《復(fù)變函數(shù)專題選講》是復(fù)變函數(shù)專業(yè)基礎(chǔ)內(nèi)容的進(jìn)一步發(fā)展,共分為9章,包含cauchy定理的推廣、最大模原理、整函數(shù)與亞純函數(shù)、共形映射、解析開拓及riemann曲面初步、調(diào)和函數(shù)與dirichlet問題、γ函數(shù)和b函數(shù)、橢圓函數(shù)、cauchy型積分。上列最后三項與復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用有密切聯(lián)系,其他各項都是專業(yè)基礎(chǔ)內(nèi)容的進(jìn)一步發(fā)展。它們在復(fù)變函數(shù)論的理論研究和應(yīng)用中都有重要意義。
《復(fù)變函數(shù)專題選講》可作為數(shù)學(xué)類高年級大學(xué)選修課及研究生必修課的參考書,也可供廣大數(shù)學(xué)工作者和有關(guān)科研人員參考。
第一章 cauchy 定理
1 同倫形式的cauchy 定理
1.1 解析函數(shù)沿連續(xù)曲線的積分
1.2 同倫
1.3 同倫形式的cauchy 定理
1.4 封閉曲線的指標(biāo)
2 同調(diào)形式的cauchy 定理
2.1 鏈與閉鏈
2.2 同調(diào)形式的cauchy 定理
3 局部cauchy 定理的推廣
3.1 連續(xù)函數(shù)沿可求長曲線的積分
3.2 局部cauchy 定理的一種推廣
第二章 最大模原理
1 lindelof-phragmen 定理
1.1 lindelof 定理
第一章 cauchy 定理
1 同倫形式的cauchy 定理
1.1 解析函數(shù)沿連續(xù)曲線的積分
1.2 同倫
1.3 同倫形式的cauchy 定理
1.4 封閉曲線的指標(biāo)
2 同調(diào)形式的cauchy 定理
2.1 鏈與閉鏈
2.2 同調(diào)形式的cauchy 定理
3 局部cauchy 定理的推廣
3.1 連續(xù)函數(shù)沿可求長曲線的積分
3.2 局部cauchy 定理的一種推廣
第二章 最大模原理
1 lindelof-phragmen 定理
1.1 lindelof 定理
1.2 phragmen 定理
2 三圓定理
2.1 凸函數(shù)
2.2 三圓定理與三直線定理
3 schwarz 引理及其應(yīng)用
3.1 schwarz 引理
3.2 單位圓盤到自身的共形雙射
3.3 用解析函數(shù)的實部估計函數(shù)的模
第三章 整函數(shù)與亞純函數(shù)
1 無窮乘積整函數(shù)因子分解定理
1.1 無窮乘積
1.2 無窮乘積收斂的判別法
1.3 解析函數(shù)項無窮乘積
1.4 整函數(shù)的因子分解定理
2 picard 定理
2.1 bloch 定理
2.2 landau 定理和picard 第一定理
2.3 schottky 定理和picard 第二定理
3 runge 定理亞純函數(shù)部分分式分解定理
3.1 兩個預(yù)備定理
3.2 runge 定理
3.3 亞純函數(shù)的部分分式分解定理
第四章 共形映射
1 解析函數(shù)正規(guī)族
1.1 概念及性質(zhì)
1.2 正規(guī)定則
1.3 極限函數(shù)的性質(zhì)
2 riemann 映射定理
2.1 一個引理
2.2 riemann 定理
2.3 映射函數(shù)的邊界性質(zhì)
3 多連通區(qū)域的映射定理
3.1 單葉函數(shù)類s
3.2 多連通區(qū)域的共形映射
第五章 解析開拓及riemann 曲面初步
1 解析開拓
1.1 schwarz 對稱原理
1.2 冪級數(shù)的解析開拓
2 單值性定理
3 riemann 曲面的概念
3.1 二維流形
3.2 riemann 曲面的定義
3.3 riemann 曲面的例
3.4 曲面的基本群
3.5 覆蓋曲面
3 6 覆蓋變換與覆蓋變換群
第六章 調(diào)和函數(shù)與dirichlet 問題
1 調(diào)和函數(shù)及次調(diào)和函數(shù)
1.1 調(diào)和函數(shù)及其序列
1.2 次調(diào)和函數(shù)
2 dirichlet 問題與調(diào)和測度
2.1 dirichlet 問題
2.2 green 函數(shù)
2.3 調(diào)和測度
第七章 г函數(shù)和b 函數(shù)
1 г函數(shù)
1.1 г(z) 的積分定義
1.2 г(z) 的無窮乘積表示
1.3 г(z) 的線積分表示
1.4 stirling 公式
2 函數(shù)b(z,ζ)
2.1 復(fù)變量b 函數(shù)的定義
2.2 b 函數(shù)和г函數(shù)的關(guān)系
第八章 橢圓函數(shù)
1 定義及一般性質(zhì)
1.1 橢圓函數(shù)的定義
1.2 橢圓函數(shù)的性質(zhì)
1.3 有關(guān)二重級數(shù)的引理
2 一些重要的函數(shù)
2.1 函數(shù) (z)
2.2 函數(shù)ξ(z)
2.3 函數(shù)σ(z)
3 橢圓函數(shù)所滿足的方程
3.1 (z) 所滿足的微分方程
3.2 橢圓函數(shù)間的有理關(guān)系
4 一些重要的函數(shù)(續(xù))
4.1 函數(shù)σj(z)
4.2 jacobi 橢圓函數(shù)
4.3 準(zhǔn)橢圓函數(shù)
第九章 cauchy 型積分
1 cauchy 型積分和cauchy 主值積分
1.1 cauchy 型積分概念
1.2 cauchy 主值積分
2 plemelj 公式和privalov 定理
2.1 plemelj 公式
2.2 分區(qū)全純函數(shù)
2.3 cauchy 型積分的邊值和cauchy 主值積分的導(dǎo)數(shù)
2.4 privalov 定理
3 高階奇異積分和推廣的留數(shù)定理
3.1 留數(shù)定理的直接推廣
3.2 高階奇異積分
3.3 推廣的留數(shù)定理
參考文獻(xiàn)
索引