引言
明末清初,隨著西學(xué)東漸,三角知識(shí)傳入中國(guó).當(dāng)時(shí)歷法需要改革,三角學(xué)可用于歷法研究,因而得到明清學(xué)者的重視.不過(guò),它的可靠性有待證實(shí),因?yàn)槿逭邠?dān)心“暗傷王化”.由于存在中西之見(jiàn),引進(jìn)必須經(jīng)過(guò)會(huì)通,清代三角學(xué)的結(jié)構(gòu)與變遷由此限定.兩次傳入的三角知識(shí)大不一樣,兩次會(huì)通的數(shù)學(xué)結(jié)果也不一樣,值得深入研究.
關(guān)于三角學(xué)的第一次傳入與會(huì)通,學(xué)者已有大量研究,李儼等數(shù)學(xué)史前輩已做了奠基性的工作.李儼的文章“角術(shù)和三角函數(shù)表的東來(lái)”探討了三角學(xué)第一次傳入的歷史,他的另一篇文章“明清算家的割圓術(shù)研究”探討了第一次數(shù)學(xué)會(huì)通的結(jié)果.通過(guò)細(xì)心的史料整理與內(nèi)容分析,他為進(jìn)一步研究奠定了很好的基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上,其他學(xué)者繼續(xù)探討第一次傳入的三角知識(shí)及其會(huì)通結(jié)果,研究范圍逐步擴(kuò)展.梅榮照的文章“王錫闡的數(shù)學(xué)著作《園解》”分析了“園解”的方法與結(jié)果,李迪.郭世榮的《清代著名天文數(shù)學(xué)家梅文鼎》涉及梅文鼎關(guān)于三角學(xué)的會(huì)通與結(jié)果,山田慶兒的《中國(guó)古代科學(xué)史論》涉及清代學(xué)者關(guān)于“弦矢捷法”的會(huì)通與結(jié)果,筆者的《清代級(jí)數(shù)論史綱》涉及中算家關(guān)于三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的研究.同類研究工作目前已有不少,它們?yōu)楸緯?shū)提供了有用的線索.
關(guān)于三角學(xué)的第二次傳入與會(huì)通,目前的研究不多,只有個(gè)別學(xué)者進(jìn)行了有價(jià)值的探索.田淼的《中國(guó)數(shù)學(xué)的西化歷程》包括“清代末年傳入的三角學(xué)知識(shí)”,探討了“清末數(shù)學(xué)家對(duì)三角函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)’’,說(shuō)明了三角比例數(shù)取代八線概念,以及符號(hào)代數(shù)取代圖解方法的經(jīng)過(guò).《三角數(shù)理》是第二次傳入的典型的西方三角學(xué)著作,楊楠探討了它的譯本及其影響,分析了它的內(nèi)容及其傳播情況.同類的研究雖然不多,但是思路新穎,值得借鑒.
至于第一次會(huì)通的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ).第二次會(huì)通的最后結(jié)果.兩次會(huì)通引起的數(shù)學(xué)變化其意義究竟何在,均有待進(jìn)一步探討.這對(duì)了解清末學(xué)者的三角知識(shí)與特點(diǎn),了解中國(guó)數(shù)學(xué)由傳統(tǒng)向現(xiàn)代的轉(zhuǎn)變,了解近代中西思想的交流,不無(wú)裨益.
本書(shū)將探討清代三角學(xué)的數(shù)理化歷程,關(guān)鍵是基本概念與變遷,涉及中國(guó)古代的知識(shí)傳統(tǒng).兩次傳入的三角知識(shí)與會(huì)通結(jié)果.第一次數(shù)學(xué)會(huì)通立足于一定的傳統(tǒng)知識(shí),清初學(xué)者認(rèn)為三角學(xué)通于古法,譬如,勾股術(shù).割圓術(shù)與弧矢術(shù).對(duì)于它們的結(jié)構(gòu)特性.發(fā)展變化及其三角學(xué)意義,以往研究有所遺漏,有待進(jìn)一步探討,由此可以說(shuō)明古代的知識(shí)傳統(tǒng).由第一次會(huì)通引起的概念進(jìn)化及其結(jié)果,以往研究者沒(méi)有特別地關(guān)注,有待進(jìn)一步探討,由此可以說(shuō)明第二次西學(xué)東漸之前中算家的三角知識(shí)與特點(diǎn).
