不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)是現(xiàn)代社會(huì)最重要的文化組成部分之一。它對(duì)其他文化元素的影響是如此的基礎(chǔ)和廣泛，以至于有理由相信，如果沒有數(shù)學(xué)，我們最現(xiàn)代的生活方式幾乎不可能實(shí)現(xiàn)。暫不說電力、無線電、電視、計(jì)算機(jī)和太空旅行這些顯而易見的例子，單單計(jì)算的基本技巧就足以證實(shí)這一說法。難以想象不使用任何數(shù)字的一天是如何度過的。
然而，開展本研究的動(dòng)機(jī)并非出于數(shù)學(xué)的重要性，更確切地說，是出于對(duì)數(shù)學(xué)概念（如數(shù)和幾何）如何以及為何被創(chuàng)造和發(fā)展的渴求。我們對(duì)數(shù)學(xué)家個(gè)體如何創(chuàng)造和發(fā)展他們的概念有相當(dāng)多的了解，并已經(jīng)從心理學(xué)層面進(jìn)行研究杰出的數(shù)學(xué)家，尤其是龐加萊和哈達(dá)瑪，以自身的經(jīng)歷做出了貢獻(xiàn)。但這些只是一部分情況，沒有任何數(shù)學(xué)家能夠在真空中工作。數(shù)學(xué)家的興趣不僅取決于他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)狀況，還取決于他與世界各地的數(shù)學(xué)同事的聯(lián)系。已故人類學(xué)家拉爾夫·林頓提出了一個(gè)假設(shè)：……如果愛因斯坦出生在一個(gè)無法數(shù)到3以上的原始部落，那么他耗盡畢生的努力可能都無法超越基于手指和腳趾的十進(jìn)制的發(fā)展。經(jīng)過了幾個(gè)文明，不計(jì)其數(shù)的數(shù)學(xué)家歷經(jīng)了四五千年的努力，才得以產(chǎn)生十進(jìn)制，所以即使是天賦異稟的愛因斯坦，在他的整整一生中能否做到這一點(diǎn)也還是值得懷疑的。愛因斯坦（包括其他的數(shù)學(xué)天才）之所以能夠達(dá)成他所做的事情，是由多種因素促成的，其中只有一個(gè)是他那毋庸置疑的天賦，而大部分因素都具有文化性質(zhì)。
數(shù)學(xué)家們往往會(huì)忽視或者忘記他們工作的文化性質(zhì)，常覺得他們所處理的概念在文化環(huán)境之外擁有一個(gè)現(xiàn)實(shí)（reality）（一種柏拉圖式的理想世界）。事實(shí)上，一些數(shù)學(xué)家似乎完全缺乏一種洞察力，即沒有意識(shí)到他的觀察和他的概念會(huì)受到觀察者的影響，而關(guān)于這一點(diǎn)，現(xiàn)代物理學(xué)家已經(jīng)意識(shí)到了。還有哪個(gè)學(xué)科像數(shù)學(xué)這樣，概念逐漸比可觀察的事物更重要？
沒有人指望能夠在某一特定文化的邏輯和語言中找到物理世界嚴(yán)格遵循的規(guī)律。物理學(xué)家將所謂的規(guī)律純粹地表述為一種使環(huán)境合理化和預(yù)測其行為的模式，他并沒有斷言自然遵循這些規(guī)律。就數(shù)學(xué)而言，它基于真實(shí)的物理環(huán)境，尋求宇宙所遵循的算數(shù)、幾何等規(guī)律。但是，一旦數(shù)學(xué)成為一個(gè)成熟的文化元素，它似乎就會(huì)自行發(fā)展，仿佛獨(dú)立于現(xiàn)實(shí)（reality）之外一樣。
然而，數(shù)學(xué)并非獨(dú)立于文化的力量而發(fā)展，它受到一些文化自身特有的性質(zhì)的影響，而不僅僅是物理學(xué)、藝術(shù)或其他文化成分。有些人認(rèn)為在某一特定時(shí)期盛行的傾向是錯(cuò)誤的，于是試圖改變數(shù)學(xué)研究的方向，但這似乎是徒勞的。只有在強(qiáng)大的環(huán)境和內(nèi)部壓力作用下才能有效地改變數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，例如有時(shí)由于戰(zhàn)爭的施壓、政治變革所引發(fā)的混亂、宿主文化（host culture）的重大改變和數(shù)學(xué)本身的危機(jī)等等。