《復變函數(shù)》介紹了復變函數(shù)的基本概念、基本理論和方法，包括復數(shù)及復平面、復變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復函數(shù)的積分理論、級數(shù)理論、留數(shù)理論及其應用、保形映射與解析延拓等。《復變函數(shù)》在內容的安排上深入淺出，表達清楚，系統(tǒng)性和邏輯性強。書中列舉了大量例題來說明復變函數(shù)的定義、定理及方法，并提供了豐富的習題，便于教師教學與學生自學。每章末都有小結，并配有復習題。小結對該章的主要內容作了歸納和總結，方便學生系統(tǒng)復習。
《復變函數(shù)》可作為高等師范院校數(shù)學系各專業(yè)學生的教學用書，也可供相關專業(yè)的教師和科技工作者參考。
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本書根據(jù)我們在華南師范大學長期講授復變函數(shù)課的實際經(jīng)驗，并參考了現(xiàn)有的許多復變函數(shù)教材編寫而成，
復變函數(shù)是數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課程，目前已有了許多復變函數(shù)教材，它們有著各自的特色和優(yōu)點，由于編者的出發(fā)角度不同，也存在一定的局限性，我們站在省屬師范院校的角度編寫了本書，基本想法如下：
第一，選取教材內容“少而精”，強調基礎性。
“少而精”是教學的基本原則之一，是培養(yǎng)人才的一個重要手段，講授過多、過難的東西只會適得其反，使學生越來越模糊，基于這個原則，在本書中，我們僅選取了復變函數(shù)領域中最重要的基本理論，而略去了一些難度過大、內容過于專門化的理論，例如，略去了Dirichlet問題、特殊函數(shù)、Christoffel多角形映射定理、過于復雜的積分計算、無窮乘積及部分分式等，因為這些內容可通過專門化的教材來學習，對Riemann映射定理、解析延拓，我們也僅作了簡單的介紹，重點強化了本學科的基本內容：解析函數(shù)、Cauchy積分、冪級數(shù)和Laurent級數(shù)、留數(shù)、分式線性變換和最大模定理。
多值函數(shù)部分是被普遍認為的一個難點，我們重點介紹了它的產生及處理方法，讓學生學其基本部分，而刪除其復雜部分，例如，第2章刪除了多個有限支點的問題，第5章刪除了多值函數(shù)的積分，如果這些問題不刪除，學生只會越學越糊涂，第二，力求可讀、嚴謹和系統(tǒng)，一本專業(yè)基礎教材要有好的教學效果，必須具有良好的可讀性和系統(tǒng)性，從數(shù)學史可以知道，許多概念開始出現(xiàn)于一些簡單的事件，直觀易懂；后來人們?yōu)榱送晟扑�，給出了一系列嚴謹?shù)睦碚�，這些理論是重要的，但也是難懂的，為了將兩者結合起來，我們在引入復數(shù)時，開始用了常規(guī)的方法，然后用標注星號的部分介紹其嚴謹?shù)囊肜碚�，對冪級�?shù)部分，在介紹了收斂半徑后，再用標注星號部分介紹產生收斂半徑的本質問題，
對于復積分、復級數(shù)這些部分，因為它們是復變函數(shù)理論最基礎、最重要的部分，我們給出了特別詳細、系統(tǒng)完整的闡述，第三，分層次教學，華南師范大學復變函數(shù)課程的教學分兩個層次，即為每周4課時與3課時兩個層次，其他許多省屬師范院校也存在對這門課程實施每周4課時或3課時的教學，為了適應這兩個層次的教學。
目錄
第1章 復數(shù)及復平面 1
1.1 復數(shù)及其幾何表示 1
1.1.1 復數(shù)域與復數(shù)的公理化定義 1
1.1.2 復數(shù)域是實數(shù)域的擴充 2
1.1.3 復數(shù)的運算 2
1.1.4 共軛復數(shù) 5
1.1.5 復數(shù)的幾何表示 5
1.1.6 復數(shù)的三角表示 6
1.1 7 復球面及無窮大 11
習題1.1 11
1.2 復平面的拓撲 12
1.2.1 初步概念 12
1.2.2 Jordan曲線 13
習題1.2 14
小結 15
復習題 15
