引 言

游戲和數(shù)學(xué)之間有什么關(guān)系？數(shù)學(xué)游戲除了有娛樂價(jià)值，是否能夠模擬現(xiàn)實(shí)生活中的情境？假如從數(shù)學(xué)的角度分析某個(gè)游戲，我們需要哪些信息，又能得出什么結(jié)論？我們是否能夠通過數(shù)學(xué)來研究人類行為，并且利用它做決策？

這些問題僅僅是本書將要嘗試回答的一部分。這是一本有關(guān)數(shù)學(xué)和游戲的書。與其他涉及該方面的書不同，本書的內(nèi)容并不是各種依靠大量技巧完成的游戲，而是在分析某些游戲的基礎(chǔ)上，涵蓋了一系列數(shù)學(xué)概念、過程和理論。

通過對(duì)相關(guān)材料的研究，本書試圖表明，數(shù)學(xué)中的二分法，比如嚴(yán)肅數(shù)學(xué)或趣味數(shù)學(xué)、純粹數(shù)學(xué)或應(yīng)用數(shù)學(xué)，實(shí)際上就像是同一枚硬幣的正反兩面，甚至更確切地說，像是一個(gè)四面體的四個(gè)面。最初，游戲似乎只是一種娛樂，而我們?cè)诜治鲇螒虻倪^程中引入了數(shù)學(xué)，將其變成一種純粹的智力愉悅。由于博弈論的存在，對(duì)游戲的數(shù)理性研究就成了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)情境之間關(guān)系的最相關(guān)的學(xué)科分支之一。

本書的第一章闡述這門學(xué)科的歷史，梳理數(shù)學(xué)和游戲之間的歷史關(guān)系；第二章和第三章分別對(duì)不含運(yùn)氣因素的游戲（所謂的完全信息博弈）和含有運(yùn)氣因素的游戲進(jìn)行研究分析。在第二章中，我們通過幾個(gè)策略小游戲的例子，論述了如何通過分析游戲，得出某種可能獲勝的游戲方法（制勝策略），并對(duì)分析游戲過程中涉及的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探索。在第三章中，我們探討了游戲中基本的概率問題，賭博游戲需要計(jì)算可能性的大小，這個(gè)過程會(huì)涉及概率論的基本原理。

最后兩章是對(duì)博弈論的介紹，該理論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支， 是由約翰.馮.諾依曼在20 世紀(jì)早期創(chuàng)立的。該理論從多方面研究人類行為，從而幫助人們?cè)诮?jīng)濟(jì)、政治、軍事機(jī)構(gòu)以及動(dòng)物行為等領(lǐng)域做出最佳決策。該理論將博弈作為數(shù)學(xué)模型， 以此觸發(fā)現(xiàn)實(shí)情境。

博弈論分析了某些困境，例如在懦夫博弈中，為了獲勝， 可以冒多大的風(fēng)險(xiǎn)？以及在囚徒困境中，是保持沉默還是揭發(fā)對(duì)方？這兩個(gè)經(jīng)典難題反映的局面，在現(xiàn)實(shí)世界中的很多事件中都會(huì)出現(xiàn)，對(duì)抗與合作之間的沖突往往會(huì)讓我們很難做出最佳抉擇。即使我們無法利用數(shù)學(xué)找到明確的解決辦法，但是在對(duì)不同可能性、對(duì)抗風(fēng)險(xiǎn)和合作優(yōu)勢(shì)的量化過程中，如何擺脫困境，也會(huì)逐漸明了起來。

第三章

運(yùn)氣游戲

本章重點(diǎn)論述游戲和概率之間的關(guān)系。當(dāng)人類嘗試模擬或預(yù)測(cè)某些像運(yùn)氣這樣看似無序的東西時(shí)，這種關(guān)系就已經(jīng)出現(xiàn)了。在此之前，數(shù)學(xué)家關(guān)注的一直是確定而規(guī)律的領(lǐng)域，相關(guān)研究有所保障。可以說，概率計(jì)算方法的出現(xiàn)開創(chuàng)了數(shù)學(xué)界的新紀(jì)元。我們逐漸發(fā)現(xiàn)，其應(yīng)用之處越來越多，涉及領(lǐng)域越來越廣。直到現(xiàn)在，我們用數(shù)學(xué)研究和模擬的不僅是概率，還包括其他不確定的東西，比如分形學(xué)的無序性和不規(guī)律性。

不服輸?shù)娜耍哼\(yùn)氣游戲和概率的誕生

目前，復(fù)雜的概率論的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，因?yàn)樵谖覀兊氖澜缋�，與確定因素相比，不確定因素具有更為重要的意義。然而，概率論的起源與人們?cè)谶\(yùn)氣游戲中的好勝心是分不開的。事實(shí)上，概率論的數(shù)學(xué)模型最初是基于概率的定義發(fā)展而來的。17世紀(jì)中期，該模型在法國初步成型，特別體現(xiàn)在1654年，布萊瑟.帕斯卡和皮埃爾·費(fèi)馬在通信中就安托萬.貢博（Antoine Gombauld，1607—1685）提出的問題所進(jìn)行的討論，后者我們也稱之為德米爾（Chevalier de Méré）。德米爾是一個(gè)狂熱的賭徒， 他曾向帕斯卡求助，希望其對(duì)某些骰子游戲的結(jié)果做出解釋。

