本教材根據(jù)筆者在華中科技大學講授的信息安全數(shù)學基礎課程所編講義整理而成，共分為8章，適合信息安全、網(wǎng)絡空間安全、密碼科學與技術及相關專業(yè)本科生學習使用，可為學生進一步學習密碼學理論提供必要的知識儲備。第1章講述整數(shù)整除中的帶余除法、因子、*大公因數(shù)、*小公倍數(shù)和算術基本定理等基本概念，大多數(shù)學生對這部分內(nèi)容是比較熟悉的，筆者希望通過展示從帶余除法到*終的算術基本定理的推演過程，系統(tǒng)化地向?qū)W生展示整數(shù)研究的一般方法。在第3章所示的多項式的唯一因式分解定理的證明過程中，這種系統(tǒng)化的方法再次得到體現(xiàn)。第2章講述同余，也就是模運算，包括整數(shù)同余的基本性質(zhì)和同余式(組)的求解。學習重點是歐拉定理、費馬小定理、中國剩余定理和一般同余式(組)的基本求解方法。同余和同余式(組)是公鑰密碼學重要的研究對象，例如，RSA加密算法就是模冪運算的體現(xiàn)。第3章講述有限域的結構定理，整數(shù)關于素數(shù)p的模加和模乘形成*小的有限域Zp，Zp上的多項式關于n次不可約多項式的模加和模乘形成Zp的元素個數(shù)為pn的擴域。有限域的學習重點是有限域的加法結構(向量結構)和乘法結構、子域及域的擴張的相關性質(zhì)。第4章講述二次剩余與方根，這部分內(nèi)容直接對應密碼學中的Rabin密碼、GM密碼和離散對數(shù)等問題。將第4章的內(nèi)容放在有限域等代數(shù)知識之后學習是筆者經(jīng)過多次教學實踐之后的慎重決定，希望學生在學習的過程中能關聯(lián)第3章所學的有限域的知識，進一步熟悉用代數(shù)的思想分析和解決問題，以免造成知識脫節(jié)。第5章講述代數(shù)系統(tǒng)中環(huán)的基礎理論，一方面，將前面所學的多項式和有限域的知識作進一步的提升和串聯(lián)，使學生掌握理想和剩余類環(huán)的基本概念，另一方面，重點介紹整環(huán)的唯一分解條件，說明在整環(huán)中，唯一分解定理并不總是成立的。第6章講述代數(shù)數(shù)論研究的重要內(nèi)容數(shù)域。包括數(shù)域的概念和數(shù)域的擴張、代數(shù)整數(shù)和代數(shù)整數(shù)環(huán)，以及研究數(shù)域的重要工具范數(shù)與跡。學習的重點是代數(shù)整數(shù)環(huán)，整個代數(shù)學的知識架構再次得到補充和延伸。第7章講述格的相關理論，一方面介紹了格的定義與*短向量問題，另一方面介紹了格密碼和誤差還原問題，學生在學習時要重點了解格理論在密碼學中的應用。第8章講述了布爾函數(shù)、兩種Walsh變換、布爾函數(shù)的非線性度和Bent函數(shù)，介紹了布爾函數(shù)的安全性指標。教材每一章后面均有適量的練習題，練習題是對相應章節(jié)內(nèi)容的鞏固和擴展，是完整學習信息安全數(shù)學基礎不可缺少的部分。為便于學生更好地理解抽象理論知識，提高解決實際數(shù)學、密碼學問題的能力，教材在每一章后面還附有一定的補充知識或者思考題(擴展閱讀與實踐)，要求學生用SageMath編程解決問題，根據(jù)教學目的的不同，實際教學中也可以選擇Mathematica、Miracl、Python等其他編程環(huán)境。附錄A對部分思考題的實現(xiàn)給出了參考代碼，附錄B對一些常見的SageMath函數(shù)分類進行了舉例說明，便于讀者查詢。梁哲銘、姜雨奇、何智禹等同學積極參與了本教材的寫作、試用，付出了辛勤的勞動。由于編者水平有限，教材內(nèi)容難免存在疏漏，懇請廣大師生批評指正。編者2023年5月于武漢