前 言

現(xiàn)在，我們的世界比過(guò)去任何時(shí)候都依賴數(shù)字，某些數(shù)字甚至擁有專屬名稱，比如圓周率π、自然常數(shù)e 等等。

在這之中有一個(gè)特別有意思的數(shù)字，它就是1.6180339887， 可以簡(jiǎn)化為1.61 或0.618。事實(shí)證明，它的名氣大過(guò)π 和e，讓更多的杰出人物為之著迷。人們懷著敬畏之心為它取了如黃金數(shù)（golden number）、超越比例（transcendental ratio）、神圣之?dāng)?shù)（divine number）、神圣比例（divine ratio）等一連串名字…… 而我們通常把它稱為黃金比例（golden ratio），用希臘字母Φ （phi）表示。黃金比例在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著特殊的地位，它的數(shù)字性質(zhì)奇妙無(wú)比，與自然和人類的造物都有著某些未知的聯(lián)系。作為“萬(wàn)物皆數(shù)學(xué)”系列叢書之一，本書愿意引領(lǐng)讀者走進(jìn)黃金比例的奇妙世界，成為讀者手中的“旅行指南”。

本書將審視從古至今存在于科學(xué)、藝術(shù)中數(shù)不勝數(shù)的黃金比例，還有它在動(dòng)植物形態(tài)學(xué)（研究事物形狀和形態(tài)的學(xué)科） 中發(fā)揮的重要作用。一旦對(duì)黃金比例有了一定認(rèn)識(shí)，我們就能夠深入發(fā)掘它的奇特之處。這趟旅程以歐幾里得的《幾何原本》（歷史上最暢銷的科學(xué)書籍）為起點(diǎn)，途經(jīng)文藝復(fù)興時(shí)期佛羅倫薩熱鬧的街頭，與當(dāng)時(shí)最為杰出的列奧納多·達(dá)·芬奇碰面。

黃金比例的奇妙在于它能夠?qū)⒆陨淼膬?yōu)美賦予各種各樣的圖形，從三角形到擁有二十個(gè)面的幾何體（二十面體）都是它的杰作。但是在那令人敬畏的名稱背后，黃金比例其實(shí)就隱藏在常見(jiàn)的幾何物體中，比如生活中隨處可見(jiàn)的信用卡和五角星。所謂的“黃金矩形”是指鄰邊之比恰好符合黃金比例的矩形， 而信用卡就是這樣的矩形。a 如果黃金矩形無(wú)處不在，那么螺線或五角星又有什么特別之處？答案是二者都與黃金比例有著密切的聯(lián)系，并且經(jīng)常出現(xiàn)在建筑、鑲嵌藝術(shù)甚至是棋盤游戲中。

然而黃金比例最令人驚訝的是它與抽象概念之間的聯(lián)系。舉例來(lái)說(shuō)，我們認(rèn)為它象征著優(yōu)雅與完美，而這一點(diǎn)已經(jīng)眾所周知。在這場(chǎng)令人神往的旅行中，陪伴我們的都是頂級(jí)向?qū)В?達(dá)·芬奇、勒·柯布西耶以及其他大師級(jí)的人物，他們都鐘情于黃金比例那純粹的和諧。如果我們厭倦了人類的發(fā)明創(chuàng)造， 不妨將目光轉(zhuǎn)向身邊的大自然，置身其中同樣可以發(fā)現(xiàn)黃金比例，許多生物都是按照黃金比例生長(zhǎng)的。最近才為數(shù)學(xué)家所了解的分形（fractal）理論也展現(xiàn)出了與黃金比例有關(guān)的特性。

在漫長(zhǎng)旅程的最后，我會(huì)為你奉上數(shù)學(xué)專著的節(jié)選，相信這些專業(yè)書籍會(huì)帶你更加深入地探索黃金比例的世界。

第五章

黃金比例與自然

請(qǐng)你在腦海中想象出一個(gè)非常簡(jiǎn)單的矩形。它如何在形狀不變的情況下增大？常識(shí)告訴我們，整個(gè)矩形必須均勻地增大，也就是說(shuō)，在所有的方向上都以相同的比例增大。這就好像矩形的每條邊都是有彈性的，一點(diǎn)一點(diǎn)地被小心拉長(zhǎng)。矩形的自然增大意味著各邊以相同的速度變長(zhǎng)，這種假設(shè)好像符合邏輯，但這樣會(huì)導(dǎo)致臨邊之比發(fā)生改變，增大的矩形也會(huì)因此失去原有的形狀。

生長(zhǎng)形態(tài)

