標(biāo)準(zhǔn)，讓負(fù)數(shù)更敞亮 
——特級教師蔡宏圣“認(rèn)識負(fù)數(shù)”的教學(xué)賞析 
在一次“蘇派名師”課堂教學(xué)研討活動中，我聆聽了特級教師蔡宏圣執(zhí)教的“認(rèn)識負(fù)數(shù)”一課。蔡老師從比較幾位運(yùn)動員的身高入手，不斷變化比較的標(biāo)準(zhǔn)，從而引導(dǎo)學(xué)生緊扣“零”來認(rèn)識負(fù)數(shù)。教師教得簡單而生動，學(xué)生學(xué)得扎實而深刻，更為難得的是，課堂給人一種清朗、敞亮的印象。下面讓我們一起來欣賞三個教學(xué)片段。 
片段一：“零”之動 
（課前播放中國國家形象宣傳片“人物篇”，讓學(xué)生說說看到了誰。） 
師：剛才視頻中的體育明星，一共有幾位？ 
生：5位。 
師：（隱去人物，剩下背景圖）現(xiàn)在呢？ 
生：沒有人，用“0”表示。 
師：大家常用的直尺上有刻度“0”，這里的“0”也表示沒有嗎？ 
生：直尺上的“0”表示開始的數(shù)，就是要從這里開始測量。 
師：對，在不同的情境中，“0”可以表示不同的意義。有了尺，我們可以得到體育明星們的身高數(shù)據(jù)。據(jù)說，郎平身高184厘米，丁俊暉身高174厘米，郭晶晶身高164厘米。運(yùn)動員碰到一起，比一比身高是比較自然的事情。三人中，如果我們把郭晶晶的身高當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)（板書：標(biāo)準(zhǔn)），看作0，那么丁俊暉和郎平的身高可以記作多少？（點擊課件：一條水平線從三人腳底不斷上升，在郭晶晶頭頂處停止。） 
生：丁俊暉的身高可以記作10，郎平的身高可以記作20。 
郎 平 20 
丁俊暉 10 
郭晶晶 0 
師：一條直線，等距離取了3個點，3個人的身高情況在這條直線上怎么表示呢？ 
生：最下面的點表示郭晶晶的身高，也就是0；往上就是丁俊暉的身高，表示10；最上面的點是郎平的身高，表示20。 
（隨學(xué)生回答，教師在直線上相應(yīng)的點旁標(biāo)上0、10、20。） 
師：還可以誰為標(biāo)準(zhǔn)？ 
生：也可以丁俊暉或者郎平的身高為標(biāo)準(zhǔn)。 
師：現(xiàn)在，把丁俊暉的身高174厘米當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)，看作0（點擊課件：水平線再次上升），那郎平和郭晶晶的身高怎么記？ 
郎 平 10 
丁俊暉 0 
郭晶晶 10 
（教師根據(jù)學(xué)生口頭列式得出上表） 
師：以丁俊暉的身高為標(biāo)準(zhǔn)，出現(xiàn)了高、矮這樣一組相反意義的量（板書：相反意義），用我們以前學(xué)過的數(shù)表示不出那個相反的意思。請大家思考，怎樣記錄，一眼就能清楚地看出誰高10厘米，誰矮10厘米？ 
（學(xué)生尋找新的記錄方法，然后交流。） 
生：我用文字，郎平記錄為“高10”，郭晶晶記錄為“矮10”。 
生：我在表示郭晶晶的身高數(shù)據(jù)前，加了減號“–”，表示還少10。 
師：兩種方法各有各的妙處，但傳遞的信息卻是一致的，那就是我們以前學(xué)的數(shù)的確不夠用了。歷史上，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱吮硎鞠喾匆饬x的量，也想了很多方法，比如在數(shù)旁加不同方向的箭頭，在其中一個數(shù)上加個圓點等。自20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們開始在數(shù)前面加符號“+”“–”，這種方法一直沿用至今。不過，讀法上已經(jīng)有了新的變化，分別讀作正10、負(fù)10。這里的符號分別是正號和負(fù)號，正數(shù)前的正號可以省略，負(fù)號不能省略�，F(xiàn)在，刻度0表示什么？ 
生：表示丁俊暉的身高。 
師：郎平比丁俊暉高10，哪個點表示郎平的身高？ 
生：中間那個點，已經(jīng)標(biāo)了10。 
師：郭晶晶比丁俊暉矮10厘米，我們可以記作–10，哪個點可以表示這個–10，也就是郭晶晶的身高？覺得這個點已經(jīng)有的話，請標(biāo)出來，如果覺得還沒有畫出來，請大家在作業(yè)紙上畫出來。 


（學(xué)生在作業(yè)紙上畫出表示“–10”的點，然后交流。） 
