目錄

第1章 緒論——縱觀古今，面向未來
§1 數(shù)學(xué)的重要性
1.數(shù)學(xué)與對知識的探求
2.數(shù)學(xué)的重要性
3.兩種文化的融合
4.指導(dǎo)思想
§2 數(shù)學(xué)史上的關(guān)鍵時期
1.五個質(zhì)不同的時期
2.四個高峰期
3.七次飛躍
§3 數(shù)學(xué)的特點與教育價值
1.數(shù)學(xué)的特點
2.數(shù)學(xué)的教育價值
§4如何學(xué)
1.鑒賞力
2.致廣大而盡精微
3.澄其源而清其流
4.循序漸進(jìn)
5.笛卡兒的方法論
6.以簡馭繁
7.從師、讀書與討論
8.驗證與總結(jié)
9.刻苦努力——不受一番冰霜苦，哪有梅花放清香
第2 章數(shù)學(xué)文化的源頭
§1 數(shù)學(xué)文化的源頭
§2 希臘人的哲學(xué)觀及其影響
1.數(shù)學(xué)的真理性
2.柏拉圖與亞里士多德
3.柏拉圖、亞里士多德與西方文化
§3 古代希臘的天文學(xué)
1.早期的地心說
2.日心說的提出
3.第一次科學(xué)大綜合
§4 從經(jīng)驗數(shù)學(xué)到演繹數(shù)學(xué)
1.經(jīng)驗數(shù)學(xué)
2.希臘人對數(shù)學(xué)思想的貢獻(xiàn)
3.演繹幾何的誕生
§5 演繹數(shù)學(xué)
1.演繹法的結(jié)構(gòu)
2.演繹推理的地位
3.合情推理與論證推理
§6 希臘數(shù)學(xué)的重要成果
1.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)
2.正多邊形作圖
3.圓錐曲線
4.阿基米德的數(shù)學(xué)成就
5.三角術(shù)的創(chuàng)立
§7 留給后人的難題
1.關(guān)于無理數(shù)
2.幾何作圖三大問題
第3 章現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)端
§1 科學(xué)方法
1.培根與歸納法
2.笛卡兒與演繹法
3.歸納法與演繹法
4.伽利略的科學(xué)規(guī)劃
5.三大要素
§2 科學(xué)的數(shù)學(xué)化
1.宇宙的和諧
2.近代科學(xué)的黎明——哥白尼革命
3.哥白尼體系的真理性
§3 天體力學(xué)的誕生
1.開普勒的三定律
2.開普勒的天文學(xué)與正多面體
§4 牛頓力學(xué)的建立 
1.牛頓面臨的問題
2.蘋果﹑月亮和萬有引力
3.奇妙的預(yù)測
第4章 繪畫藝術(shù)與幾何學(xué)
§1 科學(xué)與藝術(shù)
1.美與真
2.異同比較
3.相互依存
§2 繪畫與數(shù)學(xué)
1.繪畫與科學(xué)
2.新的時代，新的藝術(shù)
3.引入第三維
4.數(shù)學(xué)的引入
5.藝術(shù)家丟勒
6.數(shù)學(xué)定理
7.從藝術(shù)中誕生的科學(xué)
§3 完美的結(jié)合，藝術(shù)的頂峰
1.文藝復(fù)興早期的繪畫
2.盛期文藝復(fù)興三杰
3.風(fēng)景畫
第5章 數(shù)的擴(kuò)充史
§1 數(shù)的基本知識
1.兩種知識
2.數(shù)的用途
3.五個主要階段
4.十進(jìn)位制
5.印度—阿拉伯記數(shù)法
6.數(shù)的幾何表示——數(shù)軸與復(fù)平面
§2 關(guān)鍵進(jìn)展
1.新的語言
2.無理數(shù)的誕生
3.0的發(fā)現(xiàn)
4.負(fù)數(shù)的引入
5.數(shù)與代數(shù)方程
6.復(fù)數(shù)
7.代數(shù)數(shù)與超越數(shù)
8.希爾伯特第七問題
§3 新的數(shù)系
1.四元數(shù)的誕生
2.四元數(shù)的性質(zhì)
3.矩陣
4.超限數(shù)
§4 可數(shù)集
1.勢的概念
2.有理數(shù)集是可數(shù)的
§5 數(shù)系的公理化
1.皮亞諾的五條公理
2.有理數(shù)的定義
3.有理數(shù)的兩條重要性質(zhì)
4.實數(shù)的定義
第6章 解析幾何概要
§1 兩個基本概念
1.解析幾何的誕生
2.兩個基本概念
§2 圓錐曲線
1.希臘數(shù)學(xué)的頂峰
2.橢圓、雙曲線、拋物線
3.二次曲線的光學(xué)性質(zhì)
4.觀測宇宙