第二次傳入的三角知識(shí)在形式上有了較大變化,所有對(duì)象都可以符號(hào)代之,所有結(jié)果“俱能以算術(shù)核之”.關(guān)于比例數(shù)與割圓八線的區(qū)別,學(xué)者尚未展開(kāi)深入分析,仍需進(jìn)一步探討,由此可以說(shuō)明第二次會(huì)通工作的特點(diǎn).關(guān)于數(shù)理方法與代數(shù)方法的區(qū)別,學(xué)者的研究尚未涉及,有待探討,由此可以說(shuō)明第二次會(huì)通工作的范圍.數(shù)學(xué)會(huì)通方式在廢除科舉制度后發(fā)生了很大變化,這種變化的結(jié)果及其意義有待探討,由此可以說(shuō)明清末三角知識(shí)的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn).以往學(xué)者的研究沒(méi)有將三角函數(shù)與割圓八線或比例數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái),三角函數(shù)概念真正的建立與發(fā)展仍有待探討,清末三角學(xué)的結(jié)構(gòu)變化由此得到說(shuō)明.
本書(shū)的重點(diǎn)是中西概念的會(huì)通與結(jié)果,涉及古代的有關(guān)知識(shí)與傳統(tǒng),以及兩次傳入的三角知識(shí)與特點(diǎn).由于內(nèi)容廣泛,涉及大量的原始文獻(xiàn)與研究文獻(xiàn),因而材料的選擇與表達(dá)有難度.我們的基本原則是:不求面面俱到,只想說(shuō)明基本概念與變遷.相關(guān)的文獻(xiàn)資料,包括以往學(xué)者的研究工作,都要根據(jù)原文合理重建.選擇典型的原始文獻(xiàn),通過(guò)內(nèi)容分析,說(shuō)明中西數(shù)學(xué)概念的不同特點(diǎn).在此基礎(chǔ)上,通過(guò)比較分析,說(shuō)明會(huì)通前后基本概念的變化及其意義.
第一,通過(guò)分析傳統(tǒng)勾股術(shù).割圓術(shù)及弧矢術(shù)的結(jié)構(gòu)特性與發(fā)展變化,說(shuō)明有關(guān)三角學(xué)的傳統(tǒng)知識(shí)與特點(diǎn).
第二,通過(guò)分析《大測(cè)》及《測(cè)量全義》中的基本概念和方法,說(shuō)明第一次傳入的三角知識(shí)與特點(diǎn).選擇王錫闡.梅文鼎.明安圖及項(xiàng)名達(dá)等的相關(guān)著作作為典型案例,通過(guò)分析概念和方法的變化,說(shuō)明第一次會(huì)通的結(jié)果.
第三,選擇《三角數(shù)理》及《代數(shù)術(shù)》等著作,通過(guò)分析有關(guān)概念和方法,說(shuō)明第二次傳入的三角知識(shí)及其特點(diǎn).
第四,選擇《割圓術(shù)輯要》及《新三角問(wèn)題正解》等著作作為第二次會(huì)通的典型案例,通過(guò)分析概念和方法的變化,說(shuō)明清末學(xué)者的三角知識(shí)及其特點(diǎn).
第五,選擇《平面三角法》等著作,通過(guò)分析三角學(xué)的結(jié)構(gòu)與變遷,說(shuō)明全盤西化的結(jié)果.
通過(guò)引用新材料與新方法,本書(shū)得出若干新觀點(diǎn):古代的弧矢概念實(shí)質(zhì)上是物理的,相應(yīng)的結(jié)果則是近似的.本書(shū)根據(jù)原文分析,區(qū)分物理.幾何.算術(shù)與分析的概念,說(shuō)明了清代三角學(xué)的結(jié)構(gòu)與變遷,由此引出一些新觀點(diǎn).某些古法有其三角學(xué)意義,但是古代學(xué)者沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分近似關(guān)系與精確關(guān)系,原因是它們未能獨(dú)立于天文學(xué).第一次數(shù)學(xué)會(huì)通使三角學(xué)獨(dú)立于天文學(xué),物理概念進(jìn)化為幾何概念,結(jié)果是精確關(guān)系取代了近似關(guān)系.第二次西學(xué)東漸使三角學(xué)獨(dú)立于幾何學(xué),幾何概念進(jìn)化為算術(shù)概念,特殊關(guān)系被一般關(guān)系所取代.三角函數(shù)概念并不是第二次會(huì)通的結(jié)果,而是全盤西化的結(jié)果,全盤西化則是第二次會(huì)通的最后結(jié)果.清末學(xué)者引進(jìn)了“三角函數(shù)”,然而有名無(wú)實(shí),全盤西化之前函數(shù)概念并未真正建立起來(lái).科舉制度廢除以后三角學(xué)全盤西化,基本概念進(jìn)化為三角函數(shù),三角級(jí)數(shù)論走向現(xiàn)代函數(shù)論.上述觀點(diǎn)得到了新材料的支持,如盧靖(1855.1948)的《割圓術(shù)輯要》.長(zhǎng)澤氏的《三角法公式》及陳文的《平面三角法》,它們?cè)谶@里被初次探討.