中國古代和中世紀(jì)數(shù)學(xué)的停滯，反映了宿主文化的靜態(tài)特征；希臘數(shù)學(xué)的衰落，其原因雖一直備受爭議，但無論如何，它都屬于文化整體衰落（內(nèi)部的和環(huán)境的）的一部分；同時(shí)還有第二次世界大戰(zhàn)前歐洲數(shù)學(xué)家涌入美國對(duì)美國數(shù)學(xué)和一般的數(shù)學(xué)的影響等都足以證實(shí)上述觀點(diǎn)。近年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中新研究的興起，以及其從業(yè)者地位不尋常的提高，如同物理學(xué)領(lǐng)域發(fā)生的那樣主要是由于政治環(huán)境的作用。
而且，我相信數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)都可以從對(duì)數(shù)學(xué)演變的研究中獲益。如果我們相信那些不知道歷史的人會(huì)陷在黑暗中，密歇根大學(xué)威廉·克萊門茨圖書館外墻上的題字（致已故的烏爾里希·菲利普斯教授）。那么同樣我們也會(huì)相信，數(shù)學(xué)家若忽視塑造他思想的演變力量，就相當(dāng)于失去了一個(gè)有價(jià)值的研究視角。單純了解歷史是不夠的，雖然日期、傳記等很重要，但它們只是這類研究的一部分資料。此外，既然文化的演變已經(jīng)成為人類學(xué)中公認(rèn)的理論，那么這類研究應(yīng)該引起廣泛的關(guān)注，尤其是那些對(duì)他所處的文化環(huán)境的思想起源感興趣的人。
開展這類研究的主要障礙在于早期記錄的不足。是研究一般文化的演變過程容易還是研究某一種特定文化（如數(shù)學(xué)）的演變過程容易，這個(gè)問題一直懸而未決。一方面，將文化視為一個(gè)整體來研究，可以從大量的文物中得出結(jié)論，而對(duì)于某一種特定文化（如數(shù)學(xué)），則可用的材料相對(duì)比較有限。另一方面，有限的材料可以降低復(fù)雜性和減少關(guān)注點(diǎn)。關(guān)于馬的進(jìn)化的研究就是一個(gè)例子。正如對(duì)特定生命形式的進(jìn)化進(jìn)行研究可以為一般的生命形式提供模式一樣，研究特定文化（如數(shù)學(xué)）的演變過程對(duì)研究文化演變的一般形式具有重要意義。
然而眾所周知，數(shù)學(xué)是技術(shù)性的，其關(guān)注點(diǎn)集中在數(shù)和幾何的基本方面。它們的演變基本上展現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的所有特點(diǎn)。數(shù)字不僅是數(shù)學(xué)的開始，而且數(shù)概念以某種形式貫穿于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。這是每個(gè)文明人（也包括非文明人）為適應(yīng)社會(huì)和物理環(huán)境所需要掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，為了便于一般的理解，它不應(yīng)具有太多的技術(shù)性。本書只有在第4章有一些技術(shù)性的東西，但我希望其呈現(xiàn)的方式能有助于非數(shù)學(xué)家對(duì)該內(nèi)容的吸收。我相信沒有讀完這一章的讀者可以從本書的其余部分找到足夠的材料來理解它的大概意思。
在這里我嘗試從人類學(xué)家的角度而不是從數(shù)學(xué)家的角度來研究數(shù)學(xué)子文化。當(dāng)然，由于我是一名數(shù)學(xué)家，與社會(huì)科學(xué)家在研究自身所處的文化時(shí)所遇到的風(fēng)險(xiǎn)一樣，我很難擺脫自己的文化而去冷靜地審視它。但是，數(shù)學(xué)的技術(shù)性如此之強(qiáng)，專業(yè)以外的人幾乎不可能穿透符號(hào)的簾子和抽象的概念來發(fā)展它。與通常用來獲取原始文化的風(fēng)俗和信仰知識(shí)的報(bào)告者（informant）系統(tǒng)不同，相似的情況在數(shù)學(xué)中是行不通的。