德米爾一生中很大一部分時(shí)間都靠直覺方法來操作和分析運(yùn)氣游戲。碰巧的是，經(jīng)證實(shí)，這些方法往往都是正確的�？雌饋恚� 他通過某些看似平衡的游戲（也就是輸贏機(jī)會(huì)參半的游戲）贏了很多錢。在當(dāng)時(shí)的人們看來，很多游戲都是平衡的，其中一個(gè)就是，擲骰子4 次，至少擲得一次6 點(diǎn)，但德米爾卻知道，這個(gè)游戲是有勝算的。不過，他提出了一種新玩法，即擲一對(duì)骰子24 次， 至少有一次要擲得一對(duì)6 點(diǎn)。他以為這種玩法跟之前的游戲一樣， 也會(huì)贏錢。但他很快就發(fā)現(xiàn)，事實(shí)并非如此，原有的策略甚至適得其反。于是，在1654 年左右，他找到了帕斯卡，詢問自己的推斷哪里錯(cuò)了，為什么新玩法會(huì)讓他輸錢，跟之前的游戲完全不同。

駕馭機(jī)會(huì)：概率的數(shù)學(xué)研究

在介紹概率的概念和基本性質(zhì)之前，我們先來分析一下德米爾的兩種賭博游戲。第一種的具體情況是這樣的：擲4 次骰子，至少擲得一枚6 點(diǎn)，這樣的概率有多少？我們可以運(yùn)用概率論的基本原理解決這個(gè)問題，即某個(gè)事件或其相反事件發(fā)生的概率為1。因此，我們必須首先算一下，擲4 次骰子，沒有擲得6 點(diǎn)的概率是多少。顯然，每擲一次骰子，該概率為p（沒有擲得6 點(diǎn)的概率） = 5/6。而擲4 次骰子，每一次都是完全獨(dú)立的， 這就意味著我們需要將每一次的概率相乘，得出總概率為：

（5/6）.（5/6）.（5/6）.（5/6）=（5/6）4 = 625 / 1 296 = 0.482 < 1/2。

這樣，至少擲得一枚6 點(diǎn)的概率就是：

1-（625 / 1 296）=671/ 1 296 = 0.518 > 1/2。

由此我們可以看出，正如德米爾原本猜測(cè)的一樣，擲4 次骰子，擲得一枚6 點(diǎn)，在這上面下注是有勝算的。

我們可以用類似的方法來分析和解決第二種賭法：擲兩枚骰子24 次，擲得一對(duì)6 點(diǎn)的概率是多少？跟之前一樣，我們必須先算一下在這24 次中，無法擲得一對(duì)6 點(diǎn)的概率。兩枚骰子每擲一次，該概率為p（沒有擲得一對(duì)6 點(diǎn)的概率）=35/36。因此，擲24 次，該概率為：

p（沒有擲得一對(duì)6 點(diǎn)的概率）=（35/36）24 = 0.5086。

從這個(gè)結(jié)果可以明顯看出，至少擲得一對(duì)6 點(diǎn)的概率為：

1-0.5086 = 0.4914 < 1/2。

以上我們分析的賭博游戲是歷史上最早解決的概率問題之一。在這個(gè)過程中，我們已經(jīng)運(yùn)用到了一系列定義和性質(zhì)，二者構(gòu)成了概率論的基礎(chǔ)。

這些性質(zhì)，很多都在之前提到的帕斯卡和費(fèi)馬的通信中進(jìn)行過討論，后來又在拉普拉斯的概率論專著中建立起來。不過它們都是以逆向的形式呈現(xiàn)出來的，下面我們通過幾個(gè)相關(guān)的擲骰子游戲加以說明：

事件 概率

1 任意事件E總是具備以下條件：

0≦p（E）≦1 每擲一次骰子，擲得1~6某一點(diǎn)數(shù)（比如5點(diǎn)）的概率都是1/6，因?yàn)榭赡苁录��?種，其中只有一種是符合預(yù)期的（ 即擲得5點(diǎn)）。

2 如果E一定發(fā)生，則p（E）=1，而如果E不可能發(fā)生，則p（E）= 0 每擲一次骰子，擲得7點(diǎn)的概率為0（該事件不可能發(fā)生），而擲得點(diǎn)數(shù)為大于0且小于7的整數(shù)的概率則為1（該事件一定發(fā)生）。

3 p（非E）=1-p（E） 每擲一次骰子，p（擲得6點(diǎn)）=1-p（ 沒有擲得6點(diǎn)）。那么，每擲4次骰子，p（至少擲得一個(gè)6點(diǎn)）=1-p（沒有擲得6點(diǎn)）。

4 如果A和B代表不同的事件，p（A或 B）=p（A）+p（B） 每擲一次骰子，p（擲得偶數(shù)點(diǎn)或5 點(diǎn)）= p（擲得偶數(shù)點(diǎn)）+p（擲得5 點(diǎn)）=1/2+1/6=2/3。

5 如果A和B代表獨(dú)立的事件，p（A和 B）=

p（A）·p（B） 如果一次擲出兩枚骰子，那么沒有擲得6點(diǎn)的概率為：p（兩枚骰子都不是6點(diǎn)）=p（不是6點(diǎn)）·p（不是6 點(diǎn)）=5/6·5/6=25/36。

帕斯卡和費(fèi)馬在通信中還談?wù)摰搅硗庖粋�(gè)有關(guān)賭博游戲的問題。具體地說，就是如果游戲在某一時(shí)刻突然中斷，玩家應(yīng)該如何分配賭金。這個(gè)問題就是我們常說的“點(diǎn)數(shù)分配問題”。最早涉及該問題的是卡爾達(dá)諾，他提出的解決方案是基于雙方的現(xiàn)有點(diǎn)數(shù)，而不是雙方在游戲結(jié)束后獲勝的概率。