第1章 問題求解 1
1.1 問題求解 1
1.1.1 喬治?波利亞解題法 1
1.1.2 解題策略 2
1.1.3 幾個數(shù)學原則 7
練習1.1 11
1.2 歸納推理和演繹推理 14
1.2.1 歸納推理 15
1.2.2 錯誤的歸納推理 17
1.2.3 演繹推理 18
練習1.2 20
1.3 估計 23
1.3.1 舍入法 23
1.3.2 相容數(shù)字法 23
1.3.3 估計圖形數(shù)據(jù) 24
練習1.3 27
本章復習題 30
本章測試 31
第2章 集合論 32
2.1 集合語言 32
2.1.1 集合的表示法 32
2.1.2 定義明確的集合 34
2.1.3 元素符號 35
2.1.4 基數(shù) 35
練習2.1 36
2.2 集合比較 39
2.2.1 集合相等 39
2.2.2 等價集合 39
2.2.3 子集 40
2.2.4 維恩圖 40
練習2.2 43
2.3 集合運算 46
2.3.1 并集 46
2.3.2 交集 47
2.3.3 補集 48
2.3.4 差集 49
2.3.5 運算順序 49
練習2.3 52
2.4 調(diào)查問題 54
2.4.1 命名維恩圖 54
2.4.2 調(diào)查問題 55
2.4.3 調(diào)查問題中的矛盾 58
練習2.4 59
2.5 深入觀察：無限集合 62
2.5.1 無限集合 63
2.5.2 可數(shù)集合 63
2.5.3 基數(shù)c 64
練習2.5 65
本章復習題 65
本章測試 66
第3章 邏輯 68
3.1 命題、聯(lián)結(jié)詞和量詞 68
3.1.1 命題 68
3.1.2 聯(lián)結(jié)詞 69
3.1.3 量詞 71
3.1.4 量詞的否定 72
練習3.1 73
3.2 真值表 75
3.2.1 真值表 76
3.2.2 復合命題 77
3.2.3 邏輯等價命題 79
3.2.4 德?摩根定律 80
3.2.5 三值邏輯 82
練習3.2 83
3.3 條件和雙條件 85
3.3.1 條件 85
3.3.2 條件的派生形式 87
3.3.3 條件的替代用語 88
3.3.4 雙條件 89
練習3.3 89
3.4 論證的驗證 92
3.4.1 論證的驗證 92
3.4.2 無效論證 94
3.4.3 有效論證形式和謬誤 95
練習3.4 96
3.5 用歐拉圖驗證三段論 99
3.5.1 有效三段論 99
3.5.2 無效三段論 100
練習3.5 103
3.6 深入觀察：模糊邏輯 105
3.6.1 模糊命題 105
3.6.2 模糊聯(lián)結(jié)詞 105
3.6.3 模糊決策 107
練習3.6 108
本章復習題 110
本章測試 111
第4章 圖論（網(wǎng)絡） 112
4.1 圖、謎題和地圖著色 112
4.1.1 圖的術(shù)語 112
4.1.2 一筆畫 113
4.1.3 歐拉定理 114
4.1.4 弗羅萊算法 117
4.1.5 圖的歐拉化 118
4.1.6 地圖著色 119
練習4.1 122
4.2 旅行推銷員問題 126
4.2.1 哈密頓路徑 127
4.2.2 查找哈密頓回路 127
4.2.3 暴力破解算法 130
4.2.4 最近鄰算法 131
4.2.5 最佳邊算法 133
練習4.2 134
4.3 有向圖 137
4.3.1 有向圖 137
4.3.2 影響力建模 138
4.3.3 疾病建模 140
練習4.3 141
4.4 深入觀察：PERT圖及其應用 144
4.4.1 PERT圖 144
4.4.2 高效日程安排 146
練習4.4 149
本章復習題 151
本章測試 153
第5章 數(shù)系 154
5.1 數(shù)系的演變 154
5.1.1 埃及數(shù)系 154
5.1.2 羅馬數(shù)系 157
5.1.3 中國數(shù)系 159
練習5.1 160
5.2 位值數(shù)系 162
5.2.1 巴比倫數(shù)系 163
5.2.2 瑪雅數(shù)系 164
5.2.3 印度－阿拉伯數(shù)系 166
5.2.4 排槳帆船法和奈皮爾乘除器 167
練習5.2 169
5.3 其他進位基數(shù) 171
5.3.1 非十進制 171
5.3.2 非十進制算術(shù)運算 174
5.3.3 二進制、八進制和十六進制 178
練習5.3 179
5.4 深入觀察：模數(shù)系 181
5.4.1 模m數(shù)系 181
5.4.2 模m數(shù)系運算 183
5.4.3 解同余 184
練習5.4 186
本章復習題 188
本章測試 188
第6章 數(shù)論和實數(shù)系 190
6.1 數(shù)論 190
6.1.1 素數(shù) 190
6.1.2 整除性檢驗方法和因數(shù)分解 192
6.1.3 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 194
6.1.4 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的
應用 197
練習6.1 198
