目錄
前言
第一章 函數(shù)與極限 1
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 1
一、考試要求 1
二、考點(diǎn)精講 2
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 2
一、函數(shù)及其性質(zhì) 2
二、數(shù)列極限及其性質(zhì) 11
三、函數(shù)極限及其性質(zhì) 18
四、無(wú)窮小量及無(wú)窮小的階 22
五、洛必達(dá)法則 27
六、泰勒公式 30
七、求極限的其他方法 32
八、連續(xù)和間斷 34
九、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 37
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 38
專(zhuān)題一 定積分定義和夾逼準(zhǔn)則求極限的技巧 38
專(zhuān)題二 單調(diào)有界原理求極限的技巧 41
專(zhuān)題三 求極限的綜合技巧 46
專(zhuān)題四 無(wú)窮小階及其反問(wèn)題 51
專(zhuān)題五 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 53
第二章 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分 55
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 55
一、考試要求 55
二、考點(diǎn)精講 56
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 56
一、導(dǎo)數(shù)定義及左右導(dǎo)數(shù) 56
二、導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算 61
三、中值定理 74
四、單調(diào)性和凹凸性 79
五、漸近線和曲率、曲率半徑 (數(shù)學(xué)一、二) 86
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 88
專(zhuān)題一 導(dǎo)數(shù)定義與計(jì)算的技巧 88
專(zhuān)題二 單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)的綜合性題目 93
專(zhuān)題三 中值定理的解題技巧 96
專(zhuān)題四 不等式證明的技巧 (含積分不等式) 103
專(zhuān)題五 方程根的問(wèn)題證明 103
第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 107
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 107
一、考試要求 107
二、考點(diǎn)精講 107
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 108
一、原函數(shù)和不定積分 108
二、定積分定義、性質(zhì)及應(yīng)用 125
三、變限積分及其導(dǎo)數(shù) 128
四、定積分的計(jì)算 131
五、廣義積分的斂散性 137
六、積分的幾何應(yīng)用 143
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 150
專(zhuān)題一 不定積分的技巧 150
專(zhuān)題二 定積分的技巧 153
專(zhuān)題三 變限積分的解題技巧 154
專(zhuān)題四 積分綜合題目的技巧 157
專(zhuān)題五 積分不等式證明的技巧 159
專(zhuān)題六 極坐標(biāo), 參數(shù)方程的幾何應(yīng)用 161
第四章 多元函數(shù)的微分學(xué) 165
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 165
一、考試要求 165
二、考點(diǎn)精講 166
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 166
一、多元函數(shù)的基本理論 166
二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 169
三、多元函數(shù)微分的基本理論與計(jì)算 173
四、多元函數(shù)的極值和最值 181
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 190
專(zhuān)題一 偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義 190
專(zhuān)題二 復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的解題技巧 193
專(zhuān)題三 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的解題技巧 195
第五章 二元函數(shù)積分學(xué) 201
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 201
一、考試要求 201
二、考點(diǎn)精講 201
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 202
一、二重積分的概念和性質(zhì) 202
二、二重積分的計(jì)算 206
三、二重積分的應(yīng)用 (數(shù)學(xué)一、二) 217
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 219
專(zhuān)題一 二重積分的計(jì)算技巧 219
專(zhuān)題二 分塊區(qū)域上的二重積分 224
專(zhuān)題三 抽象函數(shù)的二重積分 228
專(zhuān)題四 二重積分的證明題和不等式證明技巧 229
專(zhuān)題五 積分區(qū)域用參數(shù)表示的二重積分 232
第六章 微分方程 233
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 233
一、考試要求 233
二、考點(diǎn)精講 233
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 234
