第1 章緒論
現(xiàn)在大學(xué)正在嘗試開設(shè)一門新課程——新生研討課.這門課程的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí),為將來從事科學(xué)研究和更進(jìn)一步的深入研究、探討打下堅實(shí)的基礎(chǔ).因此在緒論中我們首先介紹新生研討課的特點(diǎn)和要求,其次介紹探究式學(xué)習(xí)的基本方法和一般理論,最后介紹數(shù)學(xué)學(xué)科的一些重要特點(diǎn)以及大學(xué)與中學(xué)的重要區(qū)別.
1.1 新生研討課的特點(diǎn)
新生研討課是為大學(xué)一年級剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生開設(shè)的,旨在引導(dǎo)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的一門課程.具體地說,本課程旨在使新生了解所學(xué)專業(yè),激發(fā)其求知欲、好奇心和研究興趣,培養(yǎng)其積極思考、討論和探究式學(xué)習(xí)的習(xí)慣,逐步形成創(chuàng)新思維能力,感受教授治學(xué)風(fēng)范,營造學(xué)術(shù)氛圍,引導(dǎo)構(gòu)建探索為本的新生研討課,促進(jìn)課程教學(xué)改革.目前,各個大學(xué)都在嘗試探索,暫無統(tǒng)一的教學(xué)計劃.根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),新生研討課具有以下特點(diǎn).
1.1.1 學(xué)習(xí)方式不太固定,但有發(fā)散式的思維
學(xué)習(xí)方式不太固定,但需要發(fā)散式的思維,學(xué)習(xí)與科學(xué)研究緊密結(jié)合,本書以引導(dǎo)學(xué)生探索和研究為目的,強(qiáng)調(diào)師生互動和學(xué)生自我學(xué)習(xí),養(yǎng)成探究式學(xué)習(xí)的習(xí)慣,激發(fā)學(xué)生的探究式學(xué)習(xí)興趣和追求奮發(fā)向上的拼搏進(jìn)取精神;在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)并提出一些問題,探討研究一些問題,回答解決一些問題,帶走留下一些問題;積極開展合作討論研究,參與科學(xué)研究,了解追求科研的探索過程,為今后開展高層次探究式學(xué)習(xí)、研究和鉆研探索打下堅實(shí)的基礎(chǔ).
1.1.2 課程內(nèi)容不太固定,但有豐富的資源
課程內(nèi)容不太固定,但有豐富的資源,既有經(jīng)典的內(nèi)容,也有追蹤前沿研究問題,鼓勵交叉學(xué)科問題的探討,引導(dǎo)學(xué)生從中學(xué)知識出發(fā),很快走向現(xiàn)代國際前沿問題的研究探討.
例如,新生入學(xué)后比較迷茫,自然會思考大學(xué)和中學(xué)有什么不同？來大學(xué)干什么？很多同學(xué)不清楚大學(xué)的特點(diǎn),以致高中時非常優(yōu)秀的學(xué)生到了大學(xué)后跟不上學(xué)習(xí)的要求,導(dǎo)致退學(xué)等現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生.新生研討課應(yīng)該解決這個問題,其中包括大學(xué)文化、專業(yè)導(dǎo)航、經(jīng)歷認(rèn)知、學(xué)習(xí)方法淺談、體會研究、引導(dǎo)互動等.如何學(xué)知識長文化？應(yīng)該讀什么書？學(xué)科的名著(含名教材)、著名文章(著名雜志)是什么？數(shù)學(xué)是什么？從數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)學(xué)派以及數(shù)學(xué)文化等培養(yǎng)廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科興趣和愛好,開闊視野,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)和研究興趣以及創(chuàng)新意識[1,3,4.7]. 
此外,如何進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)或探究式學(xué)習(xí)？一些研究性學(xué)習(xí)專題選講構(gòu)成了本課程的主要內(nèi)容.鑒于本科生剛?cè)雽W(xué),沒有高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),我們以基本的“不等式及其應(yīng)用”專題選講作為主要內(nèi)容來介紹研究性學(xué)習(xí)的基本過程和方法,建立中學(xué)知識和大學(xué)知識的銜接,逐漸引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)探討大學(xué)數(shù)學(xué)中基本的不等式,追求高等數(shù)學(xué)的知識,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)課程的學(xué)習(xí),帶領(lǐng)學(xué)生開展科學(xué)的研究.
1.1.3 授課方式不太固定,但有明確的教學(xué)安排
授課方式不太固定,但有明確的教學(xué)安排,既有教師講授,也有學(xué)生的分組總結(jié)和講解,鼓勵學(xué)生課堂上積極發(fā)言,提出問題討論或反駁,進(jìn)行探索和研究.在探索和研究的教學(xué)過程中,激發(fā)學(xué)生的探索意識、求知欲、好奇心和學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的認(rèn)知能力和創(chuàng)新思維的能力.
1.1.4 無傳統(tǒng)的考試考核,但有學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力的考核
不采用傳統(tǒng)的考試考核方式,但要考查學(xué)生探究式學(xué)習(xí)的能力和探索未知的創(chuàng)新能力,包括資料的收集和閱讀能力、視野的開拓能力、與同學(xué)和老師的合作與交流能力、看問題的反應(yīng)能力、批判性的思考能力和反駁能力、課堂的講解交流表達(dá)能力,以及解決問題等綜合素質(zhì)和能力.
1.2 新生研討課的要求
學(xué)生講授部分的要求：分組配發(fā)材料,看材料,查找文獻(xiàn),掌握概念,想問題,合作探討研究,提出問題,產(chǎn)生創(chuàng)意,學(xué)知識,寫出總結(jié),分組總結(jié)和講解,同組或其他小組提問或反駁,探討問題,特別要鼓勵同學(xué)們在課堂上提出問題并討論.
4個到5個學(xué)生一組,每組就參考教材、教師分發(fā)的材料或教師布置材料的相關(guān)內(nèi)容中,針對某一問題或內(nèi)容研討學(xué)習(xí)后在課堂上演講.例如,以一個不等式內(nèi)容為例,學(xué)生研究講解內(nèi)容包含:一個選題的引言,如為什么選擇這個不等式？這個不等式的產(chǎn)生歷史背景等;提出和陳述問題,自己給出將探索研究的問題的形式,如定理或結(jié)論;證明該結(jié)論,使用不同的方法給出定理或結(jié)論的證明;思考研究問題,給出問題的應(yīng)用或推廣.
學(xué)生講解具體要求如下：
(1)4人到5人一組,自愿結(jié)合(分組定出組員名單).
1.3 探究式學(xué)習(xí)的基本方法3 


