本書是華北電力大學數(shù)理學院數(shù)學分析教研組集體工作的總結(jié)，結(jié)合了工科數(shù)理學院教師多年教學實踐經(jīng)驗、教育背景和研究經(jīng)歷的優(yōu)勢編寫而成。特別吸收了20世紀幾位重要數(shù)學家的觀點，展現(xiàn)出數(shù)學歷史的畫卷，又融合了自己的見解，具有工科院校數(shù)學專業(yè)基礎(chǔ)課獨有的特點和亮點。本書注重數(shù)學史等基本素養(yǎng)的引導(dǎo)，使學習者能明白數(shù)學的概念雖然是人為的，但也是自然的。在定義的引出、定理的證明、例題的安排等方面系統(tǒng)參考了多本數(shù)學分析教材，充分考慮了教學效果和需求。同時，增加了數(shù)學知識的應(yīng)用，設(shè)置了一些有特色的例子和一些有一定難度的內(nèi)容，便于有興趣的讀者進一步學習，同時也指出了和其他數(shù)學課程的有機銜接，起到拋磚引玉的作用。
全冷主要內(nèi)容分為一元微積分和多元微積分兩大部分。一元微積分包括實數(shù)的基本理論、極限、一元微分、一元積分、級數(shù)理論；多元微積分包括多元點集的基本理論、多元微分、重積分、曲線積分和曲面積分等。
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香港中文大學博士；華北電力大學教授，數(shù)學院院長
目錄
前言
第1章 引言 1
第2章 實數(shù)、集合與函數(shù)的基本性質(zhì) 13
2.1 實數(shù)的性質(zhì) 13
2.1.1 四則運算、有理數(shù)和無理數(shù) 13
2.1.2 數(shù)軸與實數(shù)集 14
2.1.3 實數(shù)的小數(shù)表示 16
2.1.4 實數(shù)的確界原理 19
2.1.5 實數(shù)的不可數(shù)性質(zhì) 21
2.2 函數(shù) 25
2.2.1 函數(shù)的定義和圖像 25
2.2.2 函數(shù)的性質(zhì) 26
2.2.3 函數(shù)的運算 27
2.2.4 初等函數(shù) 28
2.3 雇 29
第3章 數(shù)列極限 31
3.1 數(shù)列極限的定義 33
3.2 數(shù)列極限的性質(zhì)與運算 43
3.3 數(shù)列極限存在的條件 49
3.4 實數(shù)集的基本定理 62
3.4.1 區(qū)間套定理 62
3.4.2 聚點定理 64
3.4.3 有限覆蓋定理 65
3.4.4 實數(shù)系基本定理的等價性 67
3.5 習題 69
第4章 函數(shù)極限 72
4.1自變量趨近于oo時的極限 73
4.2自變量趨近于邳時的極限 74
4.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 79
4.4 函數(shù)極限的判定 82
4.4.1 柯西準則 82
4.4.2 夾擠定理 83
4.4.3 歸結(jié)原則 84
4.4.4 單調(diào)有界原理 86
4.5 兩個重要極限 86
4.6 無窮小與無窮大的階 90
4.7 函數(shù)的連續(xù)與間斷 92
4.7.1 一點處的連續(xù)性 93
4.7.2 單側(cè)連續(xù)性 94
4.7.3 區(qū)間上的逐點連續(xù)性 94
4.7.4 區(qū)間上的一致連續(xù)性 95
4.7.5 間斷性 96
4.8 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 98
4.8.1 一點處連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 98
4.8.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì) 98
4.9 初等函數(shù)的連續(xù)性 101
4.9.1 常見運算下的連續(xù)性 101
4.9.2 初等函數(shù)的連續(xù)性 102
4.10 習題 104
第5章 一元函數(shù)的微分 106
5.1 起源 106
5.2 導(dǎo)數(shù) 111
5.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 112
5.2.2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 113
5.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo) 114
5.2.4 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 115
5.2.5 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 118
