“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)系最重要的基礎(chǔ)課之一,也是數(shù)學(xué)系各專業(yè)考研的必考科目. 由于它的內(nèi)容多、技巧強(qiáng)、方法靈活,很多考生在備考過程中遇到諸多疑難和困惑,甚至產(chǎn)生了畏難、厭學(xué)情緒. 針對(duì)這種情況,我想以一個(gè)朋友的身份和大家聊聊,也許對(duì)你會(huì)有幫助. 二十多年前,我作為一名考生,也遇到了大家今天所遇到的問題(有過之而無不及!),也曾有過放棄的念頭,但在老師和同學(xué)們的鼓勵(lì)下,我咬咬牙挺過來了! 因此,我首先想和大家說的是:要相信自己,不要輕言放棄,頂一頂過了這一關(guān),前面也許就一馬平川了!我從事數(shù)學(xué)分析的教學(xué)工作已有二十余年,積累了一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)心得,能夠體會(huì)到同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的酸甜苦辣! 因此,有了想寫一本幫助同學(xué)們備考用書的沖動(dòng).在寫書之初,我曾多次和考生座談并發(fā)放問卷,傾聽他們的想法,了解他們的困惑. 許多同學(xué)真誠地提出了自己的問題,這讓我非常感動(dòng)! 于是,我暗下決心:要盡我最大能力寫好這本書,以求能給大家點(diǎn)滴幫助. 同學(xué)們的問題歸納起來有如下幾個(gè)方面:1. 數(shù)學(xué)分析概念多、定理多,各章節(jié)的內(nèi)容串聯(lián)不起來. 比如,求極限有許多方法和技巧,拿到題目不知道如何下手. 2.微分中值定理證明題中輔助函數(shù)的構(gòu)造. 3. 定積分的可積性理論、求不出原函數(shù)的定積分的計(jì)算等問題. 4. 廣義積分尤其是含參變量廣義積分,證明其收斂性或一致收斂性是難點(diǎn). 5. 對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),當(dāng)要討論和函數(shù)的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可積性和可導(dǎo)性),而又不滿足定理的條件時(shí),常常感到束手無策. 6. 第二型曲面積分計(jì)算時(shí)的補(bǔ)面、以及區(qū)域內(nèi)部有奇性等如何處理. 當(dāng)然,同學(xué)們還提出了許多其他問題,比如:一元函數(shù)的一致連續(xù)和非一致連續(xù)的證明;二重極限的計(jì)算;�？嫉牟坏仁筋}型及其證明等. 從同學(xué)們所提的問題看,的確切中了數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)和難點(diǎn),當(dāng)然也是目前各類院校考研的重點(diǎn).同學(xué)們的問題就是我寫這本書的指導(dǎo)思想,因此我在編寫本書的過程中始終本著如下原則:不受知識(shí)體系的約束,堅(jiān)持體系由解題方法所決定;不去羅列各種教材中的基本內(nèi)容,僅對(duì)一些重要的、容易混淆的概念和定理進(jìn)行深入、透徹的講解. 并恰如其分地闡述它們之間的區(qū)別與聯(lián)系,以及使用時(shí)應(yīng)該注意的事項(xiàng);不追求大而全、艱而難,注重解題思路的分析和解題技巧的提煉.在整個(gè)寫作的過程中,同學(xué)們的問題始終在我腦海縈繞. 我常常問自己:我回答了學(xué)生的問題嗎? 能給學(xué)生幫助嗎? 唯恐自己的閃失或能力所限辜負(fù)了同學(xué)們的期望! 下面我想通過幾個(gè)例子來說明,我是如何針對(duì)同學(xué)們的問題來安排書中內(nèi)容的..求極限的方法與技巧在講中我歸納總結(jié)了十余種求極限的方法,并通過典型例子闡明了它們的應(yīng)用. 在此,我通過一個(gè)例子來說明如何去思考問題?設(shè)數(shù)列{xn } 由遞推關(guān)系xn+1 = f(xn ) 所給出,求lim n→拿到這個(gè)題目,大家會(huì)首先想單調(diào)有界定理. 如果單調(diào)有界定理失效,可能有的同學(xué)就“望題興嘆”了! 可是大家不要忘記:數(shù)列收斂的本質(zhì)是:充分靠后的任意兩項(xiàng)之間的距離可以任意小. 這樣我們就可以嘗試使用壓縮性條件或柯西收斂原理;如果還不行,可以考慮使用上、下極限法.另外,如果數(shù)列{xn } 由線性遞推關(guān)系xn+1 = pxn + qxn-1,n = 2,3,… 所給出,其中p,q 為常數(shù),x1,x2 為已知. 對(duì)這種由線性遞推關(guān)系所定義的數(shù)列,我們可以將其視為差分方程,通過求其特征方程的根(即特征根),寫出xn 的通項(xiàng)公式,從而可求出xn 的極限..與微分中值定理或泰勒公式有關(guān)的證明題中輔助函數(shù)的構(gòu)造在第三講中,我通過對(duì)一些典型例題(這其中也包括與積分有關(guān)的題目)的分析、講評(píng),向大家介紹了:如何從題目的結(jié)論出發(fā)構(gòu)造輔助函數(shù). 由于構(gòu)造輔助函數(shù)有一定的靈活性,通過區(qū)區(qū)幾個(gè)例題大家可能仍然無法掌握其中的技巧和奧秘! 為了克服這一困難,我又介紹了在多年教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來的“輔助多項(xiàng)式法”. 這種方法把充滿技巧的輔助函數(shù)構(gòu)造變成了機(jī)械的例行公事了..定積分的計(jì)算談起定積分的計(jì)算問題,許多同學(xué)可能對(duì)此不以為然,會(huì)簡(jiǎn)單地認(rèn)為:只要求出原函數(shù)問題就解決了! 但是對(duì)那些原函數(shù)求不出來或不易求出來的怎么辦? 通常的想法是,作自變量的變換,這種變換充滿了智慧和技巧. 在第四講中,我給出了簡(jiǎn)單易行的“定積分計(jì)算技巧”,解決了一大類定積分計(jì)算問題.如此等等,不再一一贅述.關(guān)于本書我想再啰嗦幾句. 書中的例題和類題大都來源于考研真題和近年來的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題. 有些題目從年份上看,是早了一些,但是好的題目就像美妙的音樂,永遠(yuǎn)是不會(huì)過時(shí)的! 在題目的取舍上既要照顧到介紹思想、方法和技巧的需要,又要保證有一定的難度;在講解上由淺入深,娓娓道來,盡量做到“平易近人”. 多數(shù)例題的后面都配有類題,并給出了詳略不同的提示,這有利于同學(xué)們掌握和鞏固例題中所學(xué)的方法和技巧. 許多理論上的講解和題后的注記,都體現(xiàn)了筆者二十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)心得,凝聚了筆者的心血! 同學(xué)們?cè)陂喿x過程中要認(rèn)真琢磨,細(xì)細(xì)品味,切不可蜻蜓點(diǎn)水一帶而過.如何進(jìn)行考研總復(fù)習(xí)呢? 許多同學(xué)向我提出這個(gè)問題. 我認(rèn)為,首先把課本上的基本內(nèi)容搞熟、搞透、掌握了,然后根據(jù)自己的情況選擇一本適合復(fù)習(xí)的參考書,對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行全面、系統(tǒng)的串聯(lián)、歸納、總結(jié)、鞏固和提高. 最后找你所報(bào)考院校近幾年的考題試做一下,