電路分析是電路設(shè)計、優(yōu)化和應(yīng)用的基礎(chǔ)，采用拓?fù)浞椒ㄇ蠼庖栽枀?shù)描述的符號電路，則是電路理論的一個重要分支。筆者涉及這一課題，經(jīng)過多年的研究，發(fā)現(xiàn)電路的固有多項(xiàng)式中的有效項(xiàng)與電路圖中滿足一定條件的一對樹有著一一對應(yīng)的關(guān)系，定義了有效樹和有效雙樹的概念，提出并證明了網(wǎng)絡(luò)多項(xiàng)式展開的雙樹定理，給出了尋找全部有效樹和有效雙樹并確定其值的展開圖法。該方法直接對電路的拓?fù)鋱D進(jìn)行運(yùn)算，通過邊的短路、開路、“著色”和“去色”運(yùn)算，將圖分解、展開、化簡，由圖的展開式得到圖的權(quán)表達(dá)式，從而得到網(wǎng)絡(luò)多項(xiàng)式。該方法適用于包含四種受控源和零任偶等有源元件在內(nèi)的一般線性有源電路，不出現(xiàn)冗余項(xiàng)，在尋找有效項(xiàng)的同時確定該項(xiàng)的正負(fù)系數(shù)。本書偏重基礎(chǔ)理論和基本算法，內(nèi)容獨(dú)立完整，知識自主創(chuàng)新，而且自成體系。本書的內(nèi)容基本是個人原創(chuàng)，定理的證明和展開圖法的完善也是首次公開。
電子電路和集成電路是現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)發(fā)展的重要成果,電路分析則是電路設(shè)計和應(yīng)用的基礎(chǔ),其中線性有源電路的分析又是電路分析的基礎(chǔ).線性非時變集中參數(shù)電路的數(shù)學(xué)模型為線性代數(shù)方程組,基于數(shù)值運(yùn)算的線性電路分析理論和方法已經(jīng)相當(dāng)成熟和完善.但是數(shù)值分析給出的系統(tǒng)響應(yīng)僅僅是單純的數(shù)值或者依據(jù)重復(fù)計算繪制的波形,不能完整地反映元件參數(shù)和系統(tǒng)響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系,更不能反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系,因而在很多應(yīng)用中是無能為力的.符號電路分析用元件的符號參數(shù)代替元件的數(shù)值參數(shù),求解由元件符號參數(shù)組成的符號方程組,得到由符號參數(shù)表達(dá)式描述系統(tǒng)響應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù),反映了元件參數(shù)與響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系,廣泛用于電路的設(shè)計和優(yōu)化、電路的容差分析和故障診斷等.如果全部元件參數(shù)都用符號表示,稱為全符號分析;如果部分元件用符號參數(shù),稱為部分符號分析;如果只是把拉普拉斯算子s 作為符號,那就是s符號分析.與數(shù)值分析相比,符號分析是非常困難的任務(wù),計算復(fù)雜性隨電路規(guī)模呈指數(shù)增長,需要大量的計算時間和內(nèi)存空間.隨著大規(guī)模集成電路和計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,電路的計算機(jī)輔助分析和設(shè)計已成為電路理論的一個重要分支和熱門領(lǐng)域,符號電路分析理論和方法受到重視,得到了快速的發(fā)展.符號電路分析可以采用數(shù)值方法,如行列式展開法、多項(xiàng)式插值法和參數(shù)抽取法等.這類方法適應(yīng)于符號參數(shù)較少的電路,其結(jié)果不能完整地反映電路