5.2.6 高階導(dǎo)數(shù) 120
5.3 一元函數(shù)的微分 123
5.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求函數(shù)的極值 127
5.4.1 曲線的升降與極值 128
5.4.2 中值定理與函數(shù)的扭轉(zhuǎn)：二階導(dǎo)數(shù) 134
5.4.3 方程的近似解 146
5.5 階的比較：*與*型函數(shù)極限 149
5.6 高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：泰勒展開 156
5.6.1 幾個基本初等函數(shù)的泰勒級數(shù) 162
5.6.2 圓周率的計算 166
附錄一 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表 171
5.8 習題 172
第6章 不定積分 178
6.1 不定積分的定義 178
6.2 換元積分法 180
6.3 分部積分法 183
6.4 有理函數(shù)的不定積分 186
6.5 三角函數(shù)有理式的不定積分 189
6.6 某些無理根式的不定積分 193
6.6.1 *型積分 193
6.6.2 二項式微分式積分 195
6.6.3 *型積分 196
6.7 習題 199
第7章 定積分 202
7.1 定積分概念 202
7.2 牛頓-萊布尼茨公式 208
7.3 可積條件 210
7.4 定積分的性質(zhì) 213
7.5 定積分的應(yīng)用 220
7.5.1 弧長的計算 223
7.5.2 面積的計算 226
7.5.3 旋轉(zhuǎn)體的體積 226
7.5.4 旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積 229
7.6 瑕積分與反常積分 231
*7.7 階的估計 239
7.7.1 斯特林公式的收斂速度 242
7.7.2 二項式系數(shù)的漸近估計 246
7.7.3 Basel問題的極限與收斂率 249
7.8 習題 252
第8章 數(shù)項級數(shù) 257
8.1 無窮級數(shù)的收斂性 259
8.2 正項級數(shù) 262
8.3 一般項級數(shù) 269
8.4 無窮乘積 278
8.5 階的估計 284
8.6 習題 288
第9章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 291
9.1 函數(shù)列及其一致收斂性的定義 291
9.2 一致收斂函數(shù)列的判定 295
9.3 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì) 297
9.4 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及判別法 304
9.5 一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 308
9.5.1 一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 308
9.5.2 應(yīng)用：沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù) 311
9.6 冪級數(shù) 315
9.6.1 冪級數(shù)的性質(zhì) 318
9.6.2 幕級數(shù)的四則運算 320
9.6.3 連續(xù)函數(shù)的伯恩斯坦逼近 322
9.7 習題 325
第10章 傅里葉級數(shù) 327
10.1 以2π為周期的傅里葉級數(shù) 328
10.1.1 傅里葉級數(shù)的部分和 330
10.1.2 貝塞爾不等式與最佳平方逼近 332
10.1.3 傅里葉級數(shù)的收斂性 334
10.2 以為周期的傅里葉級數(shù) 343
*10.2.1 傅里葉級數(shù)的（C，1）和 344
10.2.2 傅里葉級數(shù)的性質(zhì) 348
10.3 習題 353
第11章 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 1
11.1 平面點集與多元函數(shù) 2
11.1.1 平面點集 2
11.1.2 R2上的完備性定理 5
11.1.3 二元函數(shù) 7
11.1.4 n元函數(shù) 8
11.2 二元函數(shù)的極限 11
11.2.1 二元函數(shù)極限的概念 11
11.2.2 累次極限 14
11.3 二元函數(shù)的連續(xù)性 17
11.3.1 二元函數(shù)連續(xù)性的概念 17
