本書以“為什么要研究數(shù)學(xué)”為指導(dǎo)思想，以19世紀(jì)的分析嚴(yán)格化為歷史背景，以病態(tài)函數(shù)、曲線和集合的產(chǎn)生為切入點(diǎn)，以分?jǐn)?shù)維數(shù)理論和自相似理論的形成、發(fā)展和完善為脈絡(luò)，以分形理論的具體應(yīng)用為指引，以推動(dòng)分形文化的傳播為導(dǎo)向，力圖從點(diǎn)到面，從外因到內(nèi)因，從問題到根源，精確梳理分形幾何與集合論、測(cè)度論和分析學(xué)等數(shù)學(xué)分支的關(guān)系淵源，深刻剖析分形幾何學(xué)的創(chuàng)立原因，全面呈現(xiàn)分形幾何學(xué)的歷史概貌，進(jìn)而回答分形幾何學(xué)究竟是“如何產(chǎn)生”和“為什么會(huì)產(chǎn)生”兩個(gè)基本問題。
本書可作為高等院校相關(guān)專業(yè)高年級(jí)本科生和研究生的參考教材，也可供從事數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化和分形幾何研究的工作者，以及教授數(shù)學(xué)史和分形幾何課程的教師閱讀參考。
第1章 緒論
1.1 分形歷史概覽
1.2 本書的結(jié)構(gòu)框架
第2章 魏爾斯特拉斯與病態(tài)函數(shù)
2.1 魏爾斯特拉斯生平簡(jiǎn)介
2.2 病態(tài)函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景
2.3 病態(tài)函數(shù)的產(chǎn)生過程
2.4 病態(tài)函數(shù)的影響
2.4.1 數(shù)學(xué)家們的評(píng)論
2.4.2 病態(tài)函數(shù)對(duì)分析和幾何的影響
2.4.3 病態(tài)函數(shù)對(duì)分形的影響
第3章 康托爾和康托爾集
3.1 康托爾生平簡(jiǎn)介
3.2 康托爾集產(chǎn)生的歷史背景
3.3 康托爾集的產(chǎn)生過程
3.4 康托爾集的影響
第4章 科赫與科赫曲線
4.1 科赫生平簡(jiǎn)介
4.2 科赫曲線產(chǎn)生的歷史背景
4.3 科赫曲線的產(chǎn)生過程
4.4 科赫曲線的影響
第5章 早期分形中的其他經(jīng)典
5.1 皮亞諾曲線
5.1.1 皮亞諾生平簡(jiǎn)介
5.1.2 皮亞諾曲線的產(chǎn)生過程
5.2 朱利亞集
5.2.1 朱利亞生平簡(jiǎn)介
5.2.2 朱利亞集的產(chǎn)生過程
5.3 謝爾賓斯基三角形和門格爾海綿
5.3.1 謝爾賓斯基三角形
5.3.2 門格爾海綿
第6章 豪斯多夫與分?jǐn)?shù)維數(shù)
6.1 豪斯多夫生平簡(jiǎn)介
6.2 維數(shù)概念的演變
6.3 分?jǐn)?shù)維數(shù)概念產(chǎn)生的歷史背景
6.3.1 康托爾集測(cè)量問題
6.3.2 容量理論的演變
6.3.3 勒貝格測(cè)度
6.4 分?jǐn)?shù)維數(shù)概念的產(chǎn)生過程
6.4.1 卡拉泰奧多里測(cè)度
6.4.2 豪斯多夫測(cè)度和分?jǐn)?shù)維數(shù)的產(chǎn)生
6.4.3 解決康托爾集測(cè)量問題
6.5 分?jǐn)?shù)維數(shù)概念的完善
第7章 貝西科維奇和分?jǐn)?shù)維數(shù)集
7.1 貝西科維奇生平簡(jiǎn)介
7.2 分?jǐn)?shù)維數(shù)集的密度性質(zhì)
7.3 分?jǐn)?shù)維數(shù)集的微積分
7.4 分?jǐn)?shù)維數(shù)集在實(shí)數(shù)理論中的應(yīng)用
7.5 兩類特殊集合的分?jǐn)?shù)維數(shù)
第8章 分?jǐn)?shù)維數(shù)理論
8.1 布利岡維數(shù)
8.2 龐特里亞金一施尼勒爾曼維數(shù)
8.3 柯爾莫戈洛夫一契霍米洛夫維數(shù)
8.4 法爾科內(nèi)盒維數(shù)
8.5 分?jǐn)?shù)維數(shù)的其他經(jīng)典
8.5.1 信息維數(shù)
8.5.2 填充維數(shù)
8.5.3 關(guān)聯(lián)維數(shù)
第9章 自相似理論
9.1 相似和自相似的思想起源
9.1.1 相似的思想起源
9.1.2 自相似的思想起源
9.1.3 經(jīng)典自相似集
9.2 自相似理論的形成
9.2.1 萊維對(duì)自相似性質(zhì)的系統(tǒng)剖析
9.2.2 莫蘭自相似集思想
9.3 自相似理論的發(fā)展
9.3.1 統(tǒng)計(jì)自相似性
9.3.2 不變集和迭代函數(shù)系
9.3.3 自仿射分形集
第10章 分形幾何的創(chuàng)立
10.1 分形之父——芒德勃羅
10.1.1 芒德勃羅的成長(zhǎng)歷程
10.1.2 芒德勃羅的研究生涯
10.1.3 芒德勃羅的個(gè)性與成就
10.2 分形“明珠”——英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)
10.2.1 海岸線長(zhǎng)度問題
10.2.2 分?jǐn)?shù)維數(shù)引入
10.2.3 統(tǒng)計(jì)自相似性引入
10.2.4 推動(dòng)分形幾何創(chuàng)立
10.3 分形“圣經(jīng)”——大自然的分形幾何
10.3.1 分析回顧數(shù)學(xué)中的分形
10.3.2 討論描述大自然中的分形
10.3.3 創(chuàng)立分形理論
10.4 分形幾何的成因
10.4.1 病態(tài)函數(shù)、曲線和集合的激勵(lì)
10.4.2 數(shù)學(xué)理論發(fā)展的推動(dòng)
10.4.3 實(shí)際問題的鞭策
10.4.4 創(chuàng)立者自身的優(yōu)勢(shì)
第11章 分形理論的發(fā)展和應(yīng)用
11.1 分形理論的發(fā)展
11.1.1 奇異吸引子
11.1.2 解析映射的復(fù)迭代
11.1.3 多重分形測(cè)度
11.1.4 隨機(jī)分形
11.2 分形理論的應(yīng)用
11.2.1 分形理論在自然科學(xué)中的應(yīng)用
11.2.2 分形理論在社會(huì)科學(xué)中的應(yīng)用
11.2.3 分形理論在藝術(shù)科學(xué)中的應(yīng)用
附錄A 分形幾何發(fā)展歷史大事記
附錄B 芒德勃羅年譜
人名索引
參考文獻(xiàn)
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