師：上面分別以郭晶晶和丁俊暉的身高為標(biāo)準(zhǔn)，得到了一些有意思的數(shù)據(jù)。據(jù)說，姚明身高224厘米，鄧亞萍身高155厘米，我們看看表格是以誰的身高為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較的？ 
生：以郎平的身高為標(biāo)準(zhǔn)，因為郎平的身高已經(jīng)記作“0”了。 
師：以郎平的身高為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，我們會得到哪些新的數(shù)據(jù)呢？請大家先在表格里填一填，然后在帶有刻度的直線上找一找這些數(shù)應(yīng)該在哪里。 
（學(xué)生按照要求，先填表，然后在直線上找點，最后交流。） 
姚 明 
郎 平 0 
丁俊暉 
郭晶晶 
鄧亞萍 
師：剛才我們以不同體育明星的身高為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，得到了這些數(shù)（手指黑板上的板書）。丁俊暉是同一個人，為什么一會兒被記作10，一會兒被記作–10呢？ 
生：因為比的標(biāo)準(zhǔn)不一樣。記作10，是拿郭晶晶的164厘米為標(biāo)準(zhǔn)的；記作–10，是以郎平的184厘米為標(biāo)準(zhǔn)的。 
師：誰來說說這些正負(fù)數(shù)是怎么來的（手指板書中的數(shù)）？ 
生：都是和標(biāo)準(zhǔn)比出來的，比標(biāo)準(zhǔn)身高高的就是正數(shù)，比標(biāo)準(zhǔn)身高矮的就是負(fù)數(shù)。 
點 評 
比身高是學(xué)生日常生活中熟悉的場景和話題，將此作為課堂教學(xué)的開始，教學(xué)流暢，銜接自然，能夠吸引學(xué)生廣泛且深度地參與。其中，以丁俊暉身高為標(biāo)準(zhǔn)，第二次抬升“零”的基準(zhǔn)線，使得高10和矮10構(gòu)成一組意義相反的量，負(fù)數(shù)就在如何區(qū)分意義相反的兩個數(shù)中悄然來襲。“怎樣記錄，一眼就能清楚地看出誰高10厘米，誰矮10厘米？”教師自然的一聲追問，不僅讓學(xué)生感受到過去所學(xué)的數(shù)在表達(dá)相反意義的量時的局限性，產(chǎn)生學(xué)習(xí)新數(shù)的需求，而且促使他們借助生活經(jīng)驗聯(lián)想到在“10”這個數(shù)前添加不同的符號表達(dá)相反的意義。從“矮10”的文字到“–10”的符號，學(xué)習(xí)的抽象程度在遞升，建構(gòu)的思維含量在增加。不斷變動代表標(biāo)準(zhǔn)的“0”，促進(jìn)學(xué)生再學(xué)習(xí)、再創(chuàng)造、再提高，同時訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生的觀察、分析、交流、創(chuàng)新等能力。學(xué)生在看得見、摸得著、聽得見的情境中，感受著負(fù)數(shù)豐富的現(xiàn)實背景和數(shù)學(xué)價值。 
片段二：“0”之辯 
師：好，既然如此，老師以站在這里不動作為標(biāo)準(zhǔn)，如果向前走3步，記作3，那么負(fù)數(shù)就是？ 
生：向后走幾步。 
師：（拿起一個鉛筆盒）如果以這個鉛筆盒的價錢為標(biāo)準(zhǔn)，那么比這個價格高的是什么數(shù)？比這個低的記作什么數(shù)？ 
生：比標(biāo)準(zhǔn)價格高的就是正數(shù)，低的就是負(fù)數(shù)。 
師：把標(biāo)準(zhǔn)看作0，比這個標(biāo)準(zhǔn)多的、厚的、重的、高的就是—— 
生：（齊）正數(shù)。 
師：那負(fù)數(shù)表示—— 
生：比標(biāo)準(zhǔn)少的、薄的、輕的、矮的。 
師：到這會兒，我們對正負(fù)數(shù)有了很好的理解，不妨來練一練。 
（出示練習(xí)：讀一讀，分一分，哪些是正數(shù)？哪些是負(fù)數(shù)？–5、8、+26、–2/3、–160.6、1.84。） 
（學(xué)生口答，教師點擊課件，數(shù)字逐一移到表示正數(shù)、負(fù)數(shù)的圈里。） 
師：編題的時候，有個數(shù)老師沒有寫上，就是0，它到底是正數(shù)還是負(fù)數(shù)呢？請大家發(fā)表意見。 
生：0是正數(shù)。0下面是負(fù)數(shù)，上面是正數(shù)。 
生：0是正數(shù)。0前面沒有負(fù)數(shù)的符號。 
生：我不同意他的說法。0是正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的數(shù)。 