參數(shù)和結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系.利用電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖,采用圖的運(yùn)算求得系統(tǒng)響應(yīng)是符號電路分析的主要方法.常用的拓?fù)浞椒ㄓ行盘柫鲌D法、樹列舉
法、二分圖法(BDD)等.[１４]信號流圖法以Manson公式為代表.它把電路的代數(shù)方程轉(zhuǎn)換為信號流圖,再依據(jù)Manson公式,采用圖的運(yùn)算,分別求得系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式和分子多項(xiàng)式.信號流圖法適用性好,只要能列出線性代數(shù)方程組就能使用,但是計算過程中會出現(xiàn)大量相互抵消的冗余項(xiàng),而且信號流圖與電路圖的結(jié)構(gòu)相
差甚遠(yuǎn).Coates圖和Milke法對Manson法做了改進(jìn),促進(jìn)了信號流圖法的發(fā)展,但問題并沒有完全解決.[５７]樹列舉法直接在電路圖中尋找滿足一定條件的生成樹,由圖的運(yùn)算,找到滿足條件的全部生成樹,用樹值(樹支的導(dǎo)納參數(shù)積)的代數(shù)和表示行列式的值.它的運(yùn)算對象是電路的拓?fù)鋱D或稍加變換的圖,不產(chǎn)生冗余項(xiàng),因而是符
號電路拓?fù)浞治鲎钣行c最常用的方法[１９].樹列舉法中最著名的當(dāng)屬雙圖樹法.它由原始電路生成電壓圖和電流圖,然后找出兩圖的共有樹,則全部共有樹的樹支導(dǎo)納乘積的代數(shù)和就是該電路節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納行列式的展開式.雙圖法采用的圖接近網(wǎng)絡(luò)的原圖,而且運(yùn)算過程中不出現(xiàn)冗余項(xiàng),因而受到重視,得到廣泛應(yīng)用.但是雙圖法源于電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程,原則上只適用于由導(dǎo)納型元件和電壓控制電流受控源(VCCS)組成的電路.為了改進(jìn)雙圖法,許多研究者做了大量的工作,發(fā)表了許多文獻(xiàn),其中主要的改進(jìn)是將其他類型受控源轉(zhuǎn)換成電壓控制電流受控源的等效電路,以及使用零任偶元件模型改進(jìn)和擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)電壓法等.這樣雖然使雙圖法可以用于一
般的有源電路,但增加了圖的規(guī)模,而且不同網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓?fù)涔诫y以統(tǒng)一.[１０１２]二分圖(BinaryDecisionDiagram,BDD)是便于計算機(jī)處理的一種數(shù)據(jù)
結(jié)構(gòu),它采用一分二、二分四的結(jié)構(gòu),逐層逐級分支,構(gòu)成倒樹狀的結(jié)構(gòu)圖.CJRichardShi等將BDD 用于行列式的展開,提出網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治龅腄DD(DeterminantDecisionDiagrams)法,發(fā)表了許多論文,成為當(dāng)時的熱門話題[１３１５].這種方法適合較大規(guī)模的電路,便于計算機(jī)計算,但它屬于網(wǎng)絡(luò)行列式的圖解法,不是通過電路圖自身的運(yùn)算求解網(wǎng)絡(luò)行列式的方法,因而有一定的局限性.２０世紀(jì)７０、８０年代,隨著陳樹柏?網(wǎng)絡(luò)圖論及其應(yīng)用?的出版,在國內(nèi)
