前 言 在當(dāng)今的數(shù)字時(shí)代，數(shù)學(xué)作為一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)，它化繁為簡(jiǎn)，直擊事物本質(zhì)的思考方法，給很多事物以“透視眼”的思考力度，讓很多人從中受益。那些能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的人，哪怕就是在日常生活和工作中做起事來(lái)也是一通百通，事半功倍，這也就是為什么數(shù)學(xué)無(wú)論是在中考還是在高考中都作為必考學(xué)科的原因吧！它可以說(shuō)是現(xiàn)代人的必備素養(yǎng)，而學(xué)好數(shù)學(xué)常常能讓你比別人有更多機(jī)會(huì)在眾人面前脫穎而出！ 數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么學(xué)？事實(shí)上，很多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人會(huì)對(duì)它產(chǎn)生厭惡、自卑，逐漸地失去學(xué)好它的信心，這又是為什么呢？這既不是我們?nèi)吮旧淼膯?wèn)題，也不是數(shù)學(xué)的問(wèn)題，而是因?yàn)槲覀兒蛿?shù)學(xué)之間缺失了一座橋梁。 作者從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育20多年來(lái)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)周圍人對(duì)數(shù)學(xué)教育的普遍觀點(diǎn)是“數(shù)學(xué)是思維的體操”、是“計(jì)算和邏輯”、是“做題和考試”等等。因此，當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)的數(shù)學(xué)好學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)但知識(shí)面較窄；能攻抽象難題但缺乏解決實(shí)際問(wèn)題的能力；有很強(qiáng)的好勝心但好奇心不足。這些現(xiàn)象導(dǎo)致了學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門“與實(shí)際無(wú)關(guān)”“枯燥乏味”“抽象晦澀”的學(xué)科，從而大部分學(xué)生為了升學(xué)不得不學(xué)，升學(xué)考試結(jié)束也就快速拋之腦后了！ 面對(duì)上述情況，我們以往的策略是通過(guò)教研活動(dòng)讓老師們不斷改進(jìn)教學(xué)方法，以便讓思維的體操不那么難學(xué)；通過(guò)教育學(xué)生要刻苦學(xué)習(xí)，以便老師在“灌輸”或“引導(dǎo)”時(shí)不那么“費(fèi)勁”。雖然多年前的教改就強(qiáng)調(diào)以“以人為本”“教師和學(xué)生雙主體”等，但這些仍停留在“怎么教”和“怎樣學(xué)”上，最近全國(guó)推行的數(shù)學(xué)課程改革加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用和實(shí)踐的內(nèi)容，“數(shù)學(xué)建�！眱�(nèi)容已經(jīng)在高中課本中獨(dú)立成章了；“項(xiàng)目化學(xué)習(xí)”也如火如荼地開展起來(lái)；改革方向已經(jīng)朝著解決“教什么”和“學(xué)什么”的問(wèn)題轉(zhuǎn)變了，相信不久的將來(lái)必將在初中課本中有所體現(xiàn)。 新課改理念中突出強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)將培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”貫穿于整個(gè)課程始終，本書試圖從“數(shù)學(xué)史料”“數(shù)學(xué)故事”“數(shù)學(xué)名題”“數(shù)學(xué)名家”等不同角度，用真實(shí)的歷史史料和人物故事作為背景，讓讀者首先了解數(shù)學(xué)不是憑空而來(lái)的，它是成千上萬(wàn)的普通人因?yàn)楹闷嫘亩�不斷探索得�?lái)的，而這些原本帶著好奇心的普通人向前探索的結(jié)果不但為大家開發(fā)了了不起的認(rèn)識(shí)世界的數(shù)學(xué)工具，自己同時(shí)也變成了了不起的數(shù)學(xué)家。