(2)每組撰寫一份探究式學(xué)習(xí)報告,內(nèi)容范圍一般為某個專題,如不等式及其應(yīng)用,專題可以自選內(nèi)容,也可以在指定的參考教材如《不等式及其應(yīng)用》[2,8]中,選擇適當(dāng)內(nèi)容,仔細(xì)閱讀,研究探討,查找相關(guān)資料,撰寫探究式學(xué)習(xí)報告,形成課堂講授教案,如,從中學(xué)的不等式出發(fā),探究一些不等式的發(fā)展史和建立這些不等式的數(shù)學(xué)家的事跡,探究這些不等式的各種形式,多種證明方法以及它們在高等數(shù)學(xué)中新的形式及其應(yīng)用.


(3)每個小組做好電子版講義到課堂講解,要求每組中每人講解10分鐘,每組提出2個到3個需要討論的問題,讓大家一起討論;學(xué)生或老師進(jìn)行課堂總結(jié),提出新的問題留給學(xué)生研究.




考試可以采用考察的方式或計分的方式,考試計分可以按照如下方式計分：學(xué)生研究性學(xué)習(xí)報告占50%,課堂講授和討論發(fā)言占30%,練習(xí)2次占20%.
學(xué)生探究式學(xué)習(xí)報告是指學(xué)生針對教師和學(xué)生共同商討的學(xué)習(xí)研討資料而撰寫的專題研究性報告.探究式學(xué)習(xí)報告的撰寫格式要求,包括題目、摘要、關(guān)鍵詞、正文和參考文獻(xiàn)等.
1.3 探究式學(xué)習(xí)的基本方法
探究式學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點(diǎn)是激發(fā)學(xué)生的求知欲、好奇心和研究興趣,培養(yǎng)其積極思考、討論和探究式學(xué)習(xí)的習(xí)慣,為將來從事科學(xué)研究打下堅實(shí)的基礎(chǔ).因此,方法的學(xué)習(xí)或想法的啟發(fā)引導(dǎo)、刨根問底和打破砂鍋問到底的訓(xùn)練、發(fā)散式思維或爆發(fā)式思維的培訓(xùn)等都是新生研討課程永恒的主題！特別地,探究式學(xué)習(xí)的基本過程和方法包括以下幾點(diǎn):
(1)當(dāng)我們遇到問題時,應(yīng)該干什么或如何下手？如何想問題或者思考問題？從什么角度解決這個問題？
什么是成功和失敗？成功就是嘗試的辦法行得通,克服了困難,找到了解決問題的辦法;失敗就是嘗試的辦法行不通,在嘗試的過程中允許失敗,事實(shí)上,很多成功都建立在無窮次的失敗之上,失敗是成功之母.經(jīng)過不斷的失敗,不斷地總結(jié)失敗的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),修改失敗的方法經(jīng)驗(yàn),尋找失敗的原因,最后找出解決問題的辦法.
嘗試一些辦法碰碰運(yùn)氣,或者失敗或者成功,這是我們遇到問題時首先應(yīng)該能預(yù)料到的事情.
(2) 當(dāng)找到一個解決問題的辦法時, 我們應(yīng)該怎么做？
應(yīng)該考慮我們是否能找到一些其他辦法來重新解決這個問題.這是我們鉆研探究問題的一個重要環(huán)節(jié)！
(3) 當(dāng)解決問題后, 我們應(yīng)該怎么做？
應(yīng)該及時總結(jié),回顧解決問題的整個過程,能明白為什么成功了？有哪些經(jīng)驗(yàn)和觀念值得我們記下來,這些經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展是否有貢獻(xiàn)？
