2012 年盛夏，從歐洲大陸*北部的挪威王國傳出一條令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為于特的湖心島上，80 多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界*富庶美麗、*寧靜安逸的國度，也是數(shù)學天才阿貝爾（N. H. Abel）的祖國，首屆菲爾茲獎1936 年在奧斯陸頒發(fā)，以阿貝爾命名的數(shù)學獎與諾貝爾和平獎也每年在奧斯陸評選并頒發(fā)。悲憤之余，仍有許多人對挪威發(fā)生如此恐怖的事件表示難以置信。
1829 年，26 歲的挪威青年阿貝爾死于營養(yǎng)不良和肺病，卻依然是19 世紀乃至人類歷史上*偉大的數(shù)學家之一。阿貝爾是*個揚名世界的挪威人，他取得的成就激發(fā)了他的同胞們的才智。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生了戲劇家易卜生，接下來的還有作曲家格里格、藝術家蒙克和探險家阿蒙森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能產(chǎn)生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易卜生的背井離鄉(xiāng)和蒙克的畫作《吶喊》，都說明這個國家的人民曾經(jīng)遭受過不幸和磨難。
在所有與數(shù)學史有關的書籍里，阿貝爾的名字總是在人名索引里名列前茅。本書對他有較為詳細的描述，書中還談到他的晚輩同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世紀的兩個重要數(shù)學分支—李群和李代數(shù)均得名于他。1872 年，德國數(shù)學家F. 克萊因（F. Klein，1849—1925）發(fā)表了《埃爾朗根綱領》，試圖用群論的觀點統(tǒng)一幾何學乃至整個數(shù)學領域，所依賴的正是李的工作。
限于篇幅， 本書未談及2007 年過世的挪威數(shù)學家賽爾伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人見過且交談過的數(shù)論同行。早在1950 年，他便因給出素數(shù)定理的初等證明榮獲菲爾茲獎�；蛟S是一種補償，書中*后出場的奧地利人維特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）與挪威結(jié)緣，他是20 世紀*有數(shù)學意味的哲學家。任職劍橋大學期間，維特根斯坦在挪威西部鄉(xiāng)間蓋了一間小木屋，經(jīng)常從英國跑到那里度假思索，有時一住就是一年，他死后出版的代表作《哲學研究》（1953）便是在小木屋里開始構想的。
從以上敘述中讀者可能已經(jīng)看出，本書的寫作風格和宗旨是，既不愿錯過任何一位偉大的數(shù)學家和任何一次數(shù)學思潮，以及由此產(chǎn)生的內(nèi)容、方法，也不愿放棄任何可以闡述數(shù)學與其他文明相互交融的機會。這是一部沒有藍本可以參照的書，從書名來看，*接近的同類著作是美國數(shù)學史家M. 克萊因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的數(shù)學》（1953）。可是，M. 克萊因的著作討論的范圍被“西方”和“文化”兩個詞限定了，我們卻不得不考慮整個人類的歷史長河，涉及的領域也超出了“文化”的范疇。如同英國數(shù)學家、哲學家阿爾弗雷德·懷特海所言，“現(xiàn)代科學誕生于歐洲，但它的家卻是整個世界�！�
從寫作方式來看，盡管存在著多種可能性，主要面臨的選擇卻只有兩個，即是否把數(shù)學史作為一種寫作線索？ M. 克萊因的著作雖以時間為主線（他的另一部力作《古今數(shù)學思想》也是這樣），卻以每章一個專題的形式來講述數(shù)學與文化的關系。顯而易見，M. 克萊因既精通數(shù)學，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認為這方面已經(jīng)很難超越了。況且，他的書早已有了中文版。
不過，通過閱讀M. 克萊因的著作，我們不難發(fā)現(xiàn)，他假設的讀者對象是數(shù)學或文化領域的專家。而我心目中的讀者范圍更為寬廣，他們可能只學過初等數(shù)學或簡單的微積分，也許對數(shù)學的歷史及其與其他文明的關系所知不多，對數(shù)學在人類文明的發(fā)展歷程中扮演的重要角色認識不足，尤其是，對現(xiàn)代數(shù)學與現(xiàn)代文明（比如，現(xiàn)代藝術）的淵源缺乏了解。這樣一來，就留出了寫作空間。
