中國科學院數(shù)學研究所一批中青年學者發(fā)起組織了數(shù)學所講座，介紹現(xiàn)代數(shù)學的重要內容及其思想、方法，旨在開闊視野，增進交流，提高數(shù)學修養(yǎng).本書的文章系根據(jù)2016年數(shù)學所講座8個報告的講稿整理而成，按報告的時間順序編排.具體內容包括：K-等價與代數(shù)閉鏈、泰希米勒空間、高維仿真李代數(shù)、特殊拉格朗日方程、從太陽系的穩(wěn)定性談起、典型李群及其表示、隨機分析與幾何、引力的全息性質及其應用等.
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目 錄
1 K-等價與代數(shù)閉鏈 王金龍
1.1 雙有理幾何與極小模型 1
1.1.1 代數(shù)曲面的極小模型 2
1.1.2 極小模型綱領 MMP 2
1.1.3 幾何空間翻轉手術：復理/復絡 4
1.1.4 3維的特殊性 5
1.2 K-等價與上同調 6
1.2.1 K-等價關系 6
1.2.2 一個啟發(fā)性的幾何論點7
1.2.3 p-進制積分與Betti/Hodge數(shù) 7
1.3 變量替換公式與復橢圓虧格 9
1.3.1 曲率積分（陳-示性數(shù)）、復虧格與共邊理論.9
1.3.2 證明的想法：留數(shù)定理 10
1.4 K-等價猜想與初步證據(jù) 10
1.4.1 K-等價猜想 10
1.4.2 具有局部結構（S，F(xiàn)，F(xiàn)′）的普通Pr復絡的定義 11
1.4.3 高維情形關于Ⅳ的早期證據(jù) 12
1.4.4 高維時Ⅰ與Ⅱ在特殊復絡下的證據(jù).12
1.4.5 高維情形關于Ⅲ的附記 14
1.5 利用弧線空間建構代數(shù)閉鏈的提案 14
1.5.1 弧線空間與變量替換 14
1.5.2 從弧線空間構造**An（X×X′） 15
1.6 半小K-等價與母題 16
1.6.1 半小K-等價 16
1.6.2 利用反常層的分解定理 17
1.6.3 代數(shù)閉鏈型的Kunneth 公式 17
參考文獻 18
2 泰希米勒空間理論及其應用 劉勁松
2.1 全純函數(shù) 23
2.2 黎曼曲面結構.24
2.3 擬共形映照 27
2.4 黎曼模問題 29
2.5 泰希米勒空間的應用 33
2.5.1 低維拓撲 33
2.5.2 曲面映射類群 .36
2.5.3 圓填充 37
2.5.4 復解析動力系統(tǒng) 41
2.5.5 泰希米勒空間的其他應用 44
2.6 總結 44
3 高維仿射李代數(shù)——從單位圓談起 郜云
3.1 背景介紹 46
3.2 高維仿射李代數(shù)的定義及性質 48
3.2.1 高維仿射李代數(shù)的定義和性質 48
3.2.2 雙線性型的半正定性與卡茨猜想 50
3.3 高維仿射李代數(shù)的分類 51
3.3.1 半格與高維仿射根系 51
3.3.2 根系分次李代數(shù)與高維仿射李代數(shù) 55
3.4 與齋藤工作的關系 57
3.5 根系分次李代數(shù) 58
3.6 高維仿射李代數(shù)的表示 60
3.6.1 例子：A型高維仿射李代數(shù)* 60
3.6.2 頂點算子表示 61
3.6.3 A1型高維仿射李代數(shù)*的埃爾米特表示 64
3.7 A型高維仿射李代數(shù)的量子化 66
參考文獻 67
4 特殊拉格朗日方程 袁域
4.1 特殊拉格朗日方程的引入 71
4.1.1 方程的定義 71
4.1.2 方程的幾何背景 72
4.1.3 方程的代數(shù)形式 73
4.1.4 方程的水平集 74
4.2 相關結果 75
4.2.1 概述 75
4.2.2 整體解的剛性 75
4.2.3 蒙日-安培方程的先驗估計 77
4.2.4 臨界及超臨界相角的特殊拉格朗日方程的先驗估計 77
4.2.5 次臨界相角的特殊拉格朗日方程的奇異解 79
4.3 具有勢函數(shù)的曲率流 80
4.3.1 歐氏空間中的拉格朗日平均曲率流 80
4.3.2 偽歐氏空間中的拉格朗日平均曲率流和凱萊流形上的凱萊-里奇流 82
4.4 未解決的問題 84
參考文獻 85
5 從太陽系的穩(wěn)定性問題談起 尚在久
5.1 牛頓力學 88
5.2 拉普拉斯、拉格朗日和拉格朗日力學 91
5.3 哈密頓力學 93
5.4 龐加萊和動力學基本問題 95
5.5 柯爾莫哥洛夫-阿諾德-莫澤定理 （KAM定理） 98
5.5.1 圓周的保向微分同胚 100
5.5.2 環(huán)域的保面扭轉映射 102
5.5.3 解析函數(shù)的線性化 103
5.6 太陽系穩(wěn)定嗎？ 103
參考文獻 104
6 典型李群和它們的表示 孫斌勇
6.1 群和拓撲群 106
6.2 典型李群 108
6.3 極大緊子群和極大環(huán)面子群 110
6.4 有限維表示 112
6.5 經(jīng)典分歧律 114
6.6 經(jīng)典不變量理論 115
6.7 無窮維表示 117
6.8 Theta對應理論 118
6.9 局部Gan-Gross-Prasad猜想 119
參考文獻 120
7 隨機分析與幾何 李向東
7.1 序 121
7.2 布朗運動 122
7.2.1 布朗的實驗 122
7.2.2 愛因斯坦等關于布朗運動的研究 123
7.2.3 布朗運動的構造與性質 126
7.3 伊藤隨機分析 127
7.3.1 朗之萬隨機微分方程 127
7.3.2 柯爾莫哥洛夫問題 128
7.3.3 隨機微分方程 129
7.3.4 伊藤隨機分析的建立 130
7.3.5 斯特拉托諾維奇積分 132
7.3.6 關于隨機微分方程的極限定理 133
7.3.7 擴散與偏微分方程 134
7.3.8 若干注記 137
7.4 期權定價的布萊克-斯科爾斯-默頓理論 139
7.5 隨機微分幾何 142
7.5.1 流形上的隨機微分方程與擴散過程 142
7.5.2 旋轉群和李群上布朗運動的構造 143
7.5.3 流形上沿布朗運動的隨機平行移動 144
7.5.4 流形上的布朗運動與測地線 148
7.5.5 雙曲空間上的布朗運動 149
7.5.6 負曲率流形上的狄利克雷問題 150
7.5.7 微分形式上的熱半群及博克納零化定理的推廣 151
7.5.8 流形上的泛函不等式 152
7.6 路徑空間與環(huán)空間上的隨機分析 153
7.7 流形上的Lp-霍奇理論 156
7.7.1 流形上的里斯變換Lp-有界性的概率研究 156
7.7.2 完備黎曼流形上的Lp-霍奇理論 158
7.7.3 完備K.ahler流形上*-算子的Lp-估計 159
7.7.4 復流形的研究中一個著名的猜想 160
7.8 跋 160
參考文獻 163
8 引力的全息性質及其應用 蔡榮根 楊潤秋
8.1 引力與時空彎曲 169
8.2 從黑洞熱力學到全息原理 176
8.3 全息對偶在超導模型中的應用 187
參考文獻 194
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