11.3.2 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 19
11.4 習題 23
第12章 多元函數(shù)微分學 27
12.1 可微性 27
12.1.1 偏導(dǎo)數(shù) 29
12.1.2 可微性 30
12.1.3 可微性的幾何意義及應(yīng)用 33
12.2 復(fù)合函數(shù)微分法 37
12.2.1 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 37
12.2.2 復(fù)合函數(shù)的全微分 40
12.3 方向?qū)?shù)與梯度 41
12.4 泰勒公式與極值問題 43
12.4.1 高階偏導(dǎo)數(shù) 43
12.4.2 中值定理 48
12.4.3 泰勒公式 48
12.4.4 極值問題 50
12.5 習題 57
第13章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 61
13.1 隱函數(shù)存在性條件的分析 61
13.2 隱函數(shù)定理 62
13.3 隱函數(shù)求導(dǎo)的例子 66
13.4 隱函數(shù)組 67
13.4.1 隱函數(shù)組的局部存在性與可微性 68
13.4.2 反函數(shù)組與坐標變換 70
13.5 幾何應(yīng)用 72
13.5.1 曲線的切線和法平面 72
13.5.2 曲面的切平面與法線 74
13.6 條件極值 77
13.6.1 條件極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法 77
13.6.2 幾個例子 79
13.7 習題 81
第14章 含參量積分 84
14.1 含參量正常積分 84
14.1.1 含參量正常積分的連續(xù)性 84
14.1.2 含參量正常積分的可微性 86
14.1.3 含參量正常積分的可積性 88
14.2 含參量反常積分 90
14.2.1 含參量反常積分的一致收斂性及判別法 90
14.2.2 含參量反常積分的性質(zhì) 95
14.3 歐拉積分 101
14.3.1 r 函數(shù) 101
14.3.2 B 函數(shù) 107
14.3.3 B函數(shù)與r函數(shù)的關(guān)系 109
14.4 習題 114
第15章 重積分 117
15.1 二重積分的概念 118
15.1.1 平面圖形的面積 118
15.1.2 二重積分的定義及存在性定理 120
15.2 二重積分的計算 124
15.2.1 直角坐標系下二重積分的計算 124
15.2.2 二重積分的變量變換 128
15.3 曲面的面積 135
15.4 三重積分 139
15.4.1 三重積分的概念 139
15.4.2 三重積分的計算 140
15.4.3 三重積分的換元 144
15.4.4 三重積分的應(yīng)用 146
15.5 n重積分 148
15.5.1 n重積分的定義 149
15.5.2 n重積分化為累次積分 150
15.5.3 n重積分的變量變換 152
15.6 習題 155
第16章 曲線積分 159
16.1 第一型曲線積分 159
16.1.1 第一型曲線積分的定義 160
16.1.2 第一型曲線積分的計算 162
16.2 第二型曲線積分 163
16.2.1 第二型曲線積分的定義 164
16.2.2 第二型曲線積分的計算 166
16.2.3 曲線積分求面積 168
16.3 第二型曲線積分與格林公式 169
16.4 曲線積分與路徑無關(guān) 172
16.5 習題 175
第17章 曲面積分 177
17.1 第一型曲面積分 177
17.1.1 第一型曲面積分的概念 177
17.1.2 第一型曲面積分的計算 178
17.2 第二型曲面積分 179
17.2.1 曲面的側(cè) 179
17.2.2 第二型曲面積分的概念 180
17.2.3 第二型曲面積分的計算 181
17.2.4 兩類曲面積分的聯(lián)系 183
17.3 高斯公式與斯托克斯公式 184
17.3.1 高斯公式 184
17.3.2 斯托克斯公式 186
17.4 場論簡介 188
17.4.1 場的概念 189
17.4.2 梯度場 189
17.4.3 散度場 190
17.4.4 旋度場 192
17.4.5 在物理上的應(yīng)用 193
17.5 習題 195
第18章 外積、微分形式、外微分與多元微積分的基本定理 197
18.1 微分外積、微分式與微分算子 202
18.2 從微分形式看梯度、旋度和散度 206
18.3 多變量微積分的基本定理 208
參考文獻 211
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