第1部分高等數(shù)學

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)(3)

考點1.1.1函數(shù)的概念及其性質(3)

題型1.1.1.1求分段函數(shù)的復合函數(shù)(3)

題型1.1.1.2求反函數(shù)的表示式(3)

題型1.1.1.3判別函數(shù)的奇偶性(3)

題型1.1.1.4判別變上限積分函數(shù)F(x)=x0f(t)dt的奇偶性(4)

題型1.1.1.5判別（證明）函數(shù)的周期性(5)

考點1.1.2極限的概念與基本性質(6)

題型1.1.2.1正確理解極限定義中ε�睳ε��ε�瞂語言的含義(6)

題型1.1.2.2運用極限的保序性、保號性求解有關問題(6)

題型1.1.2.3數(shù)列極限的概念及其運算性質(7)

考點1.1.3求函數(shù)極限(7)

題型1.1.3.1求00型或型未定式極限(8)

題型1.1.3.2求-型未定式極限(12)

題型1.1.3.3求冪指函數(shù)型（00型、0型、1型）未定式極限(12)

題型1.1.3.4求含根式和或根式差的未定式極限(15)

題型1.1.3.5求需先考查左、右（單側）極限的函數(shù)極限(16)

題型1.1.3.6求含指數(shù)函數(shù)差因子的函數(shù)極限(16)

題型1.1.3.7利用夾逼準則求函數(shù)極限(17)

考點1.1.4數(shù)列極限(17)

題型1.1.4.1數(shù)列極限存在性的判定(17)

題型1.1.4.2由遞推關系式定義的數(shù)列極限存在性的證明及其極限的求法(18)

題型1.1.4.3求數(shù)列極限(20)

題型1.1.4.4求積和式的極限(23)

考點1.1.5無窮小量或無窮大量的比較(26)

題型1.1.5.1無窮小量階的比較(26)

題型1.1.5.2無窮大量階的比較(29)

考點1.1.6已知一極限，確定待定常數(shù)、待定函數(shù)或另一待求極限(30)

題型1.1.6.1已知極限式的極限反求其所含的未知參數(shù)(30)

題型1.1.6.2已知含未知函數(shù)的一極限，求含該函數(shù)的另一函數(shù)極限(38)

考點1.1.7討論函數(shù)的連續(xù)性及間斷點的類型(39)

題型1.1.7.1討論函數(shù)的連續(xù)性(39)

題型1.1.7.2判別函數(shù)f(x)的間斷點的類型(41)

題型1.1.7.3利用連續(xù)性確定待定常數(shù)(45)

題型1.1.7.4利用函數(shù)的連續(xù)性證明方程實根的存在性(45)

第2章一元函數(shù)微分學(48)

考點1.2.1導數(shù)定義的應用(48)

題型1.2.1.1討論函數(shù)在某點的可導性(48)

題型1.2.1.2討論分段函數(shù)的可導性及其導數(shù)的求法(50)

題型1.2.1.3利用導數(shù)定義求極限或導數(shù)(51)

題型1.2.1.4利用導數(shù)定義討論函數(shù)性質(52)

考點1.2.2討論含值函數(shù)的可導性(54)

題型1.2.2.1討論值函數(shù)|f(x)|的可導性(54)

題型1.2.2.2討論函數(shù)f(x)=|(x)|g(x)的可導性(55)

考點1.2.3求一元函數(shù)的導數(shù)和微分(57)

題型1.2.3.1求隱函數(shù)的導數(shù)(57)

題型1.2.3.2求反函數(shù)的導數(shù)(59)

題型1.2.3.3求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)(59)

題型1.2.3.4求某些簡單函數(shù)的高階導數(shù)(62)

題型1.2.3.5求一元函數(shù)的微分(64)

考點1.2.4利用微分中值定理證明中值等式(66)

題型1.2.4.1利用羅爾定理證明中值等式(66)

題型1.2.4.2拉格朗日中值定理在證明與中值等式有關問題上的應用(69)

題型1.2.4.3柯西中值定理的應用(71)

題型1.2.4.4求解高階導數(shù)中值滿足的等式(72)

