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《廣東省專(zhuān)升本考試考點(diǎn)精要·高等數(shù)學(xué)》包含廣東省普通高校專(zhuān)科應(yīng)屆畢業(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)招生考試要求的高等數(shù)學(xué)科目的基本內(nèi)容。本書(shū)結(jié)合廣東省專(zhuān)升本考試范圍、試卷評(píng)分、重難點(diǎn)知識(shí)以及近15年考試試題, 由中公教育廣東專(zhuān)升本考試研究院精心編寫(xiě)。本書(shū)共包含八章內(nèi)容: 第一章為函數(shù)、極限、連續(xù), 主要講解函數(shù)、極限、連續(xù)的定義、運(yùn)算及其基本性質(zhì); 第二章為一元函數(shù)微分學(xué), 主要講解導(dǎo)數(shù)與微分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算, 微分中值定理, 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用; 第三章為一元函數(shù)積分學(xué), 主要講解原函數(shù)的概念, 不定積分的計(jì)算。

章函數(shù)、極限與連續(xù) 考情綜述考試大綱1.映射與函數(shù) （1）函數(shù)的定義域；（2）函數(shù)的性質(zhì) 2.極限（1）數(shù)列的極限；（2）函數(shù)的極限；（3）無(wú)窮小與無(wú)窮大；（4）極限運(yùn)算法則；（5）極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限；（6）無(wú)窮小的比較 3.連續(xù) （1）函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；（2）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性；（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)重難點(diǎn)重點(diǎn)1.極限的概念與計(jì)算； 2.函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)難點(diǎn)1.極限的概念； 2.無(wú)窮小的比較； 3.函數(shù)的間斷點(diǎn)真題分布年份知識(shí)點(diǎn)占比2022函數(shù)連續(xù)求參數(shù)、重要極限、無(wú)窮小的比較、洛必達(dá)法則求極限15%2021等價(jià)無(wú)窮小替換、函數(shù)的間斷點(diǎn)、無(wú)窮小的比較、函數(shù)極限的計(jì)算15%2020極限的四則運(yùn)算、函數(shù)的連續(xù)性6%2019函數(shù)極限存在的條件、函數(shù)的間斷點(diǎn)6%2018無(wú)窮小的性質(zhì)、重要極限、函數(shù)的連續(xù)性9%2017極限的計(jì)算、重要極限、等價(jià)無(wú)窮小替換9%2016函數(shù)的連續(xù)性、重要極限、無(wú)窮小的比較11%2015無(wú)窮小的比較、函數(shù)的連續(xù)性9%考點(diǎn)精析知識(shí)框架基礎(chǔ)知識(shí)精講一、函數(shù) （一）函數(shù)的概念及表示法 1.定義設(shè)x與y是兩個(gè)變量，D是實(shí)數(shù)集R的某個(gè)非空子集，若對(duì)于D中的每一個(gè)x，按照對(duì)應(yīng)法則f，總有確定的值y與之對(duì)應(yīng)，則稱因變量y為自變量x的函數(shù)，記作y=f（x）。這里的D稱為函數(shù)f的定義域，相應(yīng)的函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域。
    【注】①兩個(gè)元素的集之間元素相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系稱為映射，函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，它包括兩大要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。
    ②函數(shù)和變量的選取無(wú)關(guān)，只要定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，不管用什么變量表示函數(shù)的自變量和因變量，函數(shù)都是一樣的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一個(gè)函數(shù)。
    2.表示法表示函數(shù)的主要方法有三種：解析法（公式法）、表格法、圖形法。
    （1）解析法（公式法）：用數(shù)學(xué)式表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法。
    （2）表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法。
    （3）圖形法：用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{P（x,y）y=f（x）,x∈D}來(lái)表示函數(shù)的方法。
    （二）函數(shù)的性質(zhì) 1.有界性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD。如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于任一x∈X，都有f（x）≤M，則稱f（x）在X上有界。如果這樣的M不存在，則稱f（x）在X上無(wú)界。
    【注】①函數(shù)的有界性也可以通過(guò)上、下界的方式來(lái)定義：如果存在實(shí)數(shù)m和M，使得對(duì)任一x∈X，都有m≤f（x）≤M，則稱函數(shù)f（x）在X上有界。其中m和M分別稱為函數(shù)f（x）在X上的下界和上界。
    ②在上述定義中，m（M）是函數(shù)f（x）在X上的下（上）界，則任何比m�。ū萂大）的數(shù)，都是f（x）在X上的下（上）界。
    ③函數(shù)在X上有界的充要條件是它在X上既有上界又有下界。
    2.單調(diào)性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID。如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。
    單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。