古代的學(xué)者未能分辨物理的弧矢與幾何的弧矢,由于西學(xué)東漸,弧矢概念幾何化,最終實(shí)現(xiàn)數(shù)理化.幾何化說(shuō)明了清代割圓術(shù)的興衰,物理概念幾何化使清代割圓術(shù)獲得空前發(fā)展,進(jìn)一步幾何化則使基本概念獨(dú)立于割圓術(shù),最終被歐氏幾何之理取而代之.三角學(xué)的數(shù)理化包括代數(shù)化與分析化,代數(shù)化過(guò)程涉及代數(shù)之常法與純形式定義,分析內(nèi)容涉及無(wú)窮級(jí)數(shù)與正交函數(shù).晚清學(xué)者未能分辨幾何.算術(shù)與分析的概念,以為三角函數(shù)即八線.他們接受了代數(shù)之常法,但拒絕了純形式定義,未能完成代數(shù)化.至于無(wú)窮級(jí)數(shù)與正交函數(shù),由于未能有效地利用微積分,他們不可能實(shí)現(xiàn)分析化.無(wú)論如何,由于受到日本數(shù)學(xué)的影響,清末學(xué)者的平面三角學(xué)最終全盤西化.
從形式的觀點(diǎn)看,三角學(xué)可由二項(xiàng)式導(dǎo)出,基本概念可依歐拉公式定義.晚清三角學(xué)背道而馳,數(shù)理概念幾何化,西法歸入割圓術(shù).清代學(xué)者曾有機(jī)會(huì)獨(dú)立完成數(shù)理化,然而古代的形式主義傳統(tǒng)似乎被忘卻了,何以至此值得深思.
第一章古代的知識(shí)傳統(tǒng)
清初學(xué)者認(rèn)為,三角學(xué)通于古法,甚至覺(jué)得古法更為基本.由此導(dǎo)致了截然不同的兩種結(jié)果:一些學(xué)者嘗試會(huì)通中西,以便“補(bǔ)益王化”;另一些學(xué)者則極力維護(hù)傳統(tǒng),以免破壞古法固有的和諧關(guān)系.前者引進(jìn)新概念.新方法,使三角學(xué)獨(dú)立于天文學(xué),最終以精確結(jié)果取代了近似結(jié)果;后者沒(méi)有對(duì)近似關(guān)系與精確關(guān)系作出區(qū)分,由于受到知識(shí)傳統(tǒng)的制約,他們拒絕了無(wú)窮的概念,因而無(wú)法使三角學(xué)獨(dú)立于天文學(xué).
第一節(jié)有關(guān)概念
梅文鼎(1633.1721)認(rèn)為,中西數(shù)學(xué)的原理是一致的,因?yàn)橹形鳌肮泊饕惶臁?數(shù)學(xué)的天是自然的天,自然的天沒(méi)有中西之別.中西相隔雖數(shù)萬(wàn)里,但數(shù)學(xué)原理不容不合.所以三角學(xué)通于古法,譬如,勾股術(shù).割圓術(shù)與弧矢術(shù).
一.勾股術(shù)
傳統(tǒng)勾股術(shù)包括勾股算術(shù).勾股容方與容圓.整勾股數(shù)等問(wèn)題,涉及勾股恒等式.內(nèi)接正方形邊長(zhǎng).內(nèi)切圓直徑和不定方程的整數(shù)解,皆與不失本率原理有關(guān).不失本率原理是算術(shù)的,由于古人將其用于解決勾股問(wèn)題獲得成功,后人便以為它是幾何的,并舉“冪圖”為證.
在清代三角學(xué)概念的進(jìn)化過(guò)程中,作為傳統(tǒng)勾股術(shù)的一個(gè)典型方面,勾股算術(shù)曾經(jīng)起到過(guò)特殊的作用.這不僅因?yàn)椤叭�角即勾股之變通�?更為重要的是,中算家在古代的傳統(tǒng)中找到了勾股算術(shù)的形式基礎(chǔ).人們由此感到西算沒(méi)有那么危險(xiǎn),于是加快了三角學(xué)的形式化步伐,雖然直到20世紀(jì)以前,該進(jìn)程并未真正完成.
勾股算術(shù)起源于和較相求問(wèn)題,問(wèn)題取決于勾股恒等式轉(zhuǎn)而依賴更為基本的關(guān)系,但是長(zhǎng)期以來(lái)被幾何解釋所掩蓋.從形式的觀點(diǎn)看,勾股恒等式完全取決于算術(shù)關(guān)系
古代學(xué)者曾以不同的形式引用過(guò)這些結(jié)果,但是清代以前它們未能成為勾股算術(shù)的基礎(chǔ),這是算術(shù)依賴于幾何的結(jié)果.