考點1.2.5利用導數(shù)和極限討論函數(shù)的性態(tài)(73)

題型1.2.5.1判定函數(shù)的單調性(73)

題型1.2.5.2函數(shù)極值點的判定(75)

題型1.2.5.3利用極限式判定函數(shù)是否取得極值(77)

題型1.2.5.4利用方程或函數(shù)導數(shù)圖形討論函數(shù)是否取得極值，其曲線是否有拐點(78)

題型1.2.5.5求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(79)

題型1.2.5.6求函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的值(84)

題型1.2.5.7求函數(shù)的極值(85)

題型1.2.5.8求曲線的漸近線(86)

題型1.2.5.9確定函數(shù)方程存在實根(90)

考點1.2.6利用導數(shù)證明函數(shù)不等式(93)

題型1.2.6.1證明函數(shù)不等式(93)

題型1.2.6.2證明數(shù)值不等式(96)

考點1.2.7導數(shù)的幾何和物理應用(100)

題型1.2.7.1平面曲線方程由顯函數(shù)y=f(x)給出，求其切線和法線方程(100)

題型1.2.7.2曲線方程由隱函數(shù)方程F(x,y)=0給出，求其切線或（和）法線方程(101)

題型1.2.7.3曲線方程由參數(shù)方程x=x(t)

y=y(t)給出，求其切線與法線(102)

題型1.2.7.4曲線方程由極坐標方程r=r()給出，求其切線與法線方程(103)

題型1.2.7.5求解與切線在坐標軸上的截距有關的問題(104)

題型1.2.7.6求解與兩曲線相切有關的問題(105)

題型1.2.7.7求解與曲率有關的問題(105)

題型1.2.7.8求解與變化率有關的問題(107)

第3章一元函數(shù)積分學(109)

考點1.3.1計算不定積分(109)

題型1.3.1.1已知某函數(shù)或其導數(shù)，求其原函數(shù)(109)

題型1.3.1.2計算被積函數(shù)中含有對數(shù)函數(shù)的不定積分(110)

題型1.3.1.3求被積函數(shù)含反三角函數(shù)的不定積分(111)

題型1.3.1.4求被積函數(shù)為兩類不同函數(shù)乘積的不定積分(111)

題型1.3.1.5計算有理分式函數(shù)的不定積分(112)

考點1.3.2計算定積分(113)

題型1.3.2.1用分部積分法或分項法計算定積分(113)

題型1.3.2.2計算需用換元法計算的定積分(114)

題型1.3.2.3利用定積分的重要特性簡化計算定積分(116)

題型1.3.2.4計算被積函數(shù)含抽象函數(shù)導數(shù)或被積函數(shù)導數(shù)已知的積分(118)

題型1.3.2.5計算分段函數(shù)的定積分(119)

題型1.3.2.6比較和估計定積分的大小(120)

考點1.3.3變限積分(122)

題型1.3.3.1求含變限積分的函數(shù)導數(shù)(123)

題型1.3.3.2求分段函數(shù)的變限積分(124)

題型1.3.3.3求與變限積分有關的極限(125)

題型1.3.3.4求變限積分函數(shù)的定積分(127)

題型1.3.3.5討論變限積分函數(shù)的性質(127)

考點1.3.4計算反常積分（廣義積分）(129)

題型1.3.4.1無窮限反常積分斂散性判別及其計算(129)

題型1.3.4.2計算無界函數(shù)的反常積分(132)

題型1.3.4.3判別混合型反常積分的斂散性(134)

考點1.3.5定積分在幾何和物理上的應用(136)

題型1.3.5.1計算平面圖形的面積(137)

題型1.3.5.2已知曲線方程，求其繞坐標軸旋轉所得旋轉體的側面積(表面積)(140)

題型1.3.5.3已知曲線方程，求其繞坐標軸旋轉所得的旋轉體體積(142)

題型1.3.5.4求平面圖形繞平行坐標軸的直線旋轉所得的旋轉體體積(147)

題型1.3.5.5計算平行截面面積已知的立體體積(148)

題型1.3.5.6計算平面曲線的弧長(149)

題型1.3.5.7求解定積分的應用與值問題相結合的綜合題(150)