我們?cè)诘诙�章中已�?jīng)證明，在黃金矩形的長(zhǎng)邊一側(cè)增加一個(gè)邊長(zhǎng)與之相等的正方形，這樣就得到了另一個(gè)黃金矩形。因?yàn)樗�有黃金矩形的臨邊之比相同（都等于Φ），所以它的尺寸增大但形狀保持不變。同理，我們從黃金矩形中去掉一個(gè)正方形后得到的還是黃金矩形。由此可以確定黃金矩形的磬折形是正方形。只有黃金矩形才具有這一性質(zhì)。因此要想保持形狀不變，可以使用黃金比例來(lái)改變事物的大小。我們可以通過(guò)觀察生物的生長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，這一性質(zhì)在植物身上尤為明顯。

為了理解“保持形狀”究竟是什么意思，首先請(qǐng)思考一下人類。隨著我們的成長(zhǎng)，人體的比例是否會(huì)一直不變？答案肯定是不會(huì)。應(yīng)該說(shuō)人類的成長(zhǎng)是一個(gè)身體比例不斷變化的過(guò)程。雖然這并沒(méi)有什么大不了，但隨著年齡的增長(zhǎng)，身體比例發(fā)生變化是一件好事。如果我們的身體比例從出生時(shí)就保持不變，那么要想讓頭部直立起來(lái)都會(huì)非常困難。

從另一方面我們也看到，黃金螺線在旋轉(zhuǎn)增大的過(guò)程中與其他螺線有著本質(zhì)上的區(qū)別。蘇格蘭的生物學(xué)家達(dá)西·湯普森（1860—1948）被認(rèn)為是首位“生物數(shù)學(xué)家”。他指出，在不改變整體外形的情況下，某些生物的生長(zhǎng)方式具有對(duì)數(shù)螺線的特點(diǎn)，與其他數(shù)學(xué)曲線沒(méi)有任何關(guān)系：“對(duì)于任何從固定極點(diǎn)出發(fā)的平面曲線來(lái)說(shuō)，兩條極線與該曲線會(huì)圍成一個(gè)以極點(diǎn)為頂點(diǎn)、不斷增大的扇形，如果這個(gè)扇形的磬折形總是它的前一個(gè)扇形，那么這種曲線就是對(duì)數(shù)螺線�！�

昆蟲會(huì)沿著黃金螺線的軌跡接近光源。如果我們希望在靠近而不是遠(yuǎn)離固定點(diǎn)的過(guò)程中保持轉(zhuǎn)向的角度不變，那么我們只能按照黃金螺線的軌跡行走。猛禽在撲向獵物時(shí)也保持著這種軌跡，只有這樣它們才能保持頭部抬起，在最大加速過(guò)程中讓獵物一直出現(xiàn)在視野的相同位置。

生物的黃金比例

達(dá)·芬奇通過(guò)《維特魯威人》做出假設(shè)，認(rèn)為動(dòng)物世界中充滿黃金比例。從那時(shí)起，人們?cè)谒囆g(shù)、科學(xué)領(lǐng)域?qū)θ梭w不同的部位與黃金比例之間的關(guān)系進(jìn)行了大量的研究。然而人體尺寸在中世紀(jì)就已經(jīng)用作度量的標(biāo)準(zhǔn)。法國(guó)各個(gè)大教堂的建造者都使用一種由五個(gè)活節(jié)連桿組成的測(cè)量工具，五節(jié)的長(zhǎng)度分別表示掌寬、小指尖到食指尖的最大距離——指距、小指尖到拇指尖的最大距離—手距、腳長(zhǎng)以及肘部到指尖的距離——肘長(zhǎng)。

所有這些長(zhǎng)度都是一個(gè)更小單位的倍數(shù)，人們稱其為“法分”（等于1 / 12 法寸），略小于2.5 毫米（更準(zhǔn)確的數(shù)值為2.247 毫米）。下表是轉(zhuǎn)換為公制單位后的計(jì)量長(zhǎng)度。我們可以看到，第二列中的數(shù)字是斐波那契數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)，因此相鄰長(zhǎng)度之間的比為黃金比例。這越發(fā)地不可思議，因?yàn)槿藗円婚_(kāi)始是將任意選取的人體部位作為計(jì)量單位的。

葉序與黃金比例

“Phyllotaxis”（葉序）是由希臘詞語(yǔ)“phyllo”（葉子）和“taxis”（順序）組成。葉序這個(gè)詞源自植物學(xué)領(lǐng)域，研究的是葉在植物莖上的排列方式。我們下面就會(huì)看到，葉序似乎遵循著幾何與數(shù)字原理。通過(guò)對(duì)葉序的研究，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了某些驚人的自然生長(zhǎng)系統(tǒng)，這些系統(tǒng)似乎完全符合某些數(shù)學(xué)特點(diǎn)。