一、一階線性微分方程 234
二、高階微分方程 242
三、差分方程 (數(shù)學(xué)三) 253
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 255
專(zhuān)題一 變限積分對(duì)應(yīng)的微分方程 255
專(zhuān)題二 偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程 257
專(zhuān)題三 含參數(shù)的二階線性非齊次微分方程 258
專(zhuān)題四 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)對(duì)應(yīng)的微分方程 259
專(zhuān)題五 微分方程的綜合題 260
專(zhuān)題六 微分方程的證明題 264
第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) (數(shù)學(xué)一、二) 267
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 267
一、考試要求 267
二、考點(diǎn)精講 267
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 268
一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 268
二、正項(xiàng)級(jí)數(shù) 270
三、交錯(cuò)級(jí)數(shù) 274
四、冪級(jí)數(shù)及其性質(zhì) 279
五、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 282
六、傅里葉級(jí)數(shù) 287
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 291
專(zhuān)題一 利用微分方程求和函數(shù) 291
專(zhuān)題二 利用泰勒公式求和函數(shù) 293
專(zhuān)題三 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的技巧 294
專(zhuān)題四 冪級(jí)數(shù)證明的技巧 296
第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何 (數(shù)學(xué)一) 299
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 299
一、考試要求 299
二、考點(diǎn)精講 299
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 300
一、向量的相關(guān)概念 300
二、向量的運(yùn)算 301
三、平面方程和直線方程 305
四、直線與平面之間的角度 307
五、點(diǎn)、線、面之間的距離 309
六、旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面 310
七、空間曲線 314
八、多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用 316
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 319
專(zhuān)題一 直線與平面之間的關(guān)系 319
專(zhuān)題二 空間直線生成的曲面 320
第九章 三重積分 (數(shù)學(xué)一) 322
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 322
一、考試要求 322
二、考點(diǎn)精講 322
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 322
一、三重積分的定義和性質(zhì) 322
二、三重積分的計(jì)算 324
三、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)法 326
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 329
專(zhuān)題一 三重積分的綜合計(jì)算 329
專(zhuān)題二 三重積分的物理應(yīng)用 331
第十章 曲線積分與曲面積分 (數(shù)學(xué)一) 335
第一節(jié) 考試要求及考點(diǎn)精講 335
一、考試要求 335
二、考點(diǎn)精講 335
第二節(jié) 內(nèi)容精講及典型題型 336
一、第一類(lèi)曲線積分 336
二、第一類(lèi)曲線積分的物理應(yīng)用 339
三、第二類(lèi)曲線積分 341
四、格林公式和積分與路徑無(wú)關(guān) 344
五、第一類(lèi)曲面積分 346
六、第二類(lèi)曲面積分 349
七、空間中第二類(lèi)曲線積分 353
八、場(chǎng)論初步 356
第三節(jié) 專(zhuān)題精講及解題技巧 359
專(zhuān)題一 格林公式解題技巧 359
專(zhuān)題二 積分與路徑無(wú)關(guān)的綜合題 361
專(zhuān)題三 高斯公式解題技巧 363
專(zhuān)題四 場(chǎng)論綜合題 364
第十一章 幾何應(yīng)用專(zhuān)題 366
一、簡(jiǎn)單幾何應(yīng)用 366
二、微分方程在幾何中的應(yīng)用 375
三、級(jí)數(shù)在幾何中的應(yīng)用 380
第十二章 物理應(yīng)用專(zhuān)題 (數(shù)學(xué)一、二) 383
一、微元法的應(yīng)用 383
二、牛頓定律的應(yīng)用 388
三、綜合物理應(yīng)用 392
第十三章 經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用專(zhuān)題 (數(shù)學(xué)三) 397
一、經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)、邊際與彈性 397
二、函數(shù)極值的應(yīng)用 401
三、差分、積分與復(fù)利的應(yīng)用 409
附錄一 常用數(shù)學(xué)公式 412
一、常用初等代數(shù)公式 412
二、常用基本三角公式 413
三、常用求面積和體積的公式 415
附錄二 基本初等函數(shù)及其圖形 417
附錄三 幾種常用的曲線 420