這是我們鉆研探究問題的一個重要過程,對于更進(jìn)一步的深層次探討研究是至關(guān)重要的.
我們將以不等式及其應(yīng)用專題選講來介紹探究式學(xué)習(xí)的基本方法和規(guī)律,介紹教與學(xué)的一般規(guī)律.
本書中的不等式及其應(yīng)用專題探究式學(xué)習(xí)報告,將從中學(xué)數(shù)學(xué)課程中基本的初等不等式出發(fā),導(dǎo)出大學(xué)數(shù)學(xué)中的一些重要不等式,探討這些不等式在偏微分方程、計算數(shù)學(xué)、概率論和組合數(shù)學(xué)等研究領(lǐng)域的應(yīng)用.這些不等式包含完全平方、絕對值和均值等初等不等式,Cauchy不等式、Young不等式、Jensen不等式、冪平均不等式、伯努利不等式等大學(xué)數(shù)學(xué)中的重要不等式.這些內(nèi)容為將來學(xué)習(xí)H¨older不等式、Minkowski不等式、Poincar′e不等式、Hardy不等式等高等不等式打下堅實(shí)的基礎(chǔ).主要的內(nèi)容和要求是探討這些不等式的初等幾何和高等證明,研究這些不等式在一些學(xué)科研究領(lǐng)域的應(yīng)用,并了解建立這些不等式的偉人事跡及其背后的故事.本書與其他教材最大的不同之處,在于采用了啟發(fā)研討式撰寫方式,教會學(xué)生怎么學(xué)習(xí)和研究.
本書在數(shù)學(xué)文化部分告訴學(xué)生什么是數(shù)學(xué)、什么是數(shù)學(xué)修養(yǎng),以及數(shù)學(xué)家如何跌倒、如何在迷茫中摸索前行、如何從支零破碎中得到他們的成果,能使從事研究工作的新手鼓起勇氣.
應(yīng)該指出,研究成果尤其是基礎(chǔ)理論研究成果的取得,需要經(jīng)歷一個非常艱難而又漫長的道路,而且在取得創(chuàng)造性成果的過程中需要斗爭、掙扎,需要經(jīng)歷無數(shù)次挫折和磨煉,甚至在這個過程中,可能幾乎沒有收獲(包括物質(zhì)上的收獲),或者說這個過程完全是一個為理想和興趣而奮斗的過程.當(dāng)然,社會會永遠(yuǎn)記住你為它作出的貢獻(xiàn),包括提供物質(zhì)上和精神上的支持.學(xué)生一旦認(rèn)識到這一點(diǎn),他不但可以獲得真知灼見,還將獲得頑強(qiáng)地追逐他要解決問題的勇氣,并且不會因?yàn)樽约旱墓ぷ鞑⒎峭昝罒o缺而感到頹廢,就會以克服困難為興趣而工作！
1.4 數(shù)學(xué)學(xué)科與數(shù)學(xué)專業(yè)簡介
1.4.1 數(shù)學(xué)一級學(xué)科簡介
數(shù)學(xué)起源于遠(yuǎn)古時期人類生產(chǎn)、獲取、分配、交易等活動中的計數(shù)、觀測、丈量等需求,并很早就成為研究天文、航海、力學(xué)的有力工具.17世紀(jì)以來,物理學(xué)、力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展和工業(yè)技術(shù)的崛起,與數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展形成了強(qiáng)有力的相互推動.到19世紀(jì),已形成了分析、幾何、數(shù)論和代數(shù)等分支,概率已成為數(shù)學(xué)的研究對象,
1.4 數(shù)學(xué)學(xué)科與數(shù)學(xué)專業(yè)簡介5 


