數(shù)學(xué),用更高級(jí)的方式理解這個(gè)世界。在欣賞藝術(shù)品或自然奇觀時(shí),很多人的心中會(huì)自然而然地產(chǎn)生一種美的感受。這種美不言自明,難以名狀,直到有一天數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了其中的秘密,那就是“黃金比例”!睹赡塞惿、玫瑰花瓣,甚至宇宙中銀河的懸臂中,都能找到黃金比例的蹤跡。借助黃金比例,我們得以發(fā)現(xiàn)美、理解美、創(chuàng)造美。數(shù)學(xué)之眼,帶您看清人類文明的過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)。
前 言
現(xiàn)在,我們的世界比過(guò)去任何時(shí)候都依賴數(shù)字,某些數(shù)字甚至擁有專屬名稱,比如圓周率π、自然常數(shù)e 等等。
在這之中有一個(gè)特別有意思的數(shù)字,它就是1.6180339887, 可以簡(jiǎn)化為1.61 或0.618。事實(shí)證明,它的名氣大過(guò)π 和e,讓更多的杰出人物為之著迷。人們懷著敬畏之心為它取了如黃金數(shù)(golden number)、超越比例(transcendental ratio)、神圣之?dāng)?shù)(divine number)、神圣比例(divine ratio)等一連串名字…… 而我們通常把它稱為黃金比例(golden ratio),用希臘字母Φ (phi)表示。黃金比例在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著特殊的地位,它的數(shù)字性質(zhì)奇妙無(wú)比,與自然和人類的造物都有著某些未知的聯(lián)系。作為“萬(wàn)物皆數(shù)學(xué)”系列叢書之一,本書愿意引領(lǐng)讀者走進(jìn)黃金比例的奇妙世界,成為讀者手中的“旅行指南”。
本書將審視從古至今存在于科學(xué)、藝術(shù)中數(shù)不勝數(shù)的黃金比例,還有它在動(dòng)植物形態(tài)學(xué)(研究事物形狀和形態(tài)的學(xué)科) 中發(fā)揮的重要作用。一旦對(duì)黃金比例有了一定認(rèn)識(shí),我們就能夠深入發(fā)掘它的奇特之處。這趟旅程以歐幾里得的《幾何原本》(歷史上最暢銷的科學(xué)書籍)為起點(diǎn),途經(jīng)文藝復(fù)興時(shí)期佛羅倫薩熱鬧的街頭,與當(dāng)時(shí)最為杰出的列奧納多·達(dá)·芬奇碰面。
黃金比例的奇妙在于它能夠?qū)⒆陨淼膬?yōu)美賦予各種各樣的圖形,從三角形到擁有二十個(gè)面的幾何體(二十面體)都是它的杰作。但是在那令人敬畏的名稱背后,黃金比例其實(shí)就隱藏在常見(jiàn)的幾何物體中,比如生活中隨處可見(jiàn)的信用卡和五角星。所謂的“黃金矩形”是指鄰邊之比恰好符合黃金比例的矩形, 而信用卡就是這樣的矩形。a 如果黃金矩形無(wú)處不在,那么螺線或五角星又有什么特別之處?答案是二者都與黃金比例有著密切的聯(lián)系,并且經(jīng)常出現(xiàn)在建筑、鑲嵌藝術(shù)甚至是棋盤游戲中。
然而黃金比例最令人驚訝的是它與抽象概念之間的聯(lián)系。舉例來(lái)說(shuō),我們認(rèn)為它象征著優(yōu)雅與完美,而這一點(diǎn)已經(jīng)眾所周知。在這場(chǎng)令人神往的旅行中,陪伴我們的都是頂級(jí)向?qū)В?達(dá)·芬奇、勒·柯布西耶以及其他大師級(jí)的人物,他們都鐘情于黃金比例那純粹的和諧。如果我們厭倦了人類的發(fā)明創(chuàng)造, 不妨將目光轉(zhuǎn)向身邊的大自然,置身其中同樣可以發(fā)現(xiàn)黃金比例,許多生物都是按照黃金比例生長(zhǎng)的。最近才為數(shù)學(xué)家所了解的分形(fractal)理論也展現(xiàn)出了與黃金比例有關(guān)的特性。
在漫長(zhǎng)旅程的最后,我會(huì)為你奉上數(shù)學(xué)專著的節(jié)選,相信這些專業(yè)書籍會(huì)帶你更加深入地探索黃金比例的世界。
第五章
黃金比例與自然
請(qǐng)你在腦海中想象出一個(gè)非常簡(jiǎn)單的矩形。它如何在形狀不變的情況下增大?常識(shí)告訴我們,整個(gè)矩形必須均勻地增大,也就是說(shuō),在所有的方向上都以相同的比例增大。這就好像矩形的每條邊都是有彈性的,一點(diǎn)一點(diǎn)地被小心拉長(zhǎng)。矩形的自然增大意味著各邊以相同的速度變長(zhǎng),這種假設(shè)好像符合邏輯,但這樣會(huì)導(dǎo)致臨邊之比發(fā)生改變,增大的矩形也會(huì)因此失去原有的形狀。