掀起了網(wǎng)絡(luò)圖論和符號電路分析的研究熱潮[１６１８].在學(xué)習(xí)和工作中,作者接雙樹定理和展開圖法———符號電路拓?fù)浞治龅囊环N新方法觸了這方面的知識,并嘗試進(jìn)行符號電路拓?fù)浞治龅膶W(xué)習(xí)與研究,從電路的表格方程著手,尋找符號電路分析的新途徑,試圖改進(jìn)現(xiàn)有的方法.經(jīng)過多年研究,首先指出有效項(xiàng)的充分必要條件是該符號組合對應(yīng)的兩個邊集構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的一對樹,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)行列式中有效項(xiàng)與網(wǎng)絡(luò)圖中的一對樹有著一一對應(yīng)的關(guān)系,提出有效樹和有效雙樹的概念.接著致力于確定雙樹系數(shù)正負(fù)的拓?fù)渌惴?提出了網(wǎng)絡(luò)行列式展開的雙樹定理,并給出了應(yīng)用雙樹定理分析電路的拓?fù)浞椒╗１９２１].隨后又借鑒DDD 模式,通過圖的開路、短路和“著色”運(yùn)算,依照各個元件參數(shù),逐級地將電路圖分解和化簡,構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)展開圖,進(jìn)而由展開圖得到網(wǎng)絡(luò)行列式,解決了雙樹定理的算法和應(yīng)用問題,形成了獨(dú)有的展開圖法[２２].以后,雖然沒有放棄研究工作,然而由于本人水平、能力和條件有限,加之２００８年退休,后續(xù)工作沒有什么進(jìn)展,研究幾乎中斷.前幾年,看到施國勇(ShiGY)等學(xué)者提出了適用樹對的概念,采用圖對逐級分解化簡,改進(jìn)了DDD算法,構(gòu)成了GPDD (GraphＧPairDecisionDiＧagram)算法,在國際權(quán)威期刊上發(fā)表了多篇論文[２３２６],而且出版了專著[２７].作者為此高興,看到自己感興趣的研究課題又有新的進(jìn)展,與己相近的方法又有重要成果發(fā)表,但又不甘心就此罷休.通過查閱文獻(xiàn)、分析比較后發(fā)現(xiàn),GPDD的理論和方法尚未盡善盡美,還需改進(jìn)和完善,而且與自己的思路和方法還是有相當(dāng)大的區(qū)別,不能替代自己的工作,雙樹定理和展開圖法還有立足之地.受他們研究成果的激勵,作者重新開始了中斷多年的研究,并取得新的進(jìn)展.首先,采用新的思路證明了雙樹定理,使原先篇幅過長、難以理解、沒
能發(fā)表的證明過程得以簡化并更加嚴(yán)謹(jǐn);其次,完善“著色”運(yùn)算,增加“去色”運(yùn)算,在圖展開過程中同時解決正負(fù)號的難題;另外,多端元件的展開模型和應(yīng)用也有了新的結(jié)果.采取出書的方式,將自己多年的研究成果完整地奉獻(xiàn)給讀者和社會,是本書的用意,也是作者多年的夢想.本書正文包括９章,前５章介紹概念、理論、方法和應(yīng)用,包括網(wǎng)絡(luò)分析和網(wǎng)絡(luò)圖論的基礎(chǔ)知識、雙樹的概念及雙樹定理的內(nèi)容、網(wǎng)絡(luò)展開圖的構(gòu)成、由展開圖獲得網(wǎng)絡(luò)多項(xiàng)式的方法、基于雙樹定理和展開圖法的網(wǎng)絡(luò)分析應(yīng)用、多端元件的展開模型和應(yīng)用等;后４章給出了證明雙樹定理所需的前提、基礎(chǔ)知識和關(guān)鍵技術(shù),包括基于２b 表格的網(wǎng)絡(luò)方程和行列式的概念、網(wǎng)絡(luò)基本關(guān)聯(lián)矩陣的屬性和若干引理、各類基本元件的展開模型,在此基礎(chǔ)上,證明了雙樹定理,并闡明了展開圖法的理論依據(jù).最后做了簡要的總結(jié).
由于個人能力和精力有限,本書內(nèi)容僅限于基礎(chǔ)理論和基本方法的研究,以及電路拓?fù)浞治龅膽?yīng)用和舉例,重點(diǎn)在于介紹作者自己的想法和研究成果,
力求講清理論,闡明方法,恰當(dāng)舉例,解決是什么、為什么及有什么用、怎么用的問題,對此領(lǐng)域研究的歷史和現(xiàn)狀沒有詳盡地論述,對于集成電路的分析
和設(shè)計實(shí)例也很少涉及.