形式邏輯也逐步數(shù)學(xué)化.與此同時,在天體力學(xué)、彈性力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)和統(tǒng)計物理中,數(shù)學(xué)成為不可缺少的定性描述語言和定量研究工具[9]. 
20世紀(jì)中,數(shù)學(xué)科學(xué)的迅猛發(fā)展,進(jìn)一步確立了它在整個科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中的基礎(chǔ)和主導(dǎo)地位,并形成了當(dāng)代數(shù)學(xué)的三個主要特征：數(shù)學(xué)內(nèi)部各學(xué)科高度發(fā)展和相互之間不斷交叉、融合的趨勢;數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域中空前廣泛的滲透和應(yīng)用;數(shù)學(xué)與信息科學(xué)技術(shù)之間巨大的相互促進(jìn)作用.
數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)一直以來有著密切聯(lián)系,在20世紀(jì)中葉以后更是達(dá)到了新的高度.第二次世界大戰(zhàn)期間,數(shù)學(xué)在高速飛行、核武器設(shè)計、火炮控制、物資調(diào)運(yùn)、密碼破譯和軍事運(yùn)籌等方面發(fā)揮了重大的作用,并涌現(xiàn)了一批新的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科.其后,電子計算機(jī)的迅速發(fā)展和普及,特別是數(shù)字化的發(fā)展,使數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍更為廣闊,在幾乎所有的學(xué)科和部門中得到了應(yīng)用.數(shù)學(xué)技術(shù)已成為高技術(shù)中的一個極為重要的組成部分和思想庫.此外,數(shù)學(xué)在向外滲透的過程中,與其他學(xué)科交叉,形成了諸如計算機(jī)科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、模糊數(shù)學(xué)、智能計算(其中相當(dāng)部分也被稱為軟計算)、智能信息處理、金融數(shù)學(xué)、生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)等一批新的交叉學(xué)科.
在21世紀(jì),科學(xué)技術(shù)的突破日益依賴學(xué)科界限的打破和相互滲透,學(xué)科交叉已成為科技發(fā)展的顯著特征和前沿趨勢,數(shù)學(xué)也不例外.數(shù)學(xué)的各個學(xué)科分支之間交叉融合;數(shù)學(xué)與其他學(xué)科互相影響滲透.隨著實(shí)驗(yàn)、觀測、計算和模擬技術(shù)與手段的不斷進(jìn)步,數(shù)學(xué)作為定量研究的關(guān)鍵基礎(chǔ)和有力工具,數(shù)學(xué)在復(fù)雜系統(tǒng)研究和相關(guān)學(xué)科的交叉融合中起到不可替代的重要作用,在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的發(fā)展研究中發(fā)揮著日益重要的作用.
數(shù)學(xué)是以形式化、嚴(yán)密化的邏輯推理方式,研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系、空間形式及其運(yùn)動、變化,以及更為一般的關(guān)系、結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)、模式等邏輯上可能的形態(tài)及其變化、擴(kuò)展.數(shù)學(xué)的主要研究方法是邏輯推理,包括演繹推理與歸納推理.演繹推理是從一般性質(zhì)對特定對象導(dǎo)出特定性質(zhì),歸納推理是從若干個個別對象的個別性質(zhì)導(dǎo)出一般性質(zhì).
由于數(shù)量關(guān)系、空間形式及其變化是許多學(xué)科研究對象的基本性質(zhì),數(shù)學(xué)作為這些基本性質(zhì)的嚴(yán)密表現(xiàn)形式,成為一種精確的科學(xué)語言,成為許多學(xué)科的基礎(chǔ).20世紀(jì),一方面,出現(xiàn)了一批新的數(shù)學(xué)學(xué)科分支,如泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)理邏輯等,創(chuàng)造出新的研究手段,擴(kuò)大了研究對象,使學(xué)科呈現(xiàn)出抽象程度越來越高、分化越來越細(xì)的特點(diǎn);另一方面,尤其是近二三十年來,不同分支學(xué)科的數(shù)學(xué)思想和方法相互交融滲透,許多高度抽象的概念、結(jié)構(gòu)和理論,不僅成為數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系的紐帶,也已越來越多地成為科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域廣泛適用的語言.
作為20世紀(jì)中影響最為深遠(yuǎn)的科技成就之一,電子計算機(jī)的發(fā)明,本身也已充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)成果對人類文明的輝煌貢獻(xiàn).從計算機(jī)的發(fā)明直到其最新的進(jìn)展,數(shù)學(xué)都在起著關(guān)鍵性的作用;同時,在計算機(jī)的設(shè)計、制造、改進(jìn)和使用過程中,也向數(shù)學(xué)提出了大量帶有挑戰(zhàn)性的問題,推動著數(shù)學(xué)本身的發(fā)展.計算機(jī)和軟件技術(shù)已成為數(shù)學(xué)研究新的強(qiáng)大手段,其飛速進(jìn)步正在改變傳統(tǒng)意義下的數(shù)學(xué)研究模式,并將為數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來難以預(yù)料的深刻變化.數(shù)值模擬、理論分析和科學(xué)實(shí)驗(yàn)鼎足而立,已成為當(dāng)代科學(xué)研究的三大支柱.
數(shù)學(xué)作為一種文化,是人類文明的重要基礎(chǔ),它的產(chǎn)生和發(fā)展在人類文明的進(jìn)程中起著重要的推動作用.數(shù)學(xué)作為最為嚴(yán)密的一種理性思維方式,對提高理性思維的能力具有重要的意義和作用.
數(shù)學(xué)與下列一級學(xué)科密切相關(guān)：信息與通信工程、控制科學(xué)與工程、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、力學(xué)、社會經(jīng)濟(jì)學(xué)、公共衛(wèi)生與預(yù)防醫(yī)學(xué)、藥學(xué)、軍事裝備學(xué)、管理科學(xué)與工程、科學(xué)技術(shù)史、教育學(xué)、心理學(xué)等. 
1.4.2 數(shù)學(xué)學(xué)科研究方向與專業(yè)簡介
數(shù)學(xué)科學(xué)按其內(nèi)容可分成五個大學(xué)科：
(1)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)(puremathematics);