題型1.3.5.8求函數(shù)在區(qū)間上的平均值(151)

題型1.3.5.9定積分在物理上的應用(152)

第4章多元函數(shù)微分學(156)

考點1.4.1多元函數(shù)微分學中若干基本概念及其聯(lián)系(156)

題型1.4.1.1多元函數(shù)微分學中幾個基本概念(156)

題型1.4.1.2二元函數(shù)在某點極限存在、連續(xù)、可偏導及可微的關系(158)

考點1.4.2計算多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分(159)

題型1.4.2.1求多元顯函數(shù)的偏導數(shù)或全微分(159)

題型1.4.2.2求抽象復合函數(shù)的偏導數(shù)或全微分(161)

題型1.4.2.3利用隱函數(shù)存在定理確定隱函數(shù)(164)

題型1.4.2.4求隱函數(shù)的偏導數(shù)或全微分(165)

題型1.4.2.5求二元函數(shù)的二階混合偏導數(shù)或全微分(167)

題型1.4.2.6求含變限積分的二元函數(shù)的偏導數(shù)(169)

題型1.4.2.7已知偏導數(shù)所滿足的方程，求待定函數(shù)或參數(shù)(169)

考點1.4.3多元函數(shù)的極值與值(173)

題型1.4.3.1二元函數(shù)無條件極值的判別及其求法(174)

題型1.4.3.2求二（多）元函數(shù)的條件極值(178)

題型1.4.3.3求二元函數(shù)的值和小值(181)

第5章二重積分(184)

考點1.5.1計算直角坐標系下的二重積分(184)

題型1.5.1.1化二重積分為累次積分(184)

題型1.5.1.2交換二次積分的積分次序(186)

題型1.5.1.3利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化計算(188)

題型1.5.1.4計算需分區(qū)域計算的二重積分(190)

題型1.5.1.5比較二重積分的大小(194)

考點1.5.2用極坐標系計算二重積分(195)

題型1.5.2.1計算圓域或部分圓域上的二重積分(196)

考點1.5.3轉換坐標系計算二重積分(199)

題型1.5.3.1將直角坐標系下的二重積分轉換為極坐標系下的二重積分計算(199)

題型1.5.3.2將極坐標系下的二重積分轉換為直角坐標系下的二次積分計算(203)

考點1.5.4二重積分的應用(204)

題型1.5.4.1求質心、形心的坐標(204)

第6章常微分方程(207)

考點1.6.1求解一階微分方程(207)

題型1.6.1.1求解可分離變量的微分方程(207)

題型1.6.1.2求解齊次方程(208)

題型1.6.1.3求解一階線性方程(208)

考點1.6.2求解高階常系數(shù)線性微分方程(213)

題型1.6.2.1利用解的結構和性質求解微分方程(213)

題型1.6.2.2求解可降階的微分方程(214)

題型1.6.2.3求解高階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解(217)

題型1.6.2.4確定二階常系數(shù)非齊次微分方程的特解形式(218)

題型1.6.2.5求解二階常系數(shù)非齊次線性方程或反求其常系數(shù)(220)

題型1.6.2.6求解含變限積分的方程(220)

題型1.6.2.7求在變量代換下微分方程的變形，并求其解(221)

考點1.6.3已知微分方程的通（特）解反求該微分方程(222)

題型1.6.3.1已知微分方程的通（特）解,反求該齊次微分方程(222)

題型1.6.3.2已知其特解或通解反求該非齊次線性方程(223)

考點1.6.4微分方程的應用(224)

題型1.6.4.1微分方程在幾何上的應用(224)

題型1.6.4.2微分方程在物理上的應用(226)

第2部分線性代數(shù)

第1章行列式(231)

考點2.1.1計算數(shù)字型行列式(231)

題型2.1.1.1計算行列式中含特定項的系數(shù)(231)

題型2.1.1.2計算行（列）和相等的行列式(232)

題型2.1.1.3計算（或可化為）非零元素在一條或兩條線上的行列式(232)

題型2.1.1.4計算非零元素在三條線上的行列式(234)

題型2.1.1.5計算含零子塊的四分塊矩陣的行列式的值(235)