有了好奇心還不夠，我們還為讀者再現(xiàn)了這些普通人當(dāng)時(shí)是通過(guò)怎樣的奇思妙想才發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法或發(fā)明了數(shù)學(xué)工具，進(jìn)而為讀者架起一座通往建立“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的橋梁，讓讀者身臨其境地感受數(shù)學(xué)歷史上的風(fēng)風(fēng)雨雨，體會(huì)那些帶有好奇心的人在追求數(shù)學(xué)真理中的酸甜苦樂(lè)，重現(xiàn)他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的閃光時(shí)刻，從而能更深刻地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，并受到他們的感染也加入到探索數(shù)學(xué)未知世界的行列中來(lái)，最起碼不會(huì)再畏懼?jǐn)?shù)學(xué)的枯燥和抽象，因?yàn)樗鼈兌际怯醒�有肉的存在�? 本書分三章，重點(diǎn)是為初中學(xué)生科普數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也想為學(xué)生搭一座通往數(shù)學(xué)思維的橋梁，使學(xué)生在閱讀中不斷提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本書根據(jù)人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的先后順序，分別從“算術(shù)、幾何、代數(shù)”中抽取了相對(duì)有趣和重要的歷史故事、事件和人物，讓讀者多角度體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。比如對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)抽象”，通過(guò)閱讀書中的故事，讀者能總結(jié)出： 數(shù)學(xué)的抽象不是憑空而來(lái)的，因?yàn)槲覀內(nèi)祟愂强拷?jīng)驗(yàn)感知世界并認(rèn)識(shí)世界的，但是隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展過(guò)程中總是有些規(guī)律是不變的，先輩中的一些有好奇心又聰明的人，把實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)感知的不變規(guī)律通過(guò)剝離外在表象，用最簡(jiǎn)潔的符號(hào)（如1、 x等）代表研究對(duì)象，并把它們之間的關(guān)系用盡可能簡(jiǎn)練的形式表達(dá)出來(lái)，這就有了數(shù)學(xué)表達(dá)。 再比如書中通過(guò)講述畢達(dá)哥拉斯定理的故事讓讀者體會(huì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)邏輯”，大家熟悉的勾股定理為什么在國(guó)際上叫畢達(dá)哥拉斯定理？雖然早在公元前1000年商朝的商高發(fā)現(xiàn)了勾三、股四、弦五，這一時(shí)間比畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)此定理早五六百年，非常可惜的是，我們并沒有發(fā)現(xiàn)商高提供更詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明，現(xiàn)存發(fā)現(xiàn)的我國(guó)獨(dú)立證明勾股定理的證據(jù)是在畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)并證明了這個(gè)定理后大概三四百年，西漢中期的數(shù)學(xué)家在《九章算術(shù)》中給出了勾股定理的完整證明。而西方數(shù)學(xué)界認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯定理是奠定了數(shù)學(xué)證明的邏輯基礎(chǔ)，它在幾何學(xué)中有著極其重要的基礎(chǔ)性地位，這種邏輯證明思想不同于生活實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，它舍棄了感性的外衣，完全是理性的邏輯產(chǎn)物，它的優(yōu)點(diǎn)是盡可能少的依賴當(dāng)時(shí)的外在條件，所以能穿越歷史，同時(shí)穿透人文形形色色的外衣，比如幾千年前數(shù)學(xué)證明是正確的結(jié)論幾千年后依然正確，再比如人類雖然說(shuō)著千差萬(wàn)別的語(yǔ)言，可是學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本一致，從某種意義上講，后者是更接近大自然本質(zhì)的語(yǔ)言。 