(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)(appliedmathematics);


(3)計算數(shù)學(xué)(computationalmathematics);


(4)運(yùn)籌學(xué)與控制論(operationalresearchandcontrol);


(5)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(probabilityandmathematicsstatistics).




國務(wù)院學(xué)科分類號：07理學(xué);一級學(xué)科：0701數(shù)學(xué);二級學(xué)科：070101基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、070102計算數(shù)學(xué)、070103概率論與數(shù)理統(tǒng)計、070104應(yīng)用數(shù)學(xué)、070105運(yùn)籌學(xué)與控制論.
數(shù)學(xué)自身特色鮮明,自成體系,作為一級學(xué)科的數(shù)學(xué)是一個范圍廣闊、分支眾多、應(yīng)用廣泛的科學(xué)體系,已構(gòu)成包括基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論、數(shù)學(xué)教育這6個研究方向.
1. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)又稱為純粹數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)的核心.它的思想、方法和結(jié)論是整個數(shù)學(xué)科學(xué)的基礎(chǔ),是自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)等方面的思想庫.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)包含數(shù)理邏輯、數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、泛函分析、微分方程等眾多的分支學(xué)科,并且還在源源不斷地產(chǎn)生新的研究領(lǐng)域,范圍異常廣泛,總體而言,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了一般意義下的一個“研究方向”的研究范疇.
2. 計算數(shù)學(xué)
計算數(shù)學(xué)是研究對科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值求解,特別是電子計算