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三、同余與剩余
1.余數(shù)
在整數(shù)的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時,就產(chǎn)生余數(shù)。
被除數(shù)(a)÷除數(shù)(b)=商(c)……余數(shù)(d),其中a、c均為整數(shù),b、d為自然數(shù)。
其中,余數(shù)總是小于除數(shù),即0≤d<b。
2.同余
同余:兩個整數(shù)a、b,若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等,則稱a、b對于m同余。
例:23除以5的余數(shù)是3,18除以5的余數(shù)也是3,則稱23與18對于5同余。
同余的性質:對于同一個除數(shù)m,兩個數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余,兩個數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余,兩個數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余。
例:15除以7余數(shù)是1,18除以7余數(shù)是4;
15+18=33,則33除以7的余數(shù)與1+4=5除以7的余數(shù)相同;
18-15=3,則3除以7的余數(shù)與4-1=3除以7的余數(shù)相同;
15×18=270,則270除以7的余數(shù)與1×4=4除以7的余數(shù)相同。
3.剩余問題
在公務員考試中,剩余問題主要有以下三種情況:
、僖粋數(shù)除以4余2、除以5余2、除以6余2,這個數(shù)可表示為?
、谝粋數(shù)除以4余3、除以5余2、除以6余1,這個數(shù)可表示為?
、垡粋數(shù)除以4余1、除以5余2、除以6余3,這個數(shù)可表示為?
對于上述三種問題,解題思路是先找出一個滿足條件的數(shù),再加上幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的1、2、3、…、n倍,即為所求。
①中,余數(shù)相同,2滿足條件,加上4、5、6的最小公倍數(shù),也滿足條件,所以該數(shù)表示為60n+2;
、谥,4+3=5+2=6+1=7,余數(shù)與除數(shù)之和相同,即和同。7滿足條件,加上4、5、6的最小公倍數(shù),也滿足條件,所以該數(shù)表示為60n+7;
、壑校1-4=2-5=3-6=-3,余數(shù)與除數(shù)之差相同,即差同。-3滿足條件,在此基礎上加上4、5、6的最小公倍數(shù),也滿足條件,所以該數(shù)表示為60n-3。
所以有:余同加余,和同加和,差同減差,最小公倍數(shù)做周期。
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