    （1）單調(diào)性的性質(zhì)： ①如果f1（x）,f2（x）都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則f1（x）+f2（x）也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。
    ②設(shè)f（x）是增函數(shù)，如果常數(shù)C＞0，則C·f（x）是增函數(shù)；如果常數(shù)C＜0，則C·f（x）是減函數(shù)。
    ③如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相同，則函數(shù)y=f［g（x）］為增函數(shù)，如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相反，則函數(shù)y=f［g（x）］為減函數(shù)。
    （2）常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：常見(jiàn)函數(shù)單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間y=x2+ax+b- a2,+∞-∞,- a2y=ex（-∞,+∞）無(wú)y=lnx（0,+∞）無(wú)y=sinx2kπ- π2,2kπ+ π22kπ+ π2,2kπ+ 3π2y=cosx［2kπ-π,2kπ］［2kπ,2kπ+π］y=1x無(wú)（-∞,0），（0,+∞）3.奇偶性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果對(duì)于任一x∈D，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù)；如果對(duì)于任一x∈D，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)。
    （1）奇偶性的性質(zhì)： ①偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
    ②如果f1（x）和f2（x）都是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），則對(duì)任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1 f1（x）+k2 f2（x）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。
    ③如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相同，則f1（x）·f2（x）為偶函數(shù)；如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相反，則f1（x）·f2（x）為奇函數(shù)。
    （2）常見(jiàn)的偶函數(shù)： y=xk（k為偶數(shù)），y=cosx，y=x， f（x），f（x）+f（-x）2， f（x）·f（-x），其中f（x）是定義在對(duì)稱區(qū)間上的任意函數(shù)。
    常見(jiàn)的奇函數(shù)： y=xk（k為奇數(shù)），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln（x+1+x2）， f（x）-f（-x）2，其中f（x）是定義在對(duì)稱區(qū)間上的任意函數(shù)。
    4.周期性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)任一x∈D有x±T∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期。一般周期函數(shù)的周期是指小正周期。
    【注】①如果f（x）以T為小正周期，則對(duì)任意的非零常數(shù)C，Cf（x）仍然以T為小正周期， f（Cx）以TC為小正周期。
    ②如果f1（x）和f2（x）都以T為周期，則對(duì)于任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1f1（x）+k2f2（x）仍然以T為周期。注意這時(shí) 小正周期有可能縮小，如f1（x）=cos2x+sinx,f2（x）=sinx都以2π為小正周期，但f1（x）-f2（x）=cos2x以π為小正周期。
    （三）函數(shù)的運(yùn)算 1.四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的定義域分別為D1和D2，且D=D1∩D2≠，則這兩個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算之后能形成新的函數(shù)：和（差）運(yùn)算：f（x）±g（x），x∈D；積運(yùn)算：f（x）·g（x），x∈D；商運(yùn)算：f（x）g（x），x∈D＼{xg（x）=0,x∈D}。
    2.復(fù)合函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f（u）的定義域?yàn)镈1，函數(shù)u=g（x）的定義域?yàn)镈2。如果g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1，則可以定義函數(shù)y=f［g（x）］，x∈D2為函數(shù)f（u）與g（x）的復(fù)合函數(shù)，記作y=f［g（x）］或fg。
    【注】①?gòu)?fù)合函數(shù)的基本思想是把y=f（x）,x∈D1中的x進(jìn)行推廣，變成一個(gè)新的函數(shù)，這是我們認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)的基本方式。
    ②注意能夠進(jìn)行復(fù)合的前提條件是g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1。如果該條件不滿足，只要g（x）的值域g（D2）和f（u）的定義域D1的交集不是空集，復(fù)合運(yùn)算也可以進(jìn)行，只不過(guò)此時(shí)復(fù)合之后函數(shù)的定義域變成了{(lán)xx∈D2且g（x）∈D1}。
    3.反函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，其值域?yàn)閒（D）。如果對(duì)于每一個(gè)y∈f（D），都有確定的x∈D，使得y=f（x）（我們將該對(duì)應(yīng)法則記作f -1），則這個(gè)定義在f（D）上的函數(shù)x=f -1（y）就稱為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)。