題型2.1.1.6計算代數(shù)余子式之和（或線性組合）的值(236)

題型2.1.1.7一般行列式的計算(236)

考點2.1.2計算抽象矩陣的行列式(237)

題型2.1.2.1計算抽象乘積矩陣的行列式(237)

題型2.1.2.2已知一方陣的列向量組可由另一方陣的列向量組線性表示，又已知其中一

矩陣的行列式，求另一矩陣的行列式(237)

題型2.1.2.3已知一矩陣方程，求其中一矩陣的行列式的值(238)

題型2.1.2.4利用秩、特征值、相似矩陣等計算行列式(239)

題型2.1.2.5計算與伴隨矩陣有關的矩陣行列式(239)

題型2.1.2.6計算抽象矩陣的線性組合的行列式(239)

題型2.1.2.7方陣的行列式是否等于零的判定或證明(240)

考點2.1.3克拉默法則的應用(241)

題型2.1.3.1求方程組AX=b的解或判定方程組AX=0只有零解(241)

題型2.1.3.2已知方程組AnnX=0只有零解，或有非零解，確定待求常數(shù)(242)

第2章矩陣(243)

考點2.2.1矩陣運算(243)

題型2.2.1.1利用矩陣乘法的結合律，計算乘積矩陣(243)

題型2.2.1.2計算方陣的高次冪(246)

題型2.2.1.3證明抽象矩陣的可逆性，如可逆并求其逆矩陣的表示式(247)

題型2.2.1.4求元素已知的矩陣的逆矩陣(248)考點2.2.2求解與伴隨矩陣有關的問題(250)

題型2.2.2.1計算與伴隨矩陣有關的矩陣行列式(250)

題型2.2.2.2求與伴隨矩陣有關的逆矩陣(251)

題型2.2.2.3求與伴隨矩陣有關的矩陣的秩(251)

題型2.2.2.4求伴隨矩陣的表達式(252)

考點2.2.3矩陣的秩(253)

題型2.2.3.1求數(shù)字型矩陣的秩(253)

題型2.2.3.2求抽象矩陣的秩(254)

題型2.2.3.3已知矩陣秩的有關信息，求其待定常數(shù)或其所滿足的關系(256)

考點2.2.4求解矩陣方程(257)

題型2.2.4.1求解含或可化為含單位矩陣加項的矩陣方程(258)

題型2.2.4.2求解含伴隨矩陣A�车木仃嚪匠�(259)

題型2.2.4.3求解矩陣方程，該方程兩邊同含左（或右）乘可逆因子矩陣(260)

題型2.2.4.4求解系數(shù)矩陣不可逆或不能（不易）化為式(2.2.4.1)中三種類型的矩陣方程

(260)

考點2.2.5求解與初等變換有關的問題(263)

題型2.2.5.1用初等矩陣表示矩陣的初等變換(263)

題型2.2.5.2利用初等矩陣及其性質表示變換前(后)的矩陣及其性質(264)

題型2.2.5.3討論與等價矩陣有關的問題(266)

第3章向量(268)

考點2.3.1向量的線性組合與線性表示(268)

題型2.3.1.1求解一組向量由另一組向量線性表出的有關問題(268)

考點2.3.2向量組的線性相關性(272)

題型2.3.2.1判定（證明）向量組的線性相關性(272)

題型2.3.2.2已知一向量組線性無關，判別其線性組合的向量組的線性相關性(274)

題型2.3.2.3證明向量組線性無關(275)

考點2.3.3求向量組的極大線性無關組和向量組的秩(279)

題型2.3.3.1求向量組的極大線性無關組(279)

題型2.3.3.2求解（證明）與向量組的秩有關的問題(280)

第4章線性方程組(283)

考點2.4.1判定線性方程組解的情況(283)

題型2.4.1.1判定齊次線性方程組解的情況(283)

題型2.4.1.2判定非齊次線性方程組解的情況(284)

考點2.4.2基礎解系(284)

題型2.4.2.1基礎解系的判定或證明(284)

題型2.4.2.2基礎解系和特解的求法(285)

考點2.4.3求解線性方程組(286)