我們首先會(huì)看到，植物的葉子從來(lái)不會(huì)重疊生長(zhǎng)。如果重疊生長(zhǎng)，某些葉子就會(huì)遮住其他葉子所需要的陽(yáng)光。為了避免這種情況，葉子需要特定的生長(zhǎng)方式。通過(guò)詳細(xì)的分析，人們已經(jīng)可以從數(shù)學(xué)的角度對(duì)這種生長(zhǎng)方式加以描述。

達(dá)·芬奇首先揭示了葉子生長(zhǎng)的關(guān)鍵原理。這位偉大的天才意識(shí)到葉子沿著莖干以螺線狀排列，每五片為一組完成一個(gè)生長(zhǎng)循環(huán)，這說(shuō)明五片葉子的總旋轉(zhuǎn)角度是1 / 5 的倍數(shù)。后來(lái)，開(kāi)普勒觀察到花朵通常是五邊形、有五片花瓣，水果籽也經(jīng)常排列為五角星形，比如常見(jiàn)的蘋果。

19 世紀(jì)，多虧了德國(guó)博物學(xué)家卡爾·申佩爾（1803— 1867）和法國(guó)晶體學(xué)家?jiàn)W古斯特·布拉維（1811—1863），數(shù)學(xué)和葉序才開(kāi)始被聯(lián)系到一起。兩人都注意到，松果的鱗片數(shù)量是斐波那契數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)。他們的研究表明，決定葉序排列方式的因素可以通過(guò)斐波那契數(shù)列相鄰項(xiàng)的比值來(lái)表示。

從那以后，斐波那契數(shù)列和植物學(xué)就結(jié)合在了一起。1968 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家艾爾雷德·布羅索研究了10 種加利福尼亞松樹的4 290 顆松果并證明，僅有74 顆松果為特例，其余的全部符合斐波那契數(shù)列。樣本的符合率為98.3％。經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間后，科學(xué)界對(duì)此提出質(zhì)疑并在1992 年又重復(fù)了這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。這種事情經(jīng)常發(fā)生。加拿大植物學(xué)家羅歇·V. 讓擴(kuò)大了研究范圍，他觀察了650 種松樹的12 750 顆松果。這一次有92% 的樣本符合斐波那契數(shù)列。

大部分高莖植物的葉子以螺線狀分布，而且大都遵循著一種特定的分散規(guī)律，這種規(guī)律可見(jiàn)于所有植物物種，即兩片連續(xù)的葉子構(gòu)成的角度不變，我們將其稱為“發(fā)散角”。發(fā)散角既可以用度數(shù)表示，也可以用分?jǐn)?shù)表示，其中分子是從莖上的一片葉子到它上面相同位置的葉子旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，分母是在這兩片葉子之間沿螺線生長(zhǎng)的葉子總數(shù)。

在斐波那契數(shù)列中，某一項(xiàng)與它之后的第二項(xiàng)的比，即an / an+2 組成了申佩爾—布勞恩級(jí)數(shù)，它根據(jù)葉子不同的分散角度對(duì)許多物種進(jìn)行了分類。如果我們還記斐波那契數(shù)列中兩個(gè)連續(xù)項(xiàng)，即an+1 / an 的比值不斷趨近于黃金比例，那么就可以說(shuō)申佩爾—布勞恩級(jí)數(shù)的比值不斷趨近于1 / Φ2。數(shù)學(xué)證明如下：

真正的難題是植物如何“知道”它們必須按照斐波那契數(shù)列排列葉子。下面告訴你答案。植物的莖上有一個(gè)圓錐形的生長(zhǎng)點(diǎn)。我們從植物上方觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，最先長(zhǎng)出的葉子通常以莖為中心向外伸展。布拉維發(fā)現(xiàn)，每片新葉與上一片葉子的角度大約為137.5°。通過(guò)計(jì)算（360°是一整圈），我們得到了137.5°角，有時(shí)人們把這個(gè)角稱為黃金角。

1984年，由N·里維耶率領(lǐng)的一組科學(xué)家反其道而行之，通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)研究植物學(xué)。他們發(fā)現(xiàn)，讓葵花籽的生長(zhǎng)角度等于黃金角，用數(shù)學(xué)算法得到的向日葵花盤會(huì)與真實(shí)的排列結(jié)構(gòu)相似。里維耶的結(jié)論很有意思：由于生物需要同質(zhì)性和相似的結(jié)構(gòu)，因而大大限制了它們可能的生長(zhǎng)形態(tài)。反過(guò)來(lái)，這條結(jié)論也可以解釋為什么斐波那契數(shù)列和黃金比例會(huì)頻繁地出現(xiàn)在葉序中。其他與磁場(chǎng)有關(guān)的實(shí)驗(yàn)也在其中發(fā)現(xiàn)了黃金螺線狀的結(jié)構(gòu)。