§3 化二次方程為標(biāo)準(zhǔn)形
1.9種標(biāo)準(zhǔn)形
2.坐標(biāo)變換
3.化二次方程為標(biāo)準(zhǔn)形
§4 向量代數(shù)
1.向量 
2.向量的加減法與數(shù)乘
3.向量的坐標(biāo)表示
4.數(shù)量積和它的性質(zhì)
§5應(yīng)用與意義
1.解析幾何解決的主要問題
2.解析幾何的偉大意義
第7 章微積分發(fā)展史
引言
1.目的
2.概觀
3.分期
§1 希臘時期
1.數(shù)的學(xué)問
2.芝諾的四個悖論
3.歐多克蘇斯和比例
4.面積與窮竭法
5.阿基米德的平衡法
§2 醞釀時期
1.方法的變革
2.開普勒的工作
3.不可分素方法
4.微分學(xué)的早期史
5.巴羅的貢獻(xiàn)
6.前期史小結(jié)
§3 誕生和發(fā)展時期
1.發(fā)現(xiàn)和洞見
2.牛頓對微積分的主要貢獻(xiàn)
3.萊布尼茨對微積分的主要貢獻(xiàn)
4.18世紀(jì)的進(jìn)展
5.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
6.待解決的問題
§4 嚴(yán)格化時期
1.函數(shù)概念
2.布爾查諾的貢獻(xiàn)
3.柯西的工作
4.分析的算術(shù)化
第8章 傅里葉分析與音樂
§1 音律的確定
1.引言
2.古希臘音律的確定
3.古代中國對音律的貢獻(xiàn)
4.十二平均律
§2 數(shù)學(xué)與音樂的進(jìn)一步聯(lián)系
1.梅森的定律
2.偉大的傅里葉
3.簡諧振動
4.彈簧的振動
5.傅里葉定理
6.大自然的統(tǒng)一性
7.麥克斯韋的功績
8.小結(jié)
第9章 非歐幾何的誕生及影響
§1 歐氏幾何回顧
1.歐氏幾何的內(nèi)容
2.歐氏幾何的歷史地位
3.《幾何原本》在中國
§2 非歐幾何的緣起
1.平行公設(shè)引起的思考
2.從《幾何原本》的誕生到18世紀(jì)
3.非歐幾何的孕育時期
§3 非歐幾何的確立
1.非歐幾何的誕生
2.羅巴切夫斯基的解答
3.一個全新的世界
4.雙曲幾何的相容性
§4 橢圓幾何
1.黎曼的非歐幾何
2.球面幾何
3.歐氏幾何與非歐幾何比較
§5 新的里程碑
1.非歐幾何誕生的意義
2.微分幾何
3.愛爾蘭根綱領(lǐng)
4.幾何學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展
§6 非歐幾何學(xué)與藝術(shù)
1.藝術(shù)中的數(shù)學(xué)家
2.雙曲幾何學(xué)與藝術(shù)
第10 章重溫代數(shù)學(xué)
§1 符號代數(shù)的發(fā)展
1.文字階段
2.簡寫階段
3.符號階段
§2 代數(shù)學(xué)發(fā)展的三個不同時期
1.代數(shù)學(xué)的誕生
2.代數(shù)方程式論
3.代數(shù)結(jié)構(gòu)
§3 代數(shù)方程式論
1.方程式論
2.代數(shù)基本定理
3.根與系數(shù)的關(guān)系——韋達(dá)定理
4.五次以上的代數(shù)方程
§4 三次代數(shù)方程與四次代數(shù)方程
1.單位根
2.化為缺項的方程
3.三次方程的解
4.解的確定
5.三次代數(shù)方程解法小結(jié)
6.四次代數(shù)方程解法概要
§5 群和域
1.群的定義
2.置換群
3.對稱中的對稱——子群
4.域的概念
5.伽羅瓦理論
§6 代數(shù)與古典幾何名題
1.幾何中的三大經(jīng)典問題
2.化為代數(shù)問題
3.三大經(jīng)典問題不可解的證明
第11章 數(shù)學(xué)的廣闊用場
§1 數(shù)學(xué)與自然科學(xué)
1.電磁現(xiàn)象
2.物理學(xué)新的里程碑
3.概率論與太空旅行
4.化學(xué) 
5.生物科學(xué)
§2 數(shù)學(xué)與人文科學(xué)
1.人文科學(xué)與數(shù)學(xué)教育的歷史
2.數(shù)學(xué)和人文科學(xué)之間的橋梁
3.數(shù)理語言學(xué)
4.選票分配問題
5.文學(xué)與統(tǒng)計學(xué)
6.諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎與數(shù)學(xué)
7 數(shù)學(xué)與西方政治