2012 年盛夏，從歐洲大陸*北部的挪威王國傳出一條令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為于特的湖心島上，80 多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當(dāng)今世界*富庶美麗、*寧靜安逸的國度，也是數(shù)學(xué)天才阿貝爾（N. H. Abel）的祖國，首屆菲爾茲獎(jiǎng)1936 年在奧斯陸頒發(fā)，以阿貝爾命名的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)與諾貝爾和平獎(jiǎng)也每年在奧斯陸評選并頒發(fā)。悲憤之余，仍有許多人對挪威發(fā)生如此恐怖的事件表示難以置信。
1829 年，26 歲的挪威青年阿貝爾死于營養(yǎng)不良和肺病，卻依然是19 世紀(jì)乃至人類歷史上*偉大的數(shù)學(xué)家之一。阿貝爾是*個(gè)揚(yáng)名世界的挪威人，他取得的成就激發(fā)了他的同胞們的才智。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生了戲劇家易卜生，接下來的還有作曲家格里格、藝術(shù)家蒙克和探險(xiǎn)家阿蒙森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能產(chǎn)生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易卜生的背井離鄉(xiāng)和蒙克的畫作《吶喊》，都說明這個(gè)國家的人民曾經(jīng)遭受過不幸和磨難。
在所有與數(shù)學(xué)史有關(guān)的書籍里，阿貝爾的名字總是在人名索引里名列前茅。本書對他有較為詳細(xì)的描述，書中還談到他的晚輩同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世紀(jì)的兩個(gè)重要數(shù)學(xué)分支—李群和李代數(shù)均得名于他。1872 年，德國數(shù)學(xué)家F. 克萊因（F. Klein，1849—1925）發(fā)表了《埃爾朗根綱領(lǐng)》，試圖用群論的觀點(diǎn)統(tǒng)一幾何學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，所依賴的正是李的工作。
限于篇幅， 本書未談及2007 年過世的挪威數(shù)學(xué)家賽爾伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人見過且交談過的數(shù)論同行。早在1950 年，他便因給出素?cái)?shù)定理的初等證明榮獲菲爾茲獎(jiǎng)�；蛟S是一種補(bǔ)償，書中*后出場的奧地利人維特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）與挪威結(jié)緣，他是20 世紀(jì)*有數(shù)學(xué)意味的哲學(xué)家。任職劍橋大學(xué)期間，維特根斯坦在挪威西部鄉(xiāng)間蓋了一間小木屋，經(jīng)常從英國跑到那里度假思索，有時(shí)一住就是一年，他死后出版的代表作《哲學(xué)研究》（1953）便是在小木屋里開始構(gòu)想的。
從以上敘述中讀者可能已經(jīng)看出，本書的寫作風(fēng)格和宗旨是，既不愿錯(cuò)過任何一位偉大的數(shù)學(xué)家和任何一次數(shù)學(xué)思潮，以及由此產(chǎn)生的內(nèi)容、方法，也不愿放棄任何可以闡述數(shù)學(xué)與其他文明相互交融的機(jī)會。這是一部沒有藍(lán)本可以參照的書，從書名來看，*接近的同類著作是美國數(shù)學(xué)史家M. 克萊因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的數(shù)學(xué)》（1953）�？墒�，M. 克萊因的著作討論的范圍被“西方”和“文化”兩個(gè)詞限定了，我們卻不得不考慮整個(gè)人類的歷史長河，涉及的領(lǐng)域也超出了“文化”的范疇。如同英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家阿爾弗雷德·懷特海所言，“現(xiàn)代科學(xué)誕生于歐洲，但它的家卻是整個(gè)世界�！�
從寫作方式來看，盡管存在著多種可能性，主要面臨的選擇卻只有兩個(gè)，即是否把數(shù)學(xué)史作為一種寫作線索？ M. 克萊因的著作雖以時(shí)間為主線（他的另一部力作《古今數(shù)學(xué)思想》也是這樣），卻以每章一個(gè)專題的形式來講述數(shù)學(xué)與文化的關(guān)系。顯而易見，M. 克萊因既精通數(shù)學(xué)，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認(rèn)為這方面已經(jīng)很難超越了。況且，他的書早已有了中文版。
不過，通過閱讀M. 克萊因的著作，我們不難發(fā)現(xiàn)，他假設(shè)的讀者對象是數(shù)學(xué)或文化領(lǐng)域的專家。而我心目中的讀者范圍更為寬廣，他們可能只學(xué)過初等數(shù)學(xué)或簡單的微積分，也許對數(shù)學(xué)的歷史及其與其他文明的關(guān)系所知不多，對數(shù)學(xué)在人類文明的發(fā)展歷程中扮演的重要角色認(rèn)識不足，尤其是，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代文明（比如，現(xiàn)代藝術(shù)）的淵源缺乏了解。這樣一來，就留出了寫作空間。
在我看來，數(shù)學(xué)與科學(xué)、人文的各個(gè)分支一樣，都是人類大腦進(jìn)化和智力發(fā)展進(jìn)程的反映。它們在特定的歷史時(shí)期必然相互影響，并呈現(xiàn)出某種相通的特性。在按時(shí)間順序講述不同地域文明的同時(shí)，我們先后探討了數(shù)學(xué)與各式各樣文明之間的關(guān)系。例如，埃及和巴比倫的數(shù)學(xué)來源于人們生存的需要，希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切相關(guān)，中國數(shù)學(xué)的活力來自歷法改革，印度數(shù)學(xué)的源泉始于宗教，而波斯或阿拉伯的數(shù)學(xué)與天文學(xué)互不分離。