我想否認(rèn)任何哲學(xué)化的嘗試，我純粹只想對(duì)某一特定文化的發(fā)展和行為進(jìn)行研究。然而，完全避免哲學(xué)概念是不可能的，畢竟數(shù)學(xué)哲學(xué)影響了數(shù)的發(fā)展，尤其是在希臘時(shí)期。另一方面，如果我的某些結(jié)論似乎只有哲學(xué)基礎(chǔ)，那么它必定是由所謂的科學(xué)哲學(xué)和科學(xué)理論之間的模糊界限造成的。我通過類比宗教來說明這一點(diǎn)，宗教純粹是從人類學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行研究的，很少或根本沒有提及宗教哲學(xué)，除非它構(gòu)成了某一特定的宗教內(nèi)容。
專業(yè)數(shù)學(xué)家不應(yīng)期望在本書中找到對(duì)諸如實(shí)數(shù)系等主題的嚴(yán)格處理，因?yàn)檫@不是一本教科書。這是一本關(guān)于作為一種文化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)著作，而并非關(guān)于數(shù)學(xué)本身。如果閱讀完本書之后，專業(yè)數(shù)學(xué)家對(duì)其工作性質(zhì)有了更深刻的理解，那么我認(rèn)為我的目的就已經(jīng)達(dá)到了。另一方面，我相信對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者，尤其是研修社會(huì)學(xué)和人類學(xué)的學(xué)生來說，在閱讀完本書后，將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)是什么有一個(gè)真正的理解，同時(shí)他可以忽略本書涉及的一些技術(shù)性知識(shí)并繼續(xù)讀到最后。
由于非數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域的讀者的緣故，本書對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了介紹，不僅包括它是什么、它是如何發(fā)展的，還從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度介紹了正在發(fā)生的事情。為了同時(shí)照顧數(shù)學(xué)專業(yè)和非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者，本書的第1章介紹初步概念，我希望它包含足夠多的關(guān)于文化人類學(xué)的資料，以及我們?nèi)粘Ｋ�使用的十進(jìn)制系統(tǒng)的性質(zhì)，以幫助闡明一些技術(shù)性術(shù)語。如果讀者熟悉該內(nèi)容，那么可以忽略這部分的所有資料，從第2章開始閱讀。
參考書目提供作者的名字和日期，因此Bell，1933，P.20指的是貝爾在1931年的出版物，具體到第20頁。對(duì)本書內(nèi)容的引用一般只提供章和節(jié)，如果引用同一章內(nèi)不同節(jié)的內(nèi)容，則省略章號(hào)。
我感激那些為我的觀點(diǎn)的形成做出貢獻(xiàn)的同事和學(xué)生，人數(shù)太多以至于我沒辦法一一列舉出他們的名字。我特別感謝我的人類學(xué)家朋友萊斯利·懷特教授，還有我的孩子貝蒂·安·迪林厄姆（她閱讀了初稿并做了評(píng)論）和大衛(wèi)，這兩位社會(huì)學(xué)家與我一起對(duì)很多相關(guān)的資料進(jìn)行了討論，此處所呈現(xiàn)出來的想法是眾人努力的結(jié)果。我要感謝我的同事菲利普·瓊斯教授和我以前的學(xué)生愛麗絲·迪金森教授，感謝他們的討論與鼓勵(lì)。特別感謝秘書瑪麗·安·索伯女士的協(xié)助。另外，我還要感謝大學(xué)和學(xué)院讓我有機(jī)會(huì)從文化的角度講授數(shù)學(xué)。正是由于聽眾們的鼓勵(lì)，我才決定寫這本書。我希望那些聽過我的講座并且碰巧讀到這本書的人會(huì)意識(shí)到兩者之間的相似之處。還要感謝密歇根科學(xué)與技術(shù)研究所和佛羅里達(dá)州立大學(xué)的支持，分別在19601961年和19611962年授予我研究教授的職位，為研究工作提供了時(shí)間支持和經(jīng)費(fèi)資助。
懷爾德
安阿伯市，美國密歇根州
1968年5月