    【注】①不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)。函數(shù)y=f（x）,x∈D存在反函數(shù)的充要條件是對(duì)于定義域D中任意兩個(gè)不相等的自變量x1,x2，有f（x1）≠f（x2）。一般來(lái)說(shuō)，嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)一定有反函數(shù)。
    ②在同一坐標(biāo)平面上，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。
    （四）常見(jiàn)的函數(shù)類(lèi)型 1.初等函數(shù) （1）常用的基本初等函數(shù)有五類(lèi)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。
    函數(shù) 名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖像函數(shù)的性質(zhì)指數(shù) 函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）a）不論x為何值，y總為正數(shù); b）當(dāng)x=0時(shí)，y=1對(duì)數(shù) 函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1） a）其圖像總位于y軸右側(cè)，恒過(guò)（1，0）點(diǎn)； b）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=logax在區(qū)間（0，1）的值為負(fù)，在區(qū)間（1，+∞）的值為正，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增冪函數(shù)y=xa，a為任意實(shí)數(shù) 這里只畫(huà)出部分函數(shù)圖像的象限部分令a=mn（mn是簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)），則 a）當(dāng)m為偶數(shù)、n為奇數(shù)時(shí)，xa是偶函數(shù); b）當(dāng)m，n都是奇數(shù)時(shí)，xa是奇函數(shù)； c）當(dāng)m為奇數(shù)、n為偶數(shù)時(shí)，xa沒(méi)有奇偶性（續(xù)表）函數(shù) 名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖像函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)y=sinx（正弦函數(shù)）這里只寫(xiě)出了正弦函數(shù) a）正弦函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)； b）正弦函數(shù)是奇函數(shù)且sinx≤1反三角函數(shù)y=arcsinx（反正弦函數(shù)）這里只寫(xiě)出了反正弦函數(shù)由于此對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)多值函數(shù)，因此將此值域限制在- π2，π2，并稱其為反正弦函數(shù)的主值（2）初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)。
    2.分段函數(shù) （1）分段函數(shù)的基本形式： f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，︙︙fn（x），x∈In。
    （2）隱含的分段函數(shù)： ① 值函數(shù)： f（x）=x=x，x≥0，-x，x＜0，其定義域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。
    ②取整函數(shù)：f（x）=［x］表示不超過(guò)x的整數(shù)。
    ③ 值、小值函數(shù)：y=max{f（x），g（x）}，y=min{f（x），g（x）}。
    3.隱函數(shù) 如果變量x和y滿足方程F（x,y）=0，當(dāng)x取區(qū)間I內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的的y值存在，則這樣確定的函數(shù)關(guān)系y=y（x）稱為由方程F（x,y）=0確定的隱函數(shù)。
    4.由參數(shù)方程定義的函數(shù) 若參數(shù)方程x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β確定了y與x間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。
    二、極限（一）極限的概念 1.數(shù)列極限設(shè){xn}為一數(shù)列，a為常數(shù)，則limn→∞xn=a對(duì)任意的ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，有xn-a＜ε。
    【注】①數(shù)列極限limn→∞xn=a的含義：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的值無(wú)限趨近于a。
    ②對(duì)極限過(guò)程n→∞要注意兩點(diǎn)：一是這里的無(wú)窮一定是正無(wú)窮；二是n只能取正整數(shù)。
    2.函數(shù)極限設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，A為一個(gè)常數(shù)，則limx→∞ f（x）=A對(duì)任意的ε＞0，存在X＞0，使得當(dāng)x＞X時(shí)，有f（x）-A＜ε。類(lèi)似可定義limx→+∞ f（x）=A，limx→-∞ f（x）=A。
    【注】①函數(shù)極限limx→∞ f（x）=A的含義：當(dāng)x的值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于A。注意這里的x可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。
    ②limx→∞ f（x）=A的充要條件是limx→-∞ f（x）=limx→+∞ f（x）=A。
    設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，A為一個(gè)常數(shù)，則limx→x0 f（x）=A對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，當(dāng)0＜x-x0＜δ時(shí)，有f（x）-A＜ε。
    【注】①注意這里

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