文藝復(fù)興是人類文明進(jìn)程的一個(gè)里程碑，這個(gè)時(shí)期的藝術(shù)推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展。到了17 世紀(jì)，微積分的產(chǎn)生解決了科學(xué)和工業(yè)革命的一系列問題，而18 世紀(jì)法國大革命時(shí)期的數(shù)學(xué)涉及力學(xué)、軍事和工程技術(shù)。19 世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)和詩歌幾乎同時(shí)從古典進(jìn)入現(xiàn)代，其標(biāo)志分別是非交換代數(shù)和非歐幾何學(xué)的誕生，愛倫·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德萊爾（C. Baudelaire，1821—1867）的出現(xiàn)。進(jìn)入20 世紀(jì)以后，抽象化又成為數(shù)學(xué)和人文學(xué)科的共性。
數(shù)學(xué)中的抽象以集合論和公理化為標(biāo)志，與此同時(shí)，藝術(shù)領(lǐng)域則出現(xiàn)了抽象主義和行動(dòng)繪畫。哲學(xué)與數(shù)學(xué)的再次交匯產(chǎn)生了現(xiàn)代邏輯學(xué)，并誕生了維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數(shù)學(xué)的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應(yīng)用，尤其在理論物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、電子計(jì)算機(jī)和混沌理論等方面。由此可見，這是符合歷史潮流和文明進(jìn)程規(guī)律的。盡管如此，數(shù)學(xué)天空的未來并非一片晴朗。
本書的一個(gè)顯著特點(diǎn)是對現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代文明的比較分析和闡釋，這是我多年數(shù)學(xué)研究和寫作實(shí)踐的思考、總結(jié)。至于古典部分，我們也著力發(fā)現(xiàn)有現(xiàn)代意義的亮點(diǎn)。比如，談到埃及數(shù)學(xué)時(shí)，我們重點(diǎn)介紹了“埃及分?jǐn)?shù)”這個(gè)既通俗易懂又極為深刻的數(shù)論問題，它甚至仍然困擾著21 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家。又如，巴比倫人*早發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理，同時(shí)知道了畢達(dá)哥拉斯數(shù)組，這一結(jié)果也是1 000 多年以后興起的希臘數(shù)學(xué)和文明的代表性成就，卻與20 世紀(jì)末的熱點(diǎn)數(shù)學(xué)問題——費(fèi)爾馬大定理——相聯(lián)系。
本書的另一個(gè)特點(diǎn)是，多數(shù)小節(jié)以人物為標(biāo)題，同時(shí)做到圖文并茂，以方便理解、欣賞和記憶。在100 余幅精心挑選的圖片（有的是我拍攝的照片）中，相當(dāng)一部分與文學(xué)、藝術(shù)、科學(xué)、教育有密切的關(guān)聯(lián)。希望讀者能通過本書的閱讀，拉近與數(shù)學(xué)這門抽象學(xué)科的心理距離，從中理解各自所學(xué)或從事專業(yè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，進(jìn)而反思人類文明的歷史進(jìn)程甚或生活的意義。
誠如部分讀者所了解的，2012 年夏，商務(wù)印書館的“名師講堂”推出了我所著的《數(shù)學(xué)與人類文明》，后入選國家新聞出版廣電總局向全國青少年推薦的“百優(yōu)圖書”。該書源自我的同名教材，系教育部高等學(xué)校“十一五”國家級規(guī)劃教材的一種，應(yīng)用于浙江大學(xué)等多所大學(xué)的通識課程。迄今為止，兩者已印了3 萬多冊。如今，商務(wù)印書館的版權(quán)到期，應(yīng)中信出版社的約請和建議，我修訂了全書，更新了相當(dāng)一部分圖片。
我們把這本書易名為“數(shù)學(xué)簡史”，正是這一點(diǎn)觸動(dòng)了我，這個(gè)名字更符合書的本意。因?yàn)楸緯�既著眼于�?shù)學(xué)的歷史，同時(shí)數(shù)學(xué)與人類文明的關(guān)系本身也屬于數(shù)學(xué)史的范疇，這樣一來就適時(shí)回避了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的復(fù)雜性，努力幫助讀者從不同的角度理解數(shù)學(xué)。另一點(diǎn)引起我注意的是，中信出版社引進(jìn)出版了以色列歷史學(xué)家尤瓦爾·赫拉利的兩本力作《人類簡史》和《未來簡史》。令人鼓舞的是，我在微博上發(fā)布征求本書封面設(shè)計(jì)方案的建議后，北京海淀區(qū)的藤先生留言道：“在國內(nèi)引進(jìn)的各種簡史浪潮中，終于有蔡教授挺身而出，寫一本數(shù)學(xué)簡史了�！�
*后，我想用一首詩來結(jié)束本序言。這是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到馬尼拉的菲律賓大學(xué)參加一個(gè)數(shù)論與密碼學(xué)的國際研討會期間所作。那是令麥哲倫折戟沙灘，殖民者不足以重視，數(shù)學(xué)史家和文化史家容易忽略的國度。詩中出現(xiàn)了一些幾何圖形，如線段、弧線、圓圈、扭結(jié)、曲面和拓?fù)渥儞Q，當(dāng)然，均已被改換成相應(yīng)的詩歌語言。這首詩似乎在敘述一些數(shù)學(xué)概念，但流露的分明是一種生活的情緒。
跳 繩
每一棵光潔的稻草
都布滿了銀色的月光
它們被編織成繩索
就像腳踝上的鏈子
那圓圈中的圓圈
也布滿了銀色的月光
無論眉梢、鬢角
還是手臂上的燙痕
反來復(fù)去地穿梭往來
蔡天新