其次，也是更重要的，是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和再認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)思維方式的提升，為了達(dá)到這一目的，我們關(guān)鍵是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要有透徹理解，要想做到這一點(diǎn)還要從像畢達(dá)哥拉斯或是歐幾里德這樣的數(shù)學(xué)家的思維方式說(shuō)起，從他們那個(gè)時(shí)代的視角再審視知識(shí)演變的過(guò)程，甚至是經(jīng)歷的各種磨難，我們就能更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)是如何發(fā)展的，從而使數(shù)學(xué)變成活的、有生命的知識(shí)體系。 作為數(shù)學(xué)科普讀物，本書主要面對(duì)的是中小學(xué)生，尤其適合初中這一承上啟下年齡階段的學(xué)生閱讀，目的就是要為讀者建立一座通往理解數(shù)學(xué)的橋梁。 下面舉例來(lái)感受一下數(shù)學(xué)角度思考問(wèn)題與其他角度思考問(wèn)題的不同。20世紀(jì)90年代，在祖國(guó)改革開放的前沿浦東新區(qū)陸家嘴建起了一座當(dāng)時(shí)中國(guó)最高的摩天大樓——金茂大廈，人們站在它的腳下不禁駐足思量：這地標(biāo)建筑有多高？ 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們找來(lái)熟悉它的歷史的人問(wèn)一問(wèn)當(dāng)然能得到準(zhǔn)確答案，但如果你想通過(guò)這個(gè)問(wèn)題推測(cè)一下你周圍人的教育背景也是可以的。 比如學(xué)文學(xué)的人喜歡用語(yǔ)言對(duì)事物進(jìn)行描述，可能會(huì)說(shuō)諸如“高大宏偉、直穿云霄”等系列詞匯對(duì)金茂大廈的高度進(jìn)行描述，這些詞匯給了你美的享受和充分的想象空間，不過(guò)你卻不能據(jù)此準(zhǔn)確得知它的高度。 學(xué)物理背景的人習(xí)慣用實(shí)驗(yàn)的方法處理問(wèn)題，要想知道金茂大廈的高度，按照實(shí)驗(yàn)的思想是“拿根繩子量一量”： 從樓頂?shù)跸乱桓�繩子直達(dá)樓底，記下從樓頂?shù)綐堑桌K子的長(zhǎng)度，這就是金茂大廈的高度。盡管這個(gè)做法不算簡(jiǎn)單，也不一定具有可移植性。比如，要測(cè)量一根豎立在地面上又細(xì)又長(zhǎng)的鋼管，人們就無(wú)法站到鋼管頂部，但是這個(gè)做法確實(shí)可以非常直觀地給出準(zhǔn)確答案。 如果是學(xué)數(shù)學(xué)的人遇到這樣的問(wèn)題，其處理方式會(huì)有很大不同。他善于對(duì)事物進(jìn)行類比，因此會(huì)選取一個(gè)標(biāo)尺，借助陽(yáng)光，利用標(biāo)尺與大廈投影的長(zhǎng)度及相似原理測(cè)出大廈的高度；他擅長(zhǎng)將事物進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此可能通過(guò)直角三角形的直角邊長(zhǎng)與其對(duì)角的依賴關(guān)系，把大廈高度的測(cè)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)仰視角的測(cè)量問(wèn)題.他沒有爬上樓頂，但能準(zhǔn)確得到樓頂?shù)降孛娴木嚯x；他沒有豐富的詞匯但卻能用數(shù)據(jù)告訴你大廈的雄偉。他的方法不僅可以用來(lái)測(cè)量大廈，還可以移作他用。這就是數(shù)學(xué)的威力——方法簡(jiǎn)潔、結(jié)論可靠、適用廣泛。 書中同時(shí)回答了數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用和人們以后從事職業(yè)的數(shù)學(xué)要求，比如是否每一個(gè)人都要學(xué)好數(shù)學(xué)呢？