尹宗謀，男，退休教師，原空軍工程大學(xué)理學(xué)院教授，現(xiàn)屬西安市軍隊離退休干部管理中心。研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)分析和網(wǎng)絡(luò)綜合、網(wǎng)絡(luò)圖論、電路拓?fù)鋵W(xué)等。
第１章 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治龌A(chǔ) ……………………………………………………………… １
１.１ 電路分析基礎(chǔ)………………………………………………………………………… １
１.１.１ 電路和電路元件……………………………………………………………… １
１.１.２ 電路方程的建立和求解……………………………………………………… ３
１.１.３ 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)………………………………………………………… ５
１.１.４ 封閉網(wǎng)絡(luò)和增廣網(wǎng)絡(luò)………………………………………………………… ６
１.１.５ 網(wǎng)絡(luò)行列式的本質(zhì)一致性…………………………………………………… ８
１.１.６ 網(wǎng)絡(luò)固有多項(xiàng)式 …………………………………………………………… １０
１.２ 網(wǎng)絡(luò)圖論基礎(chǔ) ……………………………………………………………………… １１
１.２.１ 圖的一般概念 ……………………………………………………………… １１
１.２.２ 邊的短路和開路運(yùn)算與找樹的展開圖法 ………………………………… １４
１.２.３ 基本割集矩陣和基本回路矩陣 …………………………………………… １７
１.２.４ 樹偶圖的BT值 …………………………………………………………… １９
第２章 雙樹理論 ………………………………………………………………………… ２５
２.１ 網(wǎng)絡(luò)圖的約定 ……………………………………………………………………… ２５
２.２ 有效樹 ……………………………………………………………………………… ２６
２.２.１ 有效樹的定義 ……………………………………………………………… ２６
２.２.２ 尋找有效樹的算法 ………………………………………………………… ２８
２.３ 有效雙樹 …………………………………………………………………………… ２８
２.３.１ 有效雙樹的定義 …………………………………………………………… ２８
２.３.２ 尋找有效雙樹的算法 ……………………………………………………… ３１
２.４ 雙樹定理 …………………………………………………………………………… ３３
２.４.１ 網(wǎng)絡(luò)多項(xiàng)式與有效雙樹的關(guān)系定理 ……………………………………… ３３
２.４.２ 有效樹的系數(shù)定理 ………………………………………………………… ３５
２.４.３ 有效雙樹的系數(shù)定理 ……………………………………………………… ３５
２.４.４ 雙樹定理 …………………………………………………………………… ３６
２.５ 基于雙樹定理的網(wǎng)絡(luò)分析 ………………………………………………………… ３７
第３章 網(wǎng)絡(luò)展開圖 ……………………………………………………………………… ４２
３.１ 圖的運(yùn)算 …………………………………………………………………………… ４２
３.１.１ 圖的著色運(yùn)算 ……………………………………………………………… ４２
３.１.２ 圖的去色運(yùn)算 ……………………………………………………………… ４３
３.１.３ 圖的有效性 ………………………………………………………………… ４５
３.１.４ 圖的運(yùn)算法則 ……………………………………………………………… ４５
３.２ 元件的展開模型 …………………………………………………………………… ４６
３.２.１ 阻抗和導(dǎo)納 ………………………………………………………………… ４７
３.２.２ E、J、V、C 元件 ………………………………………………………… ４７
３.２.３ 受控源 ……………………………………………………………………… ４９
３.２.４ 零任偶(Nullor)……………………………………………………………… ５０
３.３ 網(wǎng)絡(luò)圖的展開 ……………………………………………………………………… ５１
３.３.１ 網(wǎng)絡(luò)圖展開的過程和算法 ………………………………………………… ５１
３.３.２ 網(wǎng)絡(luò)展開圖的表達(dá)式 ……………………………………………………… ５４
３.４ 網(wǎng)絡(luò)展開圖的權(quán) …………………………………………………………………… ５５
３.４.１ 運(yùn)算符的權(quán) ………………………………………………………………… ５５
３.４.２ 路徑的權(quán) …………………………………………………………………… ５６
３.４.３ 網(wǎng)絡(luò)展開圖的權(quán) …………………………………………………………… ５７
３.５ 網(wǎng)絡(luò)展開圖與網(wǎng)絡(luò)多項(xiàng)式 ………………………………………………………… ５８
第４章 基于展開圖的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治?………………………………………………… ５９
４.１ 網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)的拓?fù)涔?……………………………………………………………… ５９
４.２ 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓?fù)涔?……………………………………………………………… ６４
４.２.１ 單口網(wǎng)絡(luò)的策動點(diǎn)函數(shù) …………………………………………………… ６４
４.２.２ 雙口網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) ……………………………………………………… ６６