根據(jù)古代的觀點(diǎn),(3)是由磬折形與矩形的關(guān)系所確立的:
勾實(shí)之矩以股弦差為廣.股弦并為袤,而股實(shí)方其里.……股實(shí)之矩以勾弦差為廣.勾弦并為袤,而勾實(shí)方其里.[1]
這里0(a+b-c)2=2(c-a)(c-b), (4)
它是由(3)所確立的,但幾何解釋掩蓋了因式分解過(guò)程.后來(lái),徐光啟(1562.1633)給出(3)的另外一種幾何解釋
a2=c2-b2=b(c-b)+c(c-b)=(c-b)(c+b),
其中0至于(1).(2),它們的幾何意義如此顯然,以至于沒(méi)人感到它們還需要證明,直到西學(xué)東漸.《九章算術(shù)》“少?gòu)V”章涉及數(shù)字多項(xiàng)式
其項(xiàng)數(shù)可以任意多,而次數(shù)不難推廣到“諸乘方”.開(kāi)方術(shù)是把多項(xiàng)式的展開(kāi)作為二項(xiàng)式的多次展開(kāi),例如,“今有積五萬(wàn)五千二百二十五步,問(wèn)為方幾何”,答案由
(x1+x2+x3)2=xj2+2x1(x2+x3)+(x2+x3)2
=xj2+x^+x^+2xjx2+2x2x3+2x3xj
確定,這與(2)完全一致.
楊輝(13世紀(jì))的《乘除通變算寶》以數(shù)值形式給出(1),他稱之為“連身加法”.譬如,“銅二十九砣,每砣二十三斤,問(wèn)重幾何”,結(jié)果是
(9+20)(3+20)=9x3+9x20+20x3+20x20.
隨著西學(xué)東漸,徐光啟給出了(1).(2)的一般性證明:
兩和相乘為乙巳直角形,倍之為丁戊直角形.以為實(shí)平方開(kāi)之,得巳庚直角方形與丁戊等,即其邊為弦和和者.何也.丁戊全形內(nèi)有弦冪二,股弦矩內(nèi)形.勾弦矩內(nèi)形.勾股矩內(nèi)形各二.與巳庚全形內(nèi)諸形比,各等.
獨(dú)丁戊形內(nèi)余一弦冪,巳庚形內(nèi)余一勾冪.一股冪.并二較一亦等,即巳庚方形之各邊皆弦和和.[2]
2(a+c)(b+c)=2[ab+(a+b)c+c2]
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2. ⑶
古代的數(shù)值結(jié)果由此得以一般化,但仍要求0由于未能擺脫幾何直觀,明末清初的學(xué)者不可能將(1).(2)及(3)完全一般化.不過(guò),通過(guò)(3)的推廣使用,梅文鼎得到
(a+b)2-c2=(a+b-c)(a+b+c),c—(b—a)=(c—b+a)(c+b—a).
由古代的弦圖,有
(a+b)2—c2=c2—(b—a)2=2ab,
于是
(a+b—c)(a+b+c)
=(c—b+a)(c+b—a)=2ab. (6)
梅文鼎認(rèn)為,(6)說(shuō)明了勾股算術(shù)的“立法之根”,并稱“其理皆具古圖中”,將合理性歸之于面積變換.
一個(gè)世紀(jì)后,項(xiàng)名達(dá)(1789.1850)在比例關(guān)系中找到了勾股算術(shù)的基礎(chǔ),變化是由數(shù)學(xué)會(huì)通引起的.他發(fā)現(xiàn),勾股恒等式雖然可用面積關(guān)系來(lái)解釋,但卻并不依賴于這樣的解釋.對(duì)于因式分解公式,西算給出了不同的解釋,(3)被歸結(jié)為相似勾股形的比例關(guān)系.根據(jù)《幾何原本》,在勾股形中如果由直角向弦作垂線,則與垂線相鄰的兩個(gè)勾股形相似,故垂線為弦上兩段的比例中項(xiàng).[3]這種解釋后來(lái)被中算家收入《數(shù)理精蘊(yùn)》,同時(shí)還收入了西算的種種“和較比例”,包括合比.分比及合分比等基本關(guān)系.很可能由此得到啟發(fā),項(xiàng)名達(dá)將(3)作為勾股算術(shù)的立法之根,并釋之以三率連比例
(c—b):a=a(c+b). (7)
根據(jù)比例的性質(zhì),“凡有比例加減之,其和較亦可互相比例”.因此,由(7)可以“另生比例”導(dǎo)出其他勾股恒等式,而“諸術(shù)開(kāi)方之所以然,遂于是得”.比例關(guān)系(7)仍出于幾何的思考,勾股算術(shù)仍然需要這樣一個(gè)幾何基礎(chǔ).但是在此基礎(chǔ)上建立的其他勾股恒等式,則為純粹的算術(shù)關(guān)系,項(xiàng)名達(dá)的形式化工作已很接近現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn).由