點集拓撲、微分拓撲和代數(shù)拓撲是拓補學中三個重要的分支。代數(shù)拓撲是代數(shù)與拓撲的結合,是代數(shù)在拓撲中的應用,也是拓撲在代數(shù)中的應用。代數(shù)拓撲的特征是借助于代數(shù)的對象與方法,如群、環(huán)、同態(tài)、同構等進行研究拓撲空間在連續(xù)形變下得不變性質。代數(shù)拓撲與微分幾何、微分方程、代數(shù)、泛函分析、大范圍分析密切聯(lián)系并有廣泛應用。代數(shù)拓撲同調理論,包括復形的單純同調群Hn(X),上同調群Hn(X),Euler示性數(shù)、上同調環(huán),同調序列,切除定理。同調群的拓撲不變性與倫型不變性,萬有系數(shù)定理和閉流形的Poincare對偶定理。在此基礎上,進而引進拓撲空間的奇異鏈復形、奇異同調群及相應于復形的許多相關定理,并證明了多面體的單純同調群與奇異同調群的同構性。最后,還給出了同調群論的若干應用。
徐森林,1941年出生,著名數(shù)學家,中國科學技術大學數(shù)學系教授,博士生導師。1965年畢業(yè)于中國科學技術大學數(shù)學系幾何拓撲學專業(yè),師從著名數(shù)學家、中國科學院資深院士吳文俊先生,畢業(yè)后留校工作。主要從事幾何、拓撲和計算復雜性理論方面的研究,曾先后在美國普林斯頓大學(1982-1984)、意大利國際物理中心(1988)、美國普渡大學、美國芝加哥大學(1995)等知名學府進行訪問、合作研究,自1989年以來一直擔任美國《數(shù)學評論》(Math. Rev.)特邀評論員。因在幾何與拓撲方面科研成果突出,多次獲得第三世界科學院(TWAS)科學基金、國家自然科學基金和科學院專題基金。教學工作成果非常突出,培養(yǎng)了一大批知名數(shù)學家,獲得過包括寶鋼教學獎在內的多項獎項。編著過多部教材,深受數(shù)學專業(yè)學生喜愛,其中與他人合寫的《數(shù)學分析》于1986年獲國家教委優(yōu)秀教材二等獎。1990-1995年和1995-2000年分別擔任首屆和第二屆教育部數(shù)學與力學教學指導委員會委員。在數(shù)學研究和教學上的成就受到了國內外數(shù)學界的重視,1995年被收入美國《世界名人錄》。
序言
前言
第1章 單純同調群
1.1 單純復形、多面體和單純下同調群
1.2 單純下同調群典型例題的計算
1.3 單純下同調群的重分不變性、拓撲不變性與倫型不變性
1.4 單純復形整下同調群的結構
1.5 Urysohn引理與Tietze擴張定理、絕對收縮核與絕對鄰域收縮核
1.6 連續(xù)映射的同倫與拓撲空間的倫型、可縮空間、5n-1不為Bn的收縮核、Brouwer不動點定理的各等價命題
1.7 Jordan分割定理、Jordan曲線定理
1.8 單純上同調群、相對單純下(上)同調群、切除定理、正合單純下(上)同調序列
第2章 奇異同調群
2.1 奇異下同調群的拓撲不變性與倫型不變性
2.2 奇異鏈的重心重分、覆蓋定理、多面體的單純下同調群與奇異下同調群的同構定理
2.3 相對奇異下同調群的倫型不變性定理
2.4 奇異上同調群的倫型不變性定理、相對奇異上同調群的倫型不變性定理
2.5 正合奇異下(上)同調序列
2.6 切除定理
2.7 Mayer-Vietoris序列及其應用
2.8 奇異下(上)同調群的萬有系數(shù)定理
2.9 Euler-Poincar邑示性數(shù)及其應用
2.10 代數(shù)拓撲映射度與微分拓撲映射度、Hopf分類定理
2.11 有關同調群的重要成果
參考文獻