡態(tài)并不遠(yuǎn)，除了流體的弛豫時(shí)間很短且分子數(shù)較少，如稀薄氣體超音速流。其原理可以這樣理解，例如，從統(tǒng)計(jì)意義上，常壓下的氣體也是非常濃的，以1μm邊長(zhǎng)立方體內(nèi)氣體為例，其中大約含有108 個(gè)分子，對(duì)于這一體積的氣體，當(dāng)狀態(tài)發(fā)生變化，甚至在發(fā)生激波變化時(shí)，它也能迅速恢復(fù)平衡態(tài)。這是因?yàn)槿绱硕嗟姆肿釉诙叹嚯x內(nèi)將發(fā)生大量的分子碰撞，碰撞后很快又恢復(fù)平衡，而液體更濃，所以完全可以假設(shè)它們是處于熱平衡態(tài)的。
1.2.1 運(yùn)動(dòng)屬性
對(duì)于流體，首先涉及的是流體的速度。而固體力學(xué)中，首先涉及的是質(zhì)點(diǎn)位移，這是因?yàn)楣腆w中，質(zhì)點(diǎn)間以相對(duì)剛性的方式相聯(lián)系。
由剛體動(dòng)力學(xué)考慮火箭運(yùn)動(dòng)軌跡，只需求解出任意三個(gè)不共線的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡就可以了，因?yàn)槿我馄渌|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都可以由已知三點(diǎn)軌跡推算而得出。這種追溯單個(gè)質(zhì)點(diǎn)軌跡的方法稱為拉格朗日運(yùn)動(dòng)描述，在固體力學(xué)中非常有用。
但是，考察火箭噴管排出的流體流動(dòng)時(shí)，顯然不可能追溯上百萬(wàn)的質(zhì)點(diǎn)軌跡。這里考察方式就很重要了，地面上的觀察者看到的是復(fù)雜的非定常流，而與火箭一同飛行的觀察者看到的是幾乎非常規(guī)則的定常流動(dòng)。因此，在流體力學(xué)中采用如下措施通常是非常有用的：①選擇最便利的坐標(biāo)系，使得觀察時(shí)的流動(dòng)是定常的；
�、� 只研究作為位置和時(shí)間函數(shù)的速度場(chǎng)，而不追溯任何質(zhì)點(diǎn)軌跡。這種描述流動(dòng)在每個(gè)固定點(diǎn)隨時(shí)間變化的函數(shù)方式，稱為歐拉方法。歐拉速度向量場(chǎng)可定義為如下直角坐標(biāo)形式：
V(r，t)=V(x，y，z，t)=iu(x，y，z，t)+jv(x，y，z，t)+kw(x，y，z，t)(1-1)
求解三個(gè)隨(x，y，z，t)變化的標(biāo)量函數(shù)u、v、w，通常是流體力學(xué)的主要任務(wù)。與固體力學(xué)采用位移分量描述不同，流體通常采用(u，v，w)三個(gè)速度分量來(lái)表征。相對(duì)而言，位移在流體中沒(méi)有太多實(shí)際用途，因此，也很少給出位移的變量描述。
歐拉方法，或者速度場(chǎng)無(wú)疑是描述流體力學(xué)問(wèn)題的合適選擇，但又存在一個(gè)矛盾，即三個(gè)基本物理守恒定律：質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒，它們都以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，即它們是拉格朗日屬性的。這三個(gè)定律都與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的某種屬性隨時(shí)間的變化率有關(guān)。令Q代表流體的任意屬性，而dx、dy、dz、dt分別代表這四個(gè)變量的任意變化，這樣，Q的總微元變化如下：
dQ =
Q
x
dx +
Q
y
dy +
Q
z
dz +
Q
t
dt (1-2)
因?yàn)槲覀冏粉櫼粋�(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么空間增量如下：
dx=udt，dy=vdt，dz=wdt(1-3)代入式(1-2)，可以得到一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的Q屬性的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為
Q
+ u
Q
x
+ v
Q
y
+ w
Q
z
(1-4)dQ
=
dt
t
其中，dQ/dt的名稱可以是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，名字不同，意義都是要讓讀者產(chǎn)生一種感覺(jué)，即我們是追蹤一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的。為加強(qiáng)這種感覺(jué)，通常給它一個(gè)特殊符號(hào)DQ/Dt，主要是便于記憶，而無(wú)其他意義。式(1-4)右端后三項(xiàng)稱為對(duì)流導(dǎo)數(shù)，因
Q
為，當(dāng)速度為0，或者Q沒(méi)有空間變化時(shí)，這三項(xiàng)就消失了。
項(xiàng)稱為局部導(dǎo)數(shù)。
t
注意到，式(1-4)可以寫為
Q
DQ +(V · .) Q (1-5)
=
Dt
t
其中，. 為梯度算子，展開如下：
i
x
y
+ k
z
(1-6)+ j
1.2.2 質(zhì)點(diǎn)加速度
如果Q就是V本身，可以得到第一個(gè)運(yùn)動(dòng)屬性，質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量為
V
DV DuDvDw+(V · .) V (1-7)= i + j + k=
t
Dt Dt Dt Dt
u
t
、v
t
、w
注意到，該加速度與u、v、w，以及12個(gè)標(biāo)量導(dǎo)數(shù)有關(guān)，如
