本書按照“講清道理，再講推理”的模式編寫，系統(tǒng)、連貫地介紹了行列式、矩陣、向量、線性方程組、矩 陣的相似二次型、向量空間與線性變換等內(nèi)容�？紤]到不同學(xué)時(shí)不同層次的教學(xué)需要，書中第7章為選學(xué)內(nèi)容，不會(huì)影響教材的系統(tǒng)性。在例題、習(xí)題選取方面，本 書遵循少而精、難易適度的原則，每章均配有典型例題和習(xí)題，書后附有參考答案與提示，并精心設(shè)計(jì)了“問題與探究”欄目。
《線性代數(shù)》注重化解抽象理論的難度，易教易學(xué)，可讀性強(qiáng)，適合一般本科院校理工類、經(jīng)管類專業(yè)使用。
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李桂貞編著的《線性代數(shù)(普通高等教育十二五規(guī)劃教材)》系統(tǒng)、連貫地介紹了行列式、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的相似二次型、向量空間與線性變換等內(nèi)容。本書注重化解抽象理論的難度，易教易學(xué)，可讀性強(qiáng)，適合一般本科院校理工類、經(jīng)管類專業(yè)使用。
目錄CONTENTS
前言
第1章 行列式
1.1 行列式的定義 2
1.2 行列式的性質(zhì) 8
1.3 行列式的展開 13
1.4 拉普拉斯定理 20
1.5 克拉默法則 21
習(xí)題1 24
問題與探究 27
第2章 矩陣
2.1 矩陣及其運(yùn)算 29
2.2 可逆矩陣 37
2.3 矩陣的初等變換 41
2.4 矩陣的秩 46
2.5 分塊矩陣 49
習(xí)題2 54
問題與探究 56
第3章 向量
3.1 向量的定義及其運(yùn)算 58
3.2 向量組的線性相關(guān)性 60
3.3 極大線性無關(guān)組 68
習(xí)題3 73
問題與探究 74
第4章 線性方程組
4.1 線性方程組的表達(dá) 76
4.2 線性方程組的解法 80
4.3 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 84
習(xí)題4 89
問題與探究 90
第5章 矩陣的相似
5.1 矩陣的特征值與特征向量 92
5.2 相似矩陣 96
5.3 矩陣的對角化 101
習(xí)題5 106
問題與探究 107
第6章 二次型 191
6.1 二次型的表達(dá) 110
6.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 113
6.3 正定二次型 118
習(xí)題6 120
問題與探究 120
第7章 向量空間與線性變換
7.1 向量空間的定義與性質(zhì) 122
7.2 向量空間的基、維數(shù)和坐標(biāo) 124
7.3 過渡矩陣 126
7.4 線性變換的定義與性質(zhì) 127
7.5 線性變換的矩陣 129
習(xí)題7 131
問題與探究 132
參考答案與提示 133
參考文獻(xiàn) 147
附錄 歷年碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)試題線性代數(shù)部分節(jié)選 148
1.1 行列式的定義
一、排列與逆序
定義1.1.1 由自然數(shù)1，2，3，…，n組成的有序數(shù)組j1j2…jn稱為一個(gè)n階列．例如，3214是一個(gè)四階排列，645213是一個(gè)六階排列．由1，2，3，4可組成4�。�24個(gè)不同的四階排列．1，2，3，…，n可組成n！個(gè)不同的n階排列．按數(shù)字的自然順序由小到大的n階排列123…n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列．
定義1.1.2 在一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)的前面，稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序．一個(gè)排列中，逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ（j1j2…jn）．
逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列．
例1.1.1 求排列362514與n（n-1）…321的逆序數(shù)．
解 排列362514中，3在1和2前面，6在1，2，4和5前面，2在1前面，5在1和4前面，共有9個(gè)逆序，即τ（362514）＝2+4+1+2+0+0＝9，為奇排列；τ（n（n-1）…321）＝（n-1）+（n-2）+…+2+1+0＝n（n-1）2，當(dāng)n等于4k和4k+1時(shí)為偶排列，當(dāng)n等于4k+2和4k+3時(shí)為奇排列．
把一個(gè)排列中的兩個(gè)數(shù)的位置互換，其余的數(shù)不動(dòng)，就得到一個(gè)新的排列，這樣的變換稱為排列的一個(gè)對換．
例如，將362514中的6和1對換，得到新的排列312564，它的逆序數(shù)τ（312564）＝4，為偶排列．可見，經(jīng)過一次對換后，排列的奇偶性發(fā)生了改變．
定理1.1.1 每一個(gè)對換都改變排列的奇偶性．
證 分兩種情況討論．
（1）相鄰兩個(gè)數(shù)對換的情況．
設(shè)排列為AijB，（1.1）經(jīng)過i與j的對換變?yōu)榕帕蠥jiB，（1.2）其中A，B表示除i，j兩個(gè)數(shù)外的其余數(shù)．比較排列（1.1）與排列（1.2）中的逆序，A，B中數(shù)的次序沒有改變，i，j與A，B中數(shù)的次序也沒有改變，僅僅改變了i與j的次序，因此排列（1.2）僅比排列（1.1）增加了一個(gè)逆序（當(dāng)i＜j時(shí)），或減少了一個(gè)逆序（當(dāng)i＞j時(shí)），所以它們的奇偶性相反．
（2）一般對換的情況．
設(shè)排列為Aik1k2…ksjB，（1.3）經(jīng)過i與j的對換變?yōu)榕帕蠥jk1k2…ksiB，（1.4）將排列（1.3）中數(shù)i依次與k1，k2，…，ks，j作s+1次相鄰對換，變?yōu)锳k1k2…ksjiB，
再將排列（1.5）中的j依次與ks，ks-1，…，k1作s次相鄰對換，得到排列（1.4），即排列（1.4）可由排列（1.3）經(jīng)過2s+1次相鄰對換得到．由情況（1）可知，它改變了奇數(shù)次奇偶性，所以排列（1.4）與排列（1.3）的奇偶性相反．
推論1.1.1 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．
二、二階與三階行列式
設(shè)二元線性方程組為
a11x1+a12x2＝b1，
a21x1+a22x2＝b2．（1.6）
用消元法解此方程組，得
（a11a22-a12a21）x1＝b1a22-a12b2， （a11a22-a12a21）x2＝a11b2-b1a21．
當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí)，方程組（1.6）有唯一解
x1＝b1a22-a12b2
a11a22-a12a21，
x2＝a11b2-b1a21
a11a22-a12a21．（1.7）
為了便于記憶，引入記號(hào)
D＝a11a12
a21a22， 并規(guī)定a11a12，a21a22＝a11a22-a12a21．（1.8）稱D為二階行列式．D中橫寫的稱為行，豎寫的稱為列．?dāng)?shù)aij（i＝1，2；j＝1，2）稱為行列式D的元素．元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)，表明該元素位于第i行；第二個(gè)下標(biāo)j稱為列標(biāo)，表明該元素位于第j列。
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