6.2 整數(shù) 200
6.2.1 整數(shù)的加減 201
6.2.2 整數(shù)的乘除 202
練習6.2 204
6.3 有理數(shù) 206
6.3.1 有理數(shù)相等 206
6.3.2 有理數(shù)的加減 208
6.3.3 有理數(shù)的乘除 209
6.3.4 帶分數(shù) 211
6.3.5 循環(huán)小數(shù) 212
練習6.3 214
6.4 實數(shù)系 216
6.4.1 無理數(shù) 217
6.4.2 根式計算 219
6.4.3 實數(shù)的應用 219
6.4.4 實數(shù)的性質(zhì) 221
練習6.4 223
6.5 指數(shù)和科學記數(shù)法 226
6.5.1 指數(shù) 226
6.5.2 科學記數(shù)法 228
6.5.3 科學記數(shù)法的應用 230
練習6.5 231
6.6 深入觀察：數(shù)列 233
6.6.1 等差數(shù)列 234
6.6.2 等比數(shù)列 236
6.6.3 斐波那契數(shù)列 238
練習6.6 240
本章復習題 242
本章測試 242
第7章 代數(shù)模型 244
7.1 線性方程 244
7.1.1 解線性方程 244
7.1.2 截點 246
7.1.3 直線的斜截式 249
練習7.1 250
7.2 線性方程建模 253
7.2.1 一個點和斜率建模 254
7.2.2 兩點建模 255
7.2.3 最佳擬合直線 256
練習7.2 258
7.3 二次方程建模 260
7.3.1 二次公式 261
7.3.2 二次方程作圖 262
7.3.3 二次方程建模 263
練習7.3 265
7.4 指數(shù)方程和增長 267
7.4.1 指數(shù)增長 267
7.4.2 指數(shù)模型 270
7.4.3 邏輯斯蒂模型 273
練習7.4 275
7.5 比例和變分 277
7.5.1 比和比例 278
7.5.2 捕獲－再捕獲法 279
7.5.3 變分 279
練習7.5 282
7.6 線性方程組和不等式組建模 285
7.6.1 線性方程組 285
7.6.2 消元法解方程組 286
7.6.3 方程組建模 289
7.6.4 解線性不等式 291
7.6.5 解不等式組 293
7.6.6 不等式組建模 294
練習7.6 295
7.7 深入研究：動力系統(tǒng) 299
7.7.1 動力系統(tǒng) 299
7.7.2 平衡值和穩(wěn)定性 301
練習7.7 303
本章復習題 304
本章測試 306
第8章 消費者數(shù)學 308
8.1 百分數(shù)、稅收和通貨膨脹 308
8.1.1 百分數(shù) 308
8.1.2 變化百分比 309
8.1.3 百分比等式 310
8.1.4 稅收 312
8.1.5 通貨膨脹 313
練習8.1 314
8.2 利息 316
8.2.1 單利 317
8.2.2 復利 318
8.2.3 求復利公式中的未知數(shù) 319
練習8.2 323
8.3 消費貸款 325
8.3.1 附加利息法 326
8.3.2 未付余額法 327
8.3.3 日均余額法 328
8.3.4 利息費用計算方法之比較 330
練習8.3 330
8.4 年金 333
8.4.1 計算年金 333
8.4.2 累積基金 336
練習8.4 338
8.5 分期償還貸款 340
8.5.1 分期償還 340
8.5.2 分期償還計劃 342
8.5.3 計算年金的現(xiàn)值 343
8.5.4 為貸款再融資 344
練習8.5 346
8.6 深入觀察：年百分率 348
8.6.1 計算年百分率 348
8.6.2 估算年百分率 351
練習8.6 352
本章復習題 353
本章測試 354
第9章 幾何 356
9.1 線、角和圓 356
9.1.1 點、線和面 356
9.1.2 角 357
9.1.3 圓 360
練習9.1 362
9.2 多邊形 365
9.2.1 多邊形 365
9.2.2 多邊形和角 367
9.2.3 相似多邊形 369
練習9.2 371
9.3 周長和面積 375
9.3.1 周長和面積 375
9.3.2 衍生面積公式 375
9.3.3 畢達哥拉斯定理 378
9.3.4 圓 379
練習9.3 382
9.4 體積和表面積 387
9.4.1 體積 387
9.4.2 圓柱 388
9.4.3 圓錐和球體 391
練習9.4 392
9.5 公制和量綱分析 395
9.5.1 公制 395
9.5.2 公制單位 396
9.5.3 公制計量之間的關(guān)系 396
9.5.4 公制換算 396
9.5.5 量綱分析 398
練習9.5 402
9.6 對稱性和密鋪 405
9.6.1 剛體運動 405
9.6.2 對稱性 409
9.6.3 密鋪 410
練習9.6 413
9.7 深入觀察：分形 416
9.7.1 分形 417
9.7.2 長度和面積 419
9.7.3 維數(shù) 420
9.7.4 分形的應用 423
練習9.7 423
本章復習題 424
本章測試 426