空間導(dǎo)數(shù)，形如
ui
xj
，這里，i、j代表三個(gè)坐標(biāo)軸方向。
，還有
t
D/Dt 中的對(duì)流導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不幸地遇到數(shù)學(xué)上的困難，因?yàn)檫@些是關(guān)于速度變量的非線性項(xiàng)。于是，存在有限對(duì)流加速度的黏性流動(dòng)方程在數(shù)學(xué)上是非線性的，并且從解析的角度也令人頭疼，例如，即使是穩(wěn)態(tài)層流，也存在非唯一解、疊加原理不適用等問(wèn)題。需要注意的是，這些非線性項(xiàng)是加速度，不是黏性應(yīng)力。具有諷刺意味的是，黏性流動(dòng)的主要障礙竟然是一個(gè)無(wú)黏項(xiàng)，而假設(shè)黏度為常數(shù)時(shí)，黏性應(yīng)力本身反而是線性的。
假設(shè)流體無(wú)黏，即無(wú)摩擦，同時(shí)又無(wú)旋，這時(shí)，加速度項(xiàng)仍然存在，但情況會(huì)發(fā)生樂(lè)觀的轉(zhuǎn)變：
(1-8)
此時(shí)，
壓力項(xiàng)是線性的。
1.2.3 其他運(yùn)動(dòng)屬性
寫
。我們來(lái)
y = vy
圖1-1流體微團(tuán)的變形
分析這里所發(fā)生的變化。首先，由于平移運(yùn)動(dòng)，四邊形的角點(diǎn)由B點(diǎn)移到B. 點(diǎn)。其次，由于旋轉(zhuǎn)，對(duì)角線從BD變到B.D.。再次，由于膨脹，微元體變得稍微大一點(diǎn)。最后，由于剪應(yīng)變，正方形變成菱形。
下面從定量角度進(jìn)一步討論。這里為幫助理解，我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)變化率，具體如下：
ui(x+Δx). ui(x)=
ui
x
Δx =
ui
x
dx (1-9)
其中，ui表示u的任一坐標(biāo)分量。
下面進(jìn)入正題，平移由B點(diǎn)的位移量udt和vdt來(lái)表示，平移速率分別為u和v。三維情形，分別為u、v和w。
對(duì)角線BD的旋轉(zhuǎn)率為dΩz=φ+dα. 45.。注意到，2φ+dα+dβ=90.，代入前式消去φ，可得
1
dΩz=(dα. dβ)(1-10)
2
其中，下標(biāo)z表示旋轉(zhuǎn)軸平行于z軸。還可以推斷旋轉(zhuǎn)是逆時(shí)針的，因?yàn)閺膱D中觀察dα略大于dβ。下面給出dα和dβ的具體計(jì)算：
. .
. . .
.. .
. . .
.
v
x
dxdt
dx +
u
x
dxdt
v
x
dt
v
v
dα = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
1+
u
x
x
x
dt (1-11)
. .
. . .
. . .
. . .
.
u
y
dydt
dy +
v
y
dydt
u
y
dt
u
u
dβ = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
1+
v
y
y
y
dt
(1-12)
將式(1-11)和式(1-12)代入式(1-10)，可得
v
u
1dΩz/dt=(1-13)
x .
y
2
類似地，沿x和y軸的旋轉(zhuǎn)率為
1
v
1
u
w
w
dΩx/dt=dΩy/dt=(1-14)
2 y . zz . x
這剛好是角速度向量dΩ/dt的三個(gè)分量。因?yàn)橄禂?shù)12 容易令人費(fèi)解，習(xí)慣上常用一個(gè)2倍于它的量ω來(lái)表示，如下：dΩ
ω = 2 (1-15)
dt
，
2
這個(gè)新的量ω，在流體力學(xué)中是有重要物理意義的，稱為流體的渦量。將(1-13)和式(1-14)代入式(1-15)，這樣，就將速度向量與渦量構(gòu)建了關(guān)聯(lián)：ω=rotV=. × V(1-16)因此，渦量的散度為0，即divω=. · ω=div(rotV)=0(1-17)因此，純數(shù)學(xué)角度的渦向量代表無(wú)源場(chǎng)。如果ω=0，那么流動(dòng)就是無(wú)旋的。下面討論剪應(yīng)變，通常將它定義為初始兩垂線之間夾角的平均增量，如圖1-1所示，AB線和BC線為初始兩垂線，那么平均角度增量，即剪應(yīng)變率為
1.dαdβ1
v
u
(1-18)+ +
εxy=
=
x
y
2dt dt 2
類似地，另兩個(gè)剪應(yīng)變率分量分別為
εzx
=
w
+
v
z
u
w
1 1 (1-19)+
εyz
=
y
z
x
2 2
同樣，類似固體力學(xué)原理，剪應(yīng)變率是對(duì)稱的，即εij=εji。第四個(gè)也是最后一個(gè)微團(tuán)運(yùn)動(dòng)為膨脹或者拉伸應(yīng)變。同樣參考圖1-1，沿x方向的拉伸定義為微團(tuán)水平方向邊長(zhǎng)的增長(zhǎng)率：
u
x
dxdtdx +
. dx
u
εxx
dt = dt (1-20)=
x
dx
同樣可得另兩個(gè)分量，這樣，所有三個(gè)分量為
εxx
=
u
x
，
εyy
=
v
w
z
(1-21)
εzz
=
，
y
將應(yīng)變率(包括拉伸和剪切)集中到一個(gè)對(duì)稱二階張量，可寫為
εij
=
. .
.
εxxεxyεxz
εyxεyyεyz
εzxεzyεzz
. .
.
(1-22)
盡管各分量大小隨所取坐標(biāo)軸x、y、z而不同，應(yīng)變率張量與彈性體應(yīng)力張量和應(yīng)變率張量類似，遵循對(duì)稱張量的坐標(biāo)變換原理。尤其是無(wú)論坐標(biāo)軸怎么取，或
……
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