生：0是正數(shù)，也是負(fù)數(shù)。 
師：0什么時候是正數(shù)，什么時候是負(fù)數(shù)呢？ 
生：0作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，把0看作正數(shù)或者負(fù)數(shù)都不合適。 
生：0在正數(shù)和負(fù)數(shù)中間，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，還可以說兩個都不是。 
生：0是分界點。 
師：的確如此，數(shù)學(xué)中的約定首先不能有多種解釋。正因如此，我們就約定0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正負(fù)數(shù)的分界點。 
師：所有的正數(shù)都比0—— 
生：（齊）大。 
師：所有的負(fù)數(shù)都比0—— 
生：（齊）小。 
點 評 
教學(xué)不僅僅是告訴學(xué)生是什么，更需要學(xué)生自己經(jīng)歷。經(jīng)歷，不是從已知到已知，而是從不知到知。教師要真正關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，勇于、樂于向?qū)W生提供充分研究的機(jī)會。有效的對話、思辨是本環(huán)節(jié)的主要活動。先是借助對話引導(dǎo)學(xué)生充分理解負(fù)數(shù)的意義，比標(biāo)準(zhǔn)多的、厚的、重的、高的就是正數(shù)，負(fù)數(shù)表示比它少的、薄的、輕的、矮的。在開放的思考中，同學(xué)間的討論和教師的介紹，都使學(xué)生明確了相反意義的量可以用“+”“–”來表示，實實在在地經(jīng)歷了一次負(fù)數(shù)的創(chuàng)生過程。接著，在探究0與正負(fù)數(shù)關(guān)系時，教師著意讓學(xué)生自由表達(dá)，充分交鋒，對培養(yǎng)學(xué)生的批判思維能力和數(shù)學(xué)交流能力有積極的作用。同時，注意發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，在學(xué)生說到“0是正數(shù)，也是負(fù)數(shù)”時，教師適時調(diào)控、巧妙誘導(dǎo)，從而幫助學(xué)生在言語爭辯和思維交鋒中建構(gòu)了“0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)”這一數(shù)學(xué)規(guī)律，建立了完整、清晰的數(shù)的體系。 
片段三：“0”之悟 
師：先定標(biāo)準(zhǔn)，再通過比較來確定數(shù)量的性質(zhì)，這種思考方法大有用處。 
師：比如用于氣溫高低的確定。 
氣溫的變化不能用增減衣服來表示，要用量化的數(shù)據(jù)來說明。所以，500多年前就有了溫度計。但一開始沒有標(biāo)準(zhǔn)點，所以同一個溫度，不同的溫度計上的讀數(shù)不一樣。因此，確定一致、公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)點是關(guān)鍵。很多科學(xué)家為此作出貢獻(xiàn)。比如，我們熟悉的牛頓把雪融化時的溫度定為0度，人的正常體溫定為12度，但此方案沒有得到大家的認(rèn)同。300多年前，瑞典物理學(xué)家安德斯?攝爾修斯提出，將水的冰點作為一個標(biāo)準(zhǔn)溫度點，把水的沸點作為另一個標(biāo)準(zhǔn)溫度點，并把冰點和沸點之間等分100份。在1948年國際計量大會上，這種方法得到認(rèn)可。為紀(jì)念攝爾修斯，人們把溫度單位定為“攝氏度”，用符號℃表示。 
請大家看左邊的表格（略），思考和討論下面的問題： 
（1）哪個城市的氣溫最低？哪個城市的氣溫最高？ 
（2）能把這幾個城市的氣溫按照由冷到暖的順序排一排嗎？ 
（3）如果要把這幾個溫度在溫度計上表示出來，根據(jù)正數(shù)、負(fù)數(shù)、0之間的關(guān)系，應(yīng)該最先確定誰的刻度？為什么？ 
（4）哪個溫度的刻度離0刻度最遠(yuǎn)？哪幾個刻度和0之間的距離是相等的？ 
…… 
師：先定標(biāo)準(zhǔn)，再通過比較，用正負(fù)數(shù)來表示數(shù)量，這種思考方式在數(shù)學(xué)中同樣得到廣泛運(yùn)用。我們看下題：某小組5位同學(xué)的體重如下表（表格略），他們的平均體重是多少？ 