生長(zhǎng)形態(tài)
我們?cè)诘诙轮幸呀?jīng)證明,在黃金矩形的長(zhǎng)邊一側(cè)增加一個(gè)邊長(zhǎng)與之相等的正方形,這樣就得到了另一個(gè)黃金矩形。因?yàn)樗悬S金矩形的臨邊之比相同(都等于Φ),所以它的尺寸增大但形狀保持不變。同理,我們從黃金矩形中去掉一個(gè)正方形后得到的還是黃金矩形。由此可以確定黃金矩形的磬折形是正方形。只有黃金矩形才具有這一性質(zhì)。因此要想保持形狀不變,可以使用黃金比例來(lái)改變事物的大小。我們可以通過(guò)觀察生物的生長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證,這一性質(zhì)在植物身上尤為明顯。
為了理解“保持形狀”究竟是什么意思,首先請(qǐng)思考一下人類。隨著我們的成長(zhǎng),人體的比例是否會(huì)一直不變?答案肯定是不會(huì)。應(yīng)該說(shuō)人類的成長(zhǎng)是一個(gè)身體比例不斷變化的過(guò)程。雖然這并沒(méi)有什么大不了,但隨著年齡的增長(zhǎng),身體比例發(fā)生變化是一件好事。如果我們的身體比例從出生時(shí)就保持不變,那么要想讓頭部直立起來(lái)都會(huì)非常困難。
從另一方面我們也看到,黃金螺線在旋轉(zhuǎn)增大的過(guò)程中與其他螺線有著本質(zhì)上的區(qū)別。蘇格蘭的生物學(xué)家達(dá)西·湯普森(1860—1948)被認(rèn)為是首位“生物數(shù)學(xué)家”。他指出,在不改變整體外形的情況下,某些生物的生長(zhǎng)方式具有對(duì)數(shù)螺線的特點(diǎn),與其他數(shù)學(xué)曲線沒(méi)有任何關(guān)系:“對(duì)于任何從固定極點(diǎn)出發(fā)的平面曲線來(lái)說(shuō),兩條極線與該曲線會(huì)圍成一個(gè)以極點(diǎn)為頂點(diǎn)、不斷增大的扇形,如果這個(gè)扇形的磬折形總是它的前一個(gè)扇形,那么這種曲線就是對(duì)數(shù)螺線!
昆蟲會(huì)沿著黃金螺線的軌跡接近光源。如果我們希望在靠近而不是遠(yuǎn)離固定點(diǎn)的過(guò)程中保持轉(zhuǎn)向的角度不變,那么我們只能按照黃金螺線的軌跡行走。猛禽在撲向獵物時(shí)也保持著這種軌跡,只有這樣它們才能保持頭部抬起,在最大加速過(guò)程中讓獵物一直出現(xiàn)在視野的相同位置。
生物的黃金比例
達(dá)·芬奇通過(guò)《維特魯威人》做出假設(shè),認(rèn)為動(dòng)物世界中充滿黃金比例。從那時(shí)起,人們?cè)谒囆g(shù)、科學(xué)領(lǐng)域?qū)θ梭w不同的部位與黃金比例之間的關(guān)系進(jìn)行了大量的研究。然而人體尺寸在中世紀(jì)就已經(jīng)用作度量的標(biāo)準(zhǔn)。法國(guó)各個(gè)大教堂的建造者都使用一種由五個(gè)活節(jié)連桿組成的測(cè)量工具,五節(jié)的長(zhǎng)度分別表示掌寬、小指尖到食指尖的最大距離——指距、小指尖到拇指尖的最大距離—手距、腳長(zhǎng)以及肘部到指尖的距離——肘長(zhǎng)。
所有這些長(zhǎng)度都是一個(gè)更小單位的倍數(shù),人們稱其為“法分”(等于1 / 12 法寸),略小于2.5 毫米(更準(zhǔn)確的數(shù)值為2.247 毫米)。下表是轉(zhuǎn)換為公制單位后的計(jì)量長(zhǎng)度。我們可以看到,第二列中的數(shù)字是斐波那契數(shù)列的連續(xù)項(xiàng),因此相鄰長(zhǎng)度之間的比為黃金比例。這越發(fā)地不可思議,因?yàn)槿藗円婚_(kāi)始是將任意選取的人體部位作為計(jì)量單位的。
葉序與黃金比例
“Phyllotaxis”(葉序)是由希臘詞語(yǔ)“phyllo”(葉子)和“taxis”(順序)組成。葉序這個(gè)詞源自植物學(xué)領(lǐng)域,研究的是葉在植物莖上的排列方式。我們下面就會(huì)看到,葉序似乎遵循著幾何與數(shù)字原理。通過(guò)對(duì)葉序的研究,人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了某些驚人的自然生長(zhǎng)系統(tǒng),這些系統(tǒng)似乎完全符合某些數(shù)學(xué)特點(diǎn)。
我們首先會(huì)看到,植物的葉子從來(lái)不會(huì)重疊生長(zhǎng)。如果重疊生長(zhǎng),某些葉子就會(huì)遮住其他葉子所需要的陽(yáng)光。為了避免這種情況,葉子需要特定的生長(zhǎng)方式。通過(guò)詳細(xì)的分析,人們已經(jīng)可以從數(shù)學(xué)的角度對(duì)這種生長(zhǎng)方式加以描述。
