本書系統而全面地介紹復變理論及其在工程問題上的應用，理論與實際應用密切結合，對工程類學科的學生來說，這種方式更生動地表達了數學理論的內涵。
第1章 復數 1
1.1 復數代數 1
1.2 復數的點表示 7
1.3 向量與極式 14
1.4 復指數 26
1.5 冪與根 33
1.6 平面集 39
1.7 黎曼球面與球極射影 44
小結 51
第2章 解析函數 53
2.1 復變函數 53
2.2 極限與連續(xù)性 58
2.3 解析性 65
2.4 柯西–黎曼方程 73
2.5 調和函數 79
*2.6 調和函數的一個實例—恒溫 87
*2.7 迭代映射—茹利亞集與芒德布羅集 91
小結 95
第3章 初等函數 99
3.1 多項式與有理函數 99
3.2 指數函數、三角函數與雙曲函數 110
3.3 對數函數 118
3.4 墊、楔與壁 125
3.5 復冪函數與復反三角函數 131
*3.6 在振蕩系統中的應用 138
小結 145
第4章 復積分 149
4.1 周線 149
4.2 周線積分 161
4.3 積分與路徑的無關性 173
4.4 柯西積分定理 180
4.4.a 周線形變法 180
4.4.b 向量分析法 191
4.5 柯西積分公式及其推論 204
4.6 解析函數的界 214
*4.7 在調和函數中的應用 221
小結 230
第5章 解析函數的級數表示 235
5.1 序列與級數 235
5.2 泰勒級數 242
5.3 冪級數 252
*5.4 收斂的數學理論 262
5.5 洛朗級數 269
5.6 零點與奇點 277
5.7 無窮遠點 287
*5.8 解析延拓 292
小結 304
第6章 留數理論 307
6.1 留數定理 307
6.2 [0,2π]上三角函數的積分 314
6.3 (–∞,+∞)上某些函數的反常積分 318
6.4 涉及三角函數的反常積分 328
6.5 凹周線 337
6.6 關于多值函數的積分 345
6.7 輻角原理與儒歇定理 355
小結 367
第7章 共形映射 369
7.1 拉普拉斯方程的不變性 369
7.2 幾何性質 377
7.3 默比烏斯變換 383
7.4 默比烏斯變換（續(xù)） 395
7.5 施瓦茨–克里斯托費爾變換 407
7.6 在靜電學、熱流與流體力學中的應用 419
7.7 共形映射在物理中的進一步應用 432
小結 443
第8章 應用數學的變換 445
8.1 傅里葉級數（有限傅里葉變換） 446
8.2 傅里葉變換 464
8.3 拉普拉斯變換 476
8.4 z變換 486
8.5 柯西積分與希爾伯特變換 495
小結 509
附錄A 共形映射的數值結構 513
附錄B 共形映射表 531
奇數練習答案 539
Contents
Contents
1 Complex Numbers 1
1.1 TheAlgebraofComplexNumbers ................... 1
1.2 Point Representation of Complex Numbers . ............. 7
1.3 VectorsandPolarForms ........................ 14
1.4 TheComplexExponential ....................... 26
1.5 PowersandRoots ............................ 33
1.6 PlanarSets ............................... 39
1.7 The Riemann Sphere and Stereographic Projection . ......... 44
Summary ................................ 51
2 Analytic Functions 53
2.1 FunctionsofaComplexVariable .................... 53
2.2 LimitsandContinuity.......................... 58
2.3 Analyticity ............................... 65
2.4 TheCauchy-RiemannEquations .................... 73
2.5 HarmonicFunctions........................... 79
2.6 *Steady-State Temperature as a Harmonic Function . ......... 87
2.7 *IteratedMaps:JuliaandMandelbrotSets . . ............. 91
Summary ................................ 95
3 Elementary Functions 99
3.1 PolynomialsandRationalFunctions . . . . . ............. 99
3.2 The Exponential, Trigonometric, and Hyperbolic Functions . . . . . . 110
3.3 TheLogarithmicFunction ....................... 118
3.4 Washers,Wedges,andWalls ...................... 125
3.5 Complex Powers and Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . 131
3.6 *ApplicationtoOscillatingSystems . . . . . ............. 138
Summary ................................ 145
4 Complex Integration 149
4.1 Contours................................. 149
4.2 ContourIntegrals ............................ 161
4.3 IndependenceofPath .......................... 173
4.4 Cauchy’sIntegralTheorem ....................... 180
4.4a Deformation of Contours Approach . . . ........... 180
4.4b VectorAnalysisApproach ................... 191
4.5 Cauchy’s Integral Formula and Its Consequences ........... 204
4.6 BoundsforAnalyticFunctions ..................... 214
4.7 *ApplicationstoHarmonicFunctions . . . . . . ........... 221
Summary ................................ 230
5 Series Representations for Analytic Functions 235
5.1 SequencesandSeries .......................... 235
5.2 TaylorSeries .............................. 242
5.3 PowerSeries .............................. 252
5.4 *MathematicalTheoryofConvergence. . . . . . ........... 262
5.5 LaurentSeries.............................. 269
5.6 ZerosandSingularities ......................... 277
5.7 ThePointatIn.nity........................... 287
5.8 *AnalyticContinuation ......................... 292
Summary ................................ 304
6 Residue Theory 307
6.1 TheResidueTheorem.......................... 307
6.2 Trigonometric Integrals over [0, 2π] .................. 314
6.3 Improper Integrals of Certain Functions over (.∞, ∞) ........ 318
6.4 Improper Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . .... 328
6.5 IndentedContours............................ 337
6.6 Integrals Involving Multiple-Valued Functions . . ........... 345
6.7 The Argument Principle and Rouch′e’s Theorem . ........... 355
Summary ................................ 367
7 Conformal Mapping 369
7.1 InvarianceofLaplace’sEquation .................... 369
7.2 GeometricConsiderations ....................... 377
7.3 M¨obiusTransformations ........................ 383
7.4 M¨obiusTransformations,Continued .................. 395
7.5 The Schwarz-Christoffel Transformation . . . . . ........... 407
7.6 Applications in Electrostatics, Heat Flow, and Fluid Mechanics .... 419
7.7 Further Physical Applications of Conformal Mapping . . . . . .... 432
Summary ................................ 443
8 The Transforms of Applied Mathematics 445
8.1 FourierSeries(TheFiniteFourierTransform) ............. 446
8.2 TheFourierTransform ......................... 464
8.3 TheLaplaceTransform......................... 476
8.4 Thez-Transform ............................ 486
8.5 CauchyIntegralsandtheHilbertTransform .............. 495
Summary ................................ 509
A Numerical Construction of Conformal Maps 513
B Table of Conformal Mappings 531
Answers to Odd-Numbered Problems 539
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