那要看你對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度和將來(lái)要做的工作，不同的工作對(duì)數(shù)學(xué)見識(shí)的要求也不同： 如果將來(lái)是從事藝術(shù)類的，那最好要知道畢達(dá)哥拉斯發(fā)明的五度相生律；從事設(shè)計(jì)的，最起碼要知道畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的黃金分割吧！ 如果把數(shù)學(xué)比喻成一座宮城，這些都是相當(dāng)于你到數(shù)學(xué)宮城做個(gè)參觀者，看看甚至摸一摸數(shù)學(xué)宮城的外表，數(shù)學(xué)宮城的每個(gè)宮殿可不是隨便為你敞開的，進(jìn)城我們需要修橋，進(jìn)入宮殿還需要每個(gè)宮殿的鑰匙，而且很多宮殿都是層層嵌套的，宮殿之間的道路也是錯(cuò)綜復(fù)雜、迷路重重的。對(duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度很重要，當(dāng)你對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)充滿渴望和向往時(shí)，就會(huì)時(shí)不時(shí)有宮人（靈感）現(xiàn)身在你面前帶你繞過(guò)迷路，但當(dāng)你并不覺得這些宮殿有什么了不起，并產(chǎn)生畏難情緒時(shí)，就經(jīng)常會(huì)迷失在路上，心煩意亂。當(dāng)你今后的工作是跟經(jīng)濟(jì)學(xué)，如會(huì)計(jì)、金融方向相關(guān)，就相當(dāng)于要在其中幾個(gè)宮殿拿到鑰匙，并且還要此宮的人傳你些“法寶”，如果今后向物理和計(jì)算機(jī)專業(yè)發(fā)展，那就不光需要傳些“法寶”，甚至要他們傳授“秘術(shù)”了；當(dāng)然最厲害的要數(shù)有志成為數(shù)學(xué)家的人了，你將被允許終生留在宮殿學(xué)習(xí)“秘術(shù)”，把玩“法寶”，甚至有一天你可能成為某個(gè)宮殿的締造者！ 當(dāng)“橋”建造好了，還需要讀者親自走過(guò)去，人類的天性之一就是擁有好奇心，很多人喜歡懸疑、偵探、科幻小說(shuō)，有些人則喜歡解決諸如樂(lè)高、九連環(huán)、魔方等各種智力游戲，這都是好奇心的外在表現(xiàn)，也是對(duì)人腦思維的一種訓(xùn)練，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很多時(shí)候就是對(duì)事物好奇心的主動(dòng)思考，能夠提高我們對(duì)事物關(guān)系的深層次的、本質(zhì)的理解。 人們?cè)谟^察周圍人的時(shí)候可能會(huì)發(fā)現(xiàn)兩種類型的牛人，一種是思維敏捷的人，另一種是思想深刻的人。無(wú)論想成為哪一類，都是可以通過(guò)后天訓(xùn)練獲得的，訓(xùn)練快速反應(yīng)的有效辦法就是不斷地輸入，比如多聽多看，之后再反復(fù)輸出，比如多說(shuō)多練，使關(guān)聯(lián)的事物和知識(shí)在大腦中形成神經(jīng)聯(lián)結(jié)，在身體上形成肌肉記憶，比如英語(yǔ)聽說(shuō)、打游戲、打球等做得好的人都是這種訓(xùn)練的結(jié)果，而訓(xùn)練深入思考就需要有意識(shí)地練習(xí)環(huán)環(huán)相扣的解套本事，數(shù)學(xué)就是練習(xí)這個(gè)本事非常好的素材，它經(jīng)一系列了不起的人發(fā)展了幾千年，已經(jīng)形成了成套的訓(xùn)練材料，所以學(xué)數(shù)學(xué)更有點(diǎn)像晉級(jí)打怪，一點(diǎn)一點(diǎn)升級(jí)，一個(gè)一個(gè)突破。 本書的完成，除了書末所列的參考文獻(xiàn)外，還參考了其他許多書刊、雜志、網(wǎng)絡(luò)文章，并選用了許多的資料圖片和一些數(shù)學(xué)家的圖像，力求使每一章節(jié)都做到內(nèi)容豐富、圖文并茂。本書主要適用于中小學(xué)生，特別適用于初中生，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課之前如果讀過(guò)書中相應(yīng)的內(nèi)容，不但能使讀者對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景有比較準(zhǔn)確的把握，而且能對(duì)知識(shí)的思維過(guò)程有更深的體會(huì)，從而進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就不再是件辛苦的差事，很可能變成一種樂(lè)趣和享受。 作者 2021年8月