第10章 分配 428
10.1 理解分配 428
10.1.1 漢彌爾頓分配法 429
10.1.2 衡量公平性 430
練習10.1 433
10.2 亨廷頓－希爾分配原則 435
10.2.1 分配準則 435
10.2.2 亨廷頓－希爾法 436
10.2.3 分配風電場聯(lián)合體董事會
成員 437
10.2.4 其他應用 438
10.2.5 亨廷頓－希爾原則的推導 439
練習10.2 440
10.3 其他悖論和分配法 442
10.3.1 標準除數(shù)和標準配額 443
10.3.2 更多分配悖論 445
10.3.3 其他分配法 447
練習10.3 450
10.4 深入觀察：公平分配 453
10.4.1 公平分配 453
10.4.2 密封投標法 454
練習10.4 457
本章復習題 460
本章測試 461
第11章 投 票 462
11.1 投票方法 462
11.1.1 相對多數(shù)法 462
11.1.2 波達計數(shù)法 463
11.1.3 末位淘汰法 465
11.1.4 成對比較法 466
練習11.1 468
11.2 投票方法的缺陷 471
11.2.1 絕對多數(shù)準則 471
11.2.2 孔多塞準則 472
11.2.3 無關(guān)因素獨立性準則 473
11.2.4 單調(diào)性準則 475
練習11.2 477
11.3 加權(quán)投票系統(tǒng) 479
11.3.1 加權(quán)投票系統(tǒng) 480
11.3.2 聯(lián)盟 481
11.3.3 班扎夫權(quán)力指數(shù) 482
練習11.3 485
11.4 深入觀察：夏普利?舒比克指數(shù) 487
11.4.1 排列 487
11.4.2 核心投票者 488
11.4.3 夏普利?舒比克指數(shù) 489
練習11.4 491
本章復習題 493
本章測試 494
第12章 計數(shù) 496
12.1 計數(shù)方法簡介 496
12.1.1 系統(tǒng)化計數(shù) 496
12.1.2 樹圖 497
12.1.3 樹圖可視化 500
練習12.1 501
12.2 基本計數(shù)原理 504
12.2.1 基本計數(shù)原理 504
12.2.2 槽位圖 505
12.2.3 特殊條件處理 506
練習12.2 507
12.3 排列組合 510
12.3.1 排列 510
12.3.2 階乘表示法 512
12.3.3 組合 513
12.3.4 計數(shù)方法組合 515
練習12.3 518
12.4 深入觀察：計數(shù)和賭博 521
12.4.1 基本計數(shù)原理在賭博中的
應用 521
12.4.2 計數(shù)和撲克牌 522
練習12.4 524
本章復習題 525
本章測試 525
第13章 概率 527
13.1 概率論基礎 527
13.1.1 樣本空間和事件 527
13.1.2 計數(shù)和概率 530
13.1.3 幾率 533
13.1.4 概率和遺傳學 534
練習13.1 536
13.2 事件的補集和并集 540
13.2.1 事件的補集 540
13.2.2 事件的并集 541
13.2.3 補集公式和并集公式的
組合 543
練習13.2 544
13.3 條件概率和事件的交集 547
13.3.1 條件概率 547
13.3.2 事件的交集 550
13.3.3 概率樹 552
13.3.4 相依事件和獨立事件 554
練習13.3 555
13.4 期望值 558
13.4.1 期望值 559
13.4.2 碰運氣游戲的期望值 560
13.4.3 期望值的其他應用 562
練習13.4 563
13.5 深入觀察：二項試驗 566
13.5.1 二項概率 566
13.5.2 二項概率的應用 568
練習13.5 570
本章復習題 571
本章測試 572
第14章 描述性統(tǒng)計 574
14.1 數(shù)據(jù)的組織和可視化 574
14.1.1 總體和樣本 574
14.1.2 頻數(shù)表 575
14.1.3 數(shù)據(jù)可視化表達 577
14.1.4 莖葉圖 580
練習14.1 581
14.2 集中趨勢的測度 585
14.2.1 平均數(shù)和中位數(shù) 585
14.2.2 五數(shù)概括 589
14.2.3 集中趨勢的測度對比 591
練習14.2 592
14.3 離散趨勢的測度 596
14.3.1 數(shù)據(jù)集的極差 597
14.3.2 標準差 597
14.3.3 離散系數(shù) 600
練習14.3 602
14.4 正態(tài)分布 605
14.4.1 正態(tài)分布 605
14.4.2 z值 607
14.4.3 原始值轉(zhuǎn)換為z值 610
14.4.4 應用 612
練習14.4 614
14.5 深入觀察：線性相關(guān) 617
14.5.1 散點圖 617
14.5.2 線性相關(guān) 617
14.5.3 最佳擬合線 620
練習14.5 621
本章復習題 622
本章測試 623