第2章 復變函數(shù) 17
2.1 復變函數(shù)的極限與連續(xù)性 17
2.1.1 復變函數(shù)的概念 17
2.1.2 復變函數(shù)的極限 18
2.1.3 復變函數(shù)的連續(xù)性 20
習題2.1 22
2.2 解析函數(shù) 23
2.2.1 復函數(shù)的導數(shù) 23
2.2.2 解析的概念 24
2.2.3 復函數(shù)可導與解析的條件 25
習題2.2 28
2.3初等函數(shù) 28
2.3.1 初等解析函數(shù) 28
2.3.2 韌等多值函數(shù) 31
習題2.3 40
小結 40
復習題 41
第3章 復變函數(shù)的積分 43
3.1 復變函數(shù)的積分 43
3.1.1 復積分的定義與性質 43
3.1.2 計算復積分的參數(shù)方程法 45
3.1.3 典型例子 46
習題3.1 48
3.2 Cauchy積分定理 49
3.2.1 單連通區(qū)域的Cauchy積分定理 49
3.2.2 Cauchy-Goursat積分定理的證明 51
3.2.3 復函數(shù)的Newton-Leibniz公式 54
3.2.4 多連通區(qū)域上的Cauchy積分定理 56
3.2.5 典型例題 58
習題3.2 59
3.3 Cauchy積分公式 60
3.3.1 解析函數(shù)的Cauchy積分公式 60
3.3.2 解析函數(shù)的任意階可導性和Morera定理 61
3.3.3 Cauchy不等式和Liouville定理 63
3.3.4 調和函數(shù) 65
習題3.3 66
小結 67
復習題 68
第4章 級數(shù) 70
4.1 級數(shù)的基本性質 70
4.1.1 復數(shù)項級數(shù) 70
4.1.2 復變函數(shù)項級數(shù) 72
4.1.3冪級數(shù) 75
習題4.1 78
4.2 Taylor展式 78
4.2.1 解析函數(shù)的Taylor展式 78
4.2.2 解析函數(shù)的零點與唯一性 83
習題4.2 85
4.3 Laurent展式 86
4.3.1 解析函數(shù)的Laurent展式 86
4.3.2 解析函數(shù)的孤立奇點 90
4.3.3 解析函數(shù)在無窮遠點的性質 94
4.3.4 整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念 95
習題4.3 96
小結 96
復習題 98
第5章 留數(shù) 99
5.1 留數(shù)定理 99
5.1.1 孤立奇點的留數(shù) 99
5.1.2 留數(shù)的計算 100
習題5.1 101
5.2 留數(shù)定理的應用 102
5.2.1 用留數(shù)定理求積分 102
5.2.2 亞純函數(shù)的零點與極點的個數(shù) 105
5.2.3 輻角原理 106
5.2.4 Rouche定理及其應用 108
習題5.2 111
小結 112
復習題 113
第6章 保形映射與解析延拓 115
6.1 單葉解析函數(shù)的映射性質 115
6.1.1 單葉解析函數(shù)的基本性質 115
6.1.2 導數(shù)的幾何意義 117
習題6.1 119
6.2 分式線性變換及其映射性質 119
6.2.1 分式線性函數(shù) 119
6.2.2 分式線性函數(shù)的映射性質 120
習題6.2 125
6.3 最大模原理 125
6.3.1 最大模原理 125
6.3.2 Schwarz引理 125
習題6.3 127
6.4 Riemann定理及邊界對應 127
習題6.4 128
6.5 解析延拓 129
6.5.1 解析延拓的概念 129
6.5.2 解析函數(shù)元素 129
6.5.3 對稱原理 130
6.5.4 用冪級數(shù)延拓，奇點 132
習題6.5 134
小結 134
復習題 135
習題答案或提示 137
參考文獻 145
索引 146
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