達(dá)·芬奇首先揭示了葉子生長(zhǎng)的關(guān)鍵原理。這位偉大的天才意識(shí)到葉子沿著莖干以螺線狀排列,每五片為一組完成一個(gè)生長(zhǎng)循環(huán),這說(shuō)明五片葉子的總旋轉(zhuǎn)角度是1 / 5 的倍數(shù)。后來(lái),開(kāi)普勒觀察到花朵通常是五邊形、有五片花瓣,水果籽也經(jīng)常排列為五角星形,比如常見(jiàn)的蘋果。
19 世紀(jì),多虧了德國(guó)博物學(xué)家卡爾·申佩爾(1803— 1867)和法國(guó)晶體學(xué)家?jiàn)W古斯特·布拉維(1811—1863),數(shù)學(xué)和葉序才開(kāi)始被聯(lián)系到一起。兩人都注意到,松果的鱗片數(shù)量是斐波那契數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)。他們的研究表明,決定葉序排列方式的因素可以通過(guò)斐波那契數(shù)列相鄰項(xiàng)的比值來(lái)表示。
從那以后,斐波那契數(shù)列和植物學(xué)就結(jié)合在了一起。1968 年,美國(guó)數(shù)學(xué)家艾爾雷德·布羅索研究了10 種加利福尼亞松樹的4 290 顆松果并證明,僅有74 顆松果為特例,其余的全部符合斐波那契數(shù)列。樣本的符合率為98.3%。經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間后,科學(xué)界對(duì)此提出質(zhì)疑并在1992 年又重復(fù)了這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。這種事情經(jīng)常發(fā)生。加拿大植物學(xué)家羅歇·V. 讓擴(kuò)大了研究范圍,他觀察了650 種松樹的12 750 顆松果。這一次有92% 的樣本符合斐波那契數(shù)列。
大部分高莖植物的葉子以螺線狀分布,而且大都遵循著一種特定的分散規(guī)律,這種規(guī)律可見(jiàn)于所有植物物種,即兩片連續(xù)的葉子構(gòu)成的角度不變,我們將其稱為“發(fā)散角”。發(fā)散角既可以用度數(shù)表示,也可以用分?jǐn)?shù)表示,其中分子是從莖上的一片葉子到它上面相同位置的葉子旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),分母是在這兩片葉子之間沿螺線生長(zhǎng)的葉子總數(shù)。
在斐波那契數(shù)列中,某一項(xiàng)與它之后的第二項(xiàng)的比,即an / an+2 組成了申佩爾—布勞恩級(jí)數(shù),它根據(jù)葉子不同的分散角度對(duì)許多物種進(jìn)行了分類。如果我們還記斐波那契數(shù)列中兩個(gè)連續(xù)項(xiàng),即an+1 / an 的比值不斷趨近于黃金比例,那么就可以說(shuō)申佩爾—布勞恩級(jí)數(shù)的比值不斷趨近于1 / Φ2。數(shù)學(xué)證明如下:
真正的難題是植物如何“知道”它們必須按照斐波那契數(shù)列排列葉子。下面告訴你答案。植物的莖上有一個(gè)圓錐形的生長(zhǎng)點(diǎn)。我們從植物上方觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn),最先長(zhǎng)出的葉子通常以莖為中心向外伸展。布拉維發(fā)現(xiàn),每片新葉與上一片葉子的角度大約為137.5°。通過(guò)計(jì)算(360°是一整圈),我們得到了137.5°角,有時(shí)人們把這個(gè)角稱為黃金角。
1984年,由N·里維耶率領(lǐng)的一組科學(xué)家反其道而行之,通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)研究植物學(xué)。他們發(fā)現(xiàn),讓葵花籽的生長(zhǎng)角度等于黃金角,用數(shù)學(xué)算法得到的向日葵花盤會(huì)與真實(shí)的排列結(jié)構(gòu)相似。里維耶的結(jié)論很有意思:由于生物需要同質(zhì)性和相似的結(jié)構(gòu),因而大大限制了它們可能的生長(zhǎng)形態(tài)。反過(guò)來(lái),這條結(jié)論也可以解釋為什么斐波那契數(shù)列和黃金比例會(huì)頻繁地出現(xiàn)在葉序中。其他與磁場(chǎng)有關(guān)的實(shí)驗(yàn)也在其中發(fā)現(xiàn)了黃金螺線狀的結(jié)構(gòu)。