數(shù)學(xué)與物理究竟有什么關(guān)系，這是一個(gè)相當(dāng)神秘的問題。數(shù)學(xué)靠的是邏輯推理，其定理一旦得到證明就會(huì)永遠(yuǎn)成立。數(shù)學(xué)善用理性思維，不太關(guān)心物質(zhì)世界。
相比之下，自然科學(xué)則是建立在觀察的基礎(chǔ)之上，其理論是暫時(shí)的、近似的。因此，在我們眼中，數(shù)學(xué)有著深厚的歷史根基，而物理學(xué)只不過是近代世界的產(chǎn)物。畢達(dá)哥拉斯定理誕生于4000多年前，今天的小學(xué)生仍在學(xué)習(xí)；可4000年前的力學(xué)、天文學(xué)理論，不再是他們的學(xué)習(xí)對(duì)象。與代代相傳的幾何學(xué)知識(shí)不同，物理學(xué)理論總是在不斷地推陳出新。
有鑒于此，本書主要聚焦近代物理學(xué)方程距今久遠(yuǎn)的也不過500年，可每一個(gè)方程都堪稱物理學(xué)中的經(jīng)典，而且仍舊保留在近代教科書中。誠然，年代久遠(yuǎn)的物理學(xué)理論仍然具有歷史意義，但如今，它們大都已為新的理論所取代。嚴(yán)格地講，書中的一些方程已為其他更精確的方程所超越，可它們依然沿用至今。舉例來說，愛因斯坦的質(zhì)能方程在理論上比牛頓力學(xué)方程更為準(zhǔn)確，但牛頓力學(xué)方程仍然還應(yīng)用于許多場(chǎng)合。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情形呢？原因非常簡(jiǎn)單。在許多物理學(xué)應(yīng)用中，計(jì)算精度是否提高其實(shí)無關(guān)緊要，而且牛頓的力學(xué)體系真的要簡(jiǎn)便得多尤其是，牛頓力學(xué)方程常�？梢灾苯舆M(jìn)行求解。
近代科學(xué)產(chǎn)生于公元 1600 年左右絕非偶然。這一時(shí)期，代數(shù)學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)層出不窮，特別是意大利數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)他們接觸中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)時(shí)間不長，卻大大地拓展了代數(shù)方法。不過，這些研究上的突破主要集中于純粹的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括為復(fù)雜的代數(shù)方程尋求新的求解方法。幾乎在同一時(shí)期，人們開始采用新的坐標(biāo)方法來破解幾何學(xué)難題。通過將方程式繪制成曲線，新方法和新猜想不斷涌現(xiàn)。其中，對(duì)物理學(xué)為重要的方法就是微積分。17 世紀(jì)下半葉，在前人幾十年研究的基礎(chǔ)上，英國著名物理學(xué)家艾薩克·牛頓(Isaac Newton，16431727)和德國數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz， 16461716)同時(shí)創(chuàng)立了微積分。這一革命性的方法準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)模型�？梢哉f，真正意義上的數(shù)學(xué)和物理便發(fā)端于此，而其核心便是微積分方程。
方程式說起來很簡(jiǎn)單:等號(hào)兩邊的數(shù)學(xué)式是等值的。如果將方程式想象為一個(gè)以等號(hào)為支點(diǎn)的蹺蹺板，那么，只有當(dāng)它兩端的重量相等，它才可能完美地保持平衡。在物理環(huán)境下，這種關(guān)系式可以表達(dá)兩種表現(xiàn)各異卻又同樣深?yuàn)W的物理現(xiàn)象。
個(gè)也是淺顯的觀點(diǎn)，就是兩種不同的物體保持相同的物理量。這通常被表述為守恒定律，意即任何物體在某一過程發(fā)生前后，其物理量始終保持不變。各種守恒定律是物理學(xué)的基本規(guī)律，角動(dòng)量守恒便是其中一個(gè)很好的例子。第二個(gè)觀點(diǎn)是，兩種物體，貌似不同，但以不同的視角觀之，其實(shí)又是相同的。熱力學(xué)第二定律描述的物理量被稱作熵，它究竟意味著什么卻難以理解。如果換個(gè)說法，熵指的就是用溫度除以熱量所得的商，那么，熵一下子就變得簡(jiǎn)單易懂、便于計(jì)算了。
本書旨在幫助讀者提高對(duì)方程式的理解能力將方程式視作一個(gè)小機(jī)器，就可以開啟內(nèi)在視野，喚醒直覺力，以弄清每臺(tái)機(jī)器中每個(gè)零件是如何運(yùn)轉(zhuǎn)的。本書的專業(yè)性很強(qiáng)，因?yàn)槊恳粋�(gè)小節(jié)都圍繞整部書的主題，有的甚至是高等、復(fù)雜的方程式。本書所能做的，就是簡(jiǎn)單地講述基本觀點(diǎn)，指出這些觀點(diǎn)之間對(duì)話的方式，但有時(shí)又需要跨越數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和生活的不同界限，這就不可避免地要使用極其簡(jiǎn)化的語言。對(duì)此，我們真誠地希望能受到初學(xué)者的歡迎，并得到專家們的諒解。
本書涵蓋了近代物理學(xué)許多著名的方程式。有些方程式，如牛頓第二定律公式，用到的只是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法，如 加、減、乘、除；有些方程式，如薛定諤波動(dòng)方程、麥克斯韋方程組，則使用了更高等的數(shù)學(xué)方法。我們不應(yīng)該將 高等數(shù)學(xué)理解為深?yuàn)W難解；高等方程式只不過更加精練，更為經(jīng)濟(jì)而已，單個(gè)符號(hào)就可以概括更多的內(nèi)容，從而節(jié)省了更多的空間。當(dāng)然，這可能需要我們花點(diǎn)時(shí)間去弄懂符號(hào)的作用。盡管用這些方法手工進(jìn)行運(yùn)算還需要一番練習(xí)，其運(yùn)算原理卻容易理解得多。假若我們一開始就著眼于大局，那么，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其具體細(xì)節(jié)并不像我們初看到的那么可怕。