４.３ 雙口網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的拓?fù)涔?………………………………………………………… ６９
４.３.１ Z 參數(shù) ……………………………………………………………………… ７０
４.３.２ Y 參數(shù) ……………………………………………………………………… ７２
４.３.３ H 參數(shù) ……………………………………………………………………… ７３
４.３.４ A 參數(shù) ……………………………………………………………………… ７４
４.４ H(s)的生成 ……………………………………………………………………… ８０
４.５ 參數(shù)抽取 …………………………………………………………………………… ８３
第５章 多端元件的展開模型 ………………………………………………………… ８８
５.１ 常用元件的展開模型 ……………………………………………………………… ８８
５.１.１ 理想變壓器 ………………………………………………………………… ８８
５.１.２ 耦合互感 …………………………………………………………………… ９１
５.１.３ 回轉(zhuǎn)器 ……………………………………………………………………… ９４
５.１.４ 運(yùn)算放大器 ………………………………………………………………… ９６
５.２ 雙口網(wǎng)絡(luò)的展開模型 ……………………………………………………………… ９９
第６章 網(wǎng)絡(luò)方程、網(wǎng)絡(luò)矩陣和網(wǎng)絡(luò)行列式 ……………………………………… １０３
６.１ 基爾霍夫方程和網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)矩陣…………………………………………………… １０３
６.２ 元件約束方程和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)矩陣…………………………………………………… １０５
６.３ ２b表格方程、網(wǎng)絡(luò)矩陣和網(wǎng)絡(luò)行列式 ………………………………………… １０８
第７章 網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)矩陣的拓?fù)湫再|(zhì)…………………………………………………… １１１
７.１ 關(guān)聯(lián)矩陣的基本屬性……………………………………………………………… １１１
７.１.１ A 矩陣的列屬性…………………………………………………………… １１１
７.１.２ A矩陣的正則性 …………………………………………………………… １１２
７.１.３ A 矩陣的大子陣和大子式………………………………………………… １１３
７.１.４ A 矩陣的等值初等變換…………………………………………………… １１３
７.２ 列屬性和參考樹的變換…………………………………………………………… １１４
７.２.１ 列屬性的變換……………………………………………………………… １１４
７.２.２ 參考樹的變換……………………………………………………………… １１７
７.３ 刪列和消列運(yùn)算…………………………………………………………………… １１８
７.３.１ 刪列運(yùn)算…………………………………………………………………… １１８
７.３.２ 消列運(yùn)算…………………………………………………………………… １１９
７.４ 大子式detAk非零的充要條件…………………………………………………… １２２
７.４.１ detQk和detBk非零的充要條件 ………………………………………… １２２
７.４.２ detAk非零的充要條件 …………………………………………………… １２３
７.５ 大子式的拓?fù)涔健?１２４
７.５.１ 互補(bǔ)大子式detAk ………………………………………………………… １２４
７.５.２ 非互補(bǔ)大子式detAk ……………………………………………………… １２８
第８章 基本元件展開分析 …………………………………………………………… １３５
８.１ 單口元件的展開…………………………………………………………………… １３５
８.１.１ 導(dǎo)納元件Yi ……………………………………………………………… １３７
８.１.２ 阻抗元件Zi ……………………………………………………………… １３８
８.１.３ E 和C 元件 ……………………………………………………………… １３９
８.１.４ J和V 元件………………………………………………………………… １３９
８.２ 雙口元件的展開…………………………………………………………………… １４０
８.２.１ VCCS ……………………………………………………………………… １４０
８.２.２ CCCS ……………………………………………………………………… １４５
８.２.３ VCVS……………………………………………………………………… １４８
８.２.４ CCVS ……………………………………………………………………… １５１
８.２.５ 零任偶……………………………………………………………………… １５４
８.３ 各類元件的展開結(jié)果……………………………………………………………… １５５
第９章 雙樹定理的證明 ……………………………………………………………… １５７
９.１ 網(wǎng)絡(luò)行列式展開的代數(shù)公式……………………………………………………… １５７
９.２ 有效項(xiàng)參數(shù)定理證明……………………………………………………………… １５９
９.３ 有效樹系數(shù)定理證明……………………………………………………………… １６１
９.４ 有效雙樹系數(shù)定理證明…………………………………………………………… １６３
９.５ 展開圖法與雙樹定理……………………………………………………………… １６６
結(jié)語……………………………………………………………………………………１６７
參考文獻(xiàn) …………………………………………………………………………………１７０
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