生：（28+35+29+31+27）÷5。 
師：你能用今天領(lǐng)悟的方法來解決它嗎？ 
生：把小明的身高作為標(biāo)準(zhǔn)，小明的體重記作0，小馬的—— 
師：對不起，老師打斷你的發(fā)言，大家一起來動動腦筋，沿著這位同學(xué)的思路：如果把小明的體重記作0，那其他同學(xué)的體重怎么記錄？怎么計算？請大家想一想。 
點 評 
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的，是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決生活中的實際問題。溫度計是許多教材編寫認(rèn)識負(fù)數(shù)這一內(nèi)容時的重要載體，蔡老師也是圍繞“標(biāo)準(zhǔn)”這一教學(xué)核心闡釋溫度及溫度計中的數(shù)學(xué)教育價值的。同樣的教學(xué)內(nèi)容，同樣的生活素材，因教師匠心獨具的“組裝”，生成極富張力的活動資源。在氣溫的排序中，滲透了正負(fù)數(shù)的大小比較；在體重平均數(shù)的計算中，也蘊(yùn)含著差是負(fù)數(shù)的意象。上述練習(xí)，一方面，促使學(xué)生深化對負(fù)數(shù)的認(rèn)識；另一方面，讓學(xué)生感受到確定標(biāo)準(zhǔn)在生活中的價值。這既發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)眼光，又為學(xué)生未來進(jìn)一步學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)埋下一粒種子，可謂一舉多得。 
總 評 
端坐在“認(rèn)識負(fù)數(shù)”的課堂上，我不斷聽到兩個具有核心價值的教學(xué)關(guān)鍵詞：0和標(biāo)準(zhǔn)。它們儼然數(shù)學(xué)明星，有時分而用之，有時合二為一，如影隨形。 
第一，因為“0”動，所以靈動。 
認(rèn)識負(fù)數(shù)，為什么從“0”開始？0，這個一年級起就被學(xué)生認(rèn)識的數(shù)字，還有被重新提及的必要嗎？在人類對負(fù)數(shù)的認(rèn)知過程中，0曾經(jīng)是一個難以逾越的坎。著名數(shù)理邏輯學(xué)家德?摩根就曾固執(zhí)地認(rèn)為，“考慮比0小的數(shù)是荒謬的”。毋庸置疑，蔡老師對于0的審視是全面的，是準(zhǔn)確的，是有價值的。教學(xué)中，蔡老師多次變換0這一比較標(biāo)準(zhǔn)，重視0的意義的重建，因此把握了數(shù)學(xué)本質(zhì)，課堂也變得清晰。 
第二，因為“標(biāo)準(zhǔn)”，所以精準(zhǔn)。 
教學(xué)中，蔡老師為負(fù)數(shù)找尋到一個比身高的情境，最初我對此不甚理解。教材中也有關(guān)于負(fù)數(shù)的一些數(shù)學(xué)史的介紹，“糧食入倉為正，出倉為負(fù)；收入為正，付出為負(fù)”，這似乎才是人類認(rèn)識負(fù)數(shù)的本源。許多案例也正是從這里出發(fā)導(dǎo)入新課的。鄭毓信教授在《國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》一書中談到“概念定義”和“概念意象”時指出：“數(shù)學(xué)概念的心理表征在大多數(shù)情況下并非由相應(yīng)的形式定義，而是一種由多種成分組成的復(fù)合物……所謂的概念意象，就是指與所說的概念直接相聯(lián)系的各種心理成分的總和，包括心智圖像、對其性質(zhì)及相關(guān)過程的記憶等�！毙睦韺W(xué)研究表明：學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生熟悉的生活背景越貼近，學(xué)生自覺接納知識的程度就越高。在反復(fù)思量中，我漸漸明白，身高不過是一個比溫度計、海拔高度更常見也更可愛的數(shù)學(xué)替身。站在兒童的立場，“比身高”是認(rèn)識負(fù)數(shù)更為精準(zhǔn)的切入點。在本課中，教師安排比較相對身高，使得學(xué)生體會到相反意義的兩種量，以及感受到發(fā)明負(fù)數(shù)的必要性。至于承載負(fù)數(shù)的情境是什么，就變得沒有那么重要了。 
至此，我不禁感嘆：標(biāo)準(zhǔn)，讓負(fù)數(shù)更敞亮！ 
（江蘇昆山市玉峰實驗學(xué)校 仲崇恒）