在我看來，數(shù)學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發(fā)展進程的反映。它們在特定的歷史時期必然相互影響，并呈現(xiàn)出某種相通的特性。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先后探討了數(shù)學與各式各樣文明之間的關系。例如，埃及和巴比倫的數(shù)學來源于人們生存的需要，希臘數(shù)學與哲學密切相關，中國數(shù)學的活力來自歷法改革，印度數(shù)學的源泉始于宗教，而波斯或阿拉伯的數(shù)學與天文學互不分離。
文藝復興是人類文明進程的一個里程碑，這個時期的藝術推動了幾何學的發(fā)展。到了17 世紀，微積分的產(chǎn)生解決了科學和工業(yè)革命的一系列問題，而18 世紀法國大革命時期的數(shù)學涉及力學、軍事和工程技術。19 世紀前半葉，數(shù)學和詩歌幾乎同時從古典進入現(xiàn)代，其標志分別是非交換代數(shù)和非歐幾何學的誕生，愛倫·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德萊爾（C. Baudelaire，1821—1867）的出現(xiàn)。進入20 世紀以后，抽象化又成為數(shù)學和人文學科的共性。
數(shù)學中的抽象以集合論和公理化為標志，與此同時，藝術領域則出現(xiàn)了抽象主義和行動繪畫。哲學與數(shù)學的再次交匯產(chǎn)生了現(xiàn)代邏輯學，并誕生了維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數(shù)學的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應用，尤其在理論物理學、生物學、經(jīng)濟學、電子計算機和混沌理論等方面。由此可見，這是符合歷史潮流和文明進程規(guī)律的。盡管如此，數(shù)學天空的未來并非一片晴朗。
本書的一個顯著特點是對現(xiàn)代數(shù)學和現(xiàn)代文明的比較分析和闡釋，這是我多年數(shù)學研究和寫作實踐的思考、總結(jié)。至于古典部分，我們也著力發(fā)現(xiàn)有現(xiàn)代意義的亮點。比如，談到埃及數(shù)學時，我們重點介紹了“埃及分數(shù)”這個既通俗易懂又極為深刻的數(shù)論問題，它甚至仍然困擾著21 世紀的數(shù)學家。又如，巴比倫人*早發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯定理，同時知道了畢達哥拉斯數(shù)組，這一結(jié)果也是1 000 多年以后興起的希臘數(shù)學和文明的代表性成就，卻與20 世紀末的熱點數(shù)學問題——費爾馬大定理——相聯(lián)系。
本書的另一個特點是，多數(shù)小節(jié)以人物為標題，同時做到圖文并茂，以方便理解、欣賞和記憶。在100 余幅精心挑選的圖片（有的是我拍攝的照片）中，相當一部分與文學、藝術、科學、教育有密切的關聯(lián)。希望讀者能通過本書的閱讀，拉近與數(shù)學這門抽象學科的心理距離，從中理解各自所學或從事專業(yè)與數(shù)學的關系，進而反思人類文明的歷史進程甚或生活的意義。
誠如部分讀者所了解的，2012 年夏，商務印書館的“名師講堂”推出了我所著的《數(shù)學與人類文明》，后入選國家新聞出版廣電總局向全國青少年推薦的“百優(yōu)圖書”。該書源自我的同名教材，系教育部高等學�！笆�一五”國家級規(guī)劃教材的一種，應用于浙江大學等多所大學的通識課程。迄今為止，兩者已印了3 萬多冊。如今，商務印書館的版權到期，應中信出版社的約請和建議，我修訂了全書，更新了相當一部分圖片。
我們把這本書易名為“數(shù)學簡史”，正是這一點觸動了我，這個名字更符合書的本意。因為本書既著眼于數(shù)學的歷史，同時數(shù)學與人類文明的關系本身也屬于數(shù)學史的范疇，這樣一來就適時回避了現(xiàn)代數(shù)學的復雜性，努力幫助讀者從不同的角度理解數(shù)學。另一點引起我注意的是，中信出版社引進出版了以色列歷史學家尤瓦爾·赫拉利的兩本力作《人類簡史》和《未來簡史》。令人鼓舞的是，我在微博上發(fā)布征求本書封面設計方案的建議后，北京海淀區(qū)的藤先生留言道：“在國內(nèi)引進的各種簡史浪潮中，終于有蔡教授挺身而出，寫一本數(shù)學簡史了�！�
*后，我想用一首詩來結(jié)束本序言。這是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到馬尼拉的菲律賓大學參加一個數(shù)論與密碼學的國際研討會期間所作。那是令麥哲倫折戟沙灘，殖民者不足以重視，數(shù)學史家和文化史家容易忽略的國度。詩中出現(xiàn)了一些幾何圖形，如線段、弧線、圓圈、扭結(jié)、曲面和拓撲變換，當然，均已被改換成相應的詩歌語言。這首詩似乎在敘述一些數(shù)學概念，但流露的分明是一種生活的情緒。
跳 繩
每一棵光潔的稻草
都布滿了銀色的月光
它們被編織成繩索
就像腳踝上的鏈子
那圓圈中的圓圈
也布滿了銀色的月光
無論眉梢、鬢角
還是手臂上的燙痕
反來復去地穿梭往來
蔡天新