題型2.4.3.1求解不含參數(shù)的線性方程組的通解(286)

題型2.4.3.2求解含參數(shù)的線性方程組AX=b(287)

題型2.4.3.3求解其通解滿足一定條件的含參數(shù)的線性方程組(293)

題型2.4.3.4求解參數(shù)僅出現(xiàn)在常數(shù)項的線性方程組(295)

考點2.4.4抽象線性方程組的求解(295)

題型2.4.4.1已知AX=b的特解，求其通解(296)

題型2.4.4.2利用線性方程組的向量形式求其通解(297)

考點2.4.5由解的情況反求線性方程組或其參數(shù)(299)

題型2.4.5.1已知AX=0或AX=b的解的情況，反求其參數(shù)(299)

題型2.4.5.2已知方程組的基礎解系，求其系數(shù)矩陣(300)

考點2.4.6求兩線性方程組的公共解(301)

題型2.4.6.1已知兩具體的線性方程組,求其公共解(301)

題型2.4.6.2兩方程組中至少有一個方程組的通解已知，求其公共解(303)

考點2.4.7討論兩方程組同解的有關問題(304)

題型2.4.7.1證明兩齊次線性方程組同解(304)

題型2.4.7.2已知兩線性方程組有公共非零解或同解,求其待定常數(shù)(305)

第5章矩陣的特征值和特征向量(308)

考點2.5.1求矩陣的特征值、特征向量(308)

題型2.5.1.1求數(shù)字型矩陣的特征值和特征向量(308)

題型2.5.1.2求抽象矩陣的特征值、特征向量(309)

題型2.5.1.3已知一矩陣的特征值、特征向量，求相關矩陣的特征值、特征向量(311)

考點2.5.2求與已知矩陣的特征值、特征向量有關的問題(313)

考點2.5.3相似矩陣與相似對角化(315)

題型2.5.3.1判別（證明）兩同階方陣相似(315)

題型2.5.3.2判別方陣是否可相似對角化(318)

題型2.5.3.3相似矩陣性質的應用(320)

考點2.5.4與兩矩陣相似的有關計算(321)

題型2.5.4.1已知A可相似對角化，即P-1AP=Λ,求相似對角矩陣Λ(321)

題型2.5.4.2已知矩陣A可相似對角化，求可逆矩陣P使P-1AP為對角矩陣(323)

題型2.5.4.3由特征值、特征向量，反求其矩陣(326)

題型2.5.4.4已知矩陣A和可逆矩陣P，求A的相似矩陣B使P-1AP=B(327)

考點2.5.5實對稱矩陣性質的應用(328)

題型2.5.5.1已知實對稱矩陣的一部分特征向量，求另一部分特征向量(328)

題型2.5.5.2A為實對稱矩陣，求正交矩陣Q使Q-1AQ為對角矩陣(330)

題型2.5.5.3利用相似對角化求矩陣的高次冪(330)

第6章二次型(335)

考點2.6.1二次型的標準形和規(guī)范形(335)

題型2.6.1.1化二次型（實對稱矩陣）為標準形（對角矩陣）或規(guī)范形(335)

題型2.6.1.2已知二次型的標準形（規(guī)范形），求二次型中的未知參數(shù)(340)

題型2.6.1.3求兩類二次型之間相互轉換的問題(344)

考點2.6.2判別（證明）實二次型（實對稱矩陣）的正定性(345)

題型2.6.2.1判別二次型或其矩陣的正定性(345)

題型2.6.2.2確定參數(shù)值使二次型或其矩陣正定(347)

考點2.6.3合同矩陣與合同變換(348)

題型2.6.3.1判別（證明）兩實對稱矩陣合同(348)

題型2.6.3.2討論兩矩陣相似與合同的關系(350)

附錄20022021年考研數(shù)學二試題(351)

2002年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(351)

2003年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(352)

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2006年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(358)

2007年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(360)

2008年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(362)

2009年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(364)

2010年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(366)

2011年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(368)

2012年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(370)

2013年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(372)

2014年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(373)

2015年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(375)

2016年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(377)

2017年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(379)

2018年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(381)

2019年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(